Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử khi không thể đồng nhất thức trong đa thức bậc 4 vô nghiệm

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử khi không thể đồng nhất thức trong đa thức bậc 4 vô nghiệm

1. CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến Trường THCS Phước Tín Hội đồng Sáng kiến thị xã Phước Long Tôi ghi tên dưới đây: Tỉ lệ Ngày, Trình độ Chức (%) Stt Họ và tên tháng, Nơi công tác chuyên danh đóng năm sinh môn góp Trường THCS Cao đẳng Phước Tín, Giáo 1 Bùi Thị Thúy Trinh 20/10/1988 sư phạm 100% Phước Long, viên Toán Bình Phước Là tác giả đề nghị công nhận sáng kiến: “Phân tích đa thức thành nhân tử khi không thể đồng nhất thức trong đa thức bậc 4 vô nghiệm” Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trường THCS Phước Tín. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Đại số Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu (hoặc áp dụng thử): 01/05/2017 Mô tả bản chất sáng kiến: Trong chương trình đại số 8 ở trường THCS hiện nay. Phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung quan trọng. Nó giúp cho học sinh xuyên suốt quá trình thực hiện các phép toán trên phân thức trong bước rút gọn, giải phương trình trong chương trình lớp 8, là tiền đề giải phương trình bậc 2 mà học sinh sẽ tìm hiểu trong chương trình lớp 9 và các cấp học cao hơn. Khi giảng dạy về nội dung này trên lớp, bài tập của các em khá thuần túy ( vì chỉ theo chuẩn kiến thức kĩ năng ). Nhưng đối với việc nâng cao cho các đối tượng là 1
2. HSG thì chưa đủ. Điển hình như việc ra đề cương hướng dẫn việc thi cuối HKII của phòng giáo dục cho khối lớp 7 năm học 2016 – 2017 có một bài tập xin trích dẫn nguyên văn như sau ( câu 5b ) Tất nhiên, bài tập sẽ cho ta nhiều hướng giải quyết. Vấn đề đặt ra là đối tượng học sinh lớp 7, tôi đã sử dụng 1 thủ thuật nhỏ trong đồng nhất thức để làm và đã giải quyết thành công. Từ việc làm ấy, câu hỏi luôn đặt ra cho tôi, có thể hướng tới đối tượng HSG việc đồng nhất thức để phân tích đa thức thành nhân tử mà ta có thể bắt gặp trong rất nhiều nguồn tài liệu liên quan ( mà đa số là đa thức bậc 4 vô nghiệm ). Và rõ ràng khi phân tích đa thức bậc 4 vô nghiệm thì phương pháp đồng nhất thức luôn được chọn lựa. Tuy nhiên, đồng nhất thức không phải lúc nào cũng có “kết quả đẹp”. Trong những trường hợp không có nghiệm nguyên khi giải hệ để đồng nhất thì xem như bế tắc. Đồng thời vẫn có trường hợp nhầm lẫn khi đa thức bậc 4 vô nghiệm thì không thể phân tích được nữa ( Hình ảnh bài làm khảo sát thật từ một giáo viên Toán THCS tại Bình Long, bài toán phân tích chưa triệt để vì hệ số không “đẹp”, sẽ trình bày lại ở mục dưới) 2
3. Giải quyết cho vấn đề này tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến “Phân tích đa thức thành nhân tử khi không thể đồng nhất thức trong đa thức bậc 4 vô nghiệm”. Tôi tin rằng đề tài sẽ góp phần giúp cho các em tự tin hơn trong việc tiếp thu những nguồn kiến thức mới ở những cấp học cao hơn, đặc biệt trong phân tích đa thức thành nhân tử, phân tích đa thức bất khả quy, giải phương trình Cụ thể như sau: I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Giả sử đa thức bậc 4 cần phân tích thành nhân tử có dạng: Xét giải phương trình bậc bốn: – ( ) – ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Khi đó : Vế phải ( VP ) phải là một “biểu thức chính phương” VP phải có nghiệm kép theo biến x VP là phương trình bậc 2 có nghiệm kép khi = 0 Khi giải = 0, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Phương trình bậc 3 ( bậc lẻ ) luôn có nghiệm thực thỏa , ta sẽ tìm được y bằng cách giải phương trình bậc 3 rồi đem thay ngược lại vào (*). Lúc này (*) có dạng A2 = B2 sử dụng hiệu hai bình phương ta phân tích được đa thức thành nhân tử 3
4. Lưu ý: + Ta xét đa thức bậc 4 vô nghiệm (nếu có nghiệm không quá phức tạp – “nghiệm đẹp” thì chỉ với chiếc máy tính casio ta đã giải quyết được) vì vậy theo “phản xạ” giải phương trình ta chỉ làm đến giải nghiệm rồi không làm tiếp dẫn tới không khai thác được hết ý nghĩa trong việc “giải tiếp 1 phương trình vô nghiệm”. Do đó ta không thể hoàn thành được việc phân tích đa thức bậc 4 vô nghiệm thành hai nhân tử là hai đa thức bậc 2 vô nghiệm. Và xin nhấn mạnh ta luôn luôn có thể phân tích đa thức bậc 4 vô nghiệm thành đa thức gồm hai nhân tử là hai đa thức bậc 2 vô nghiệm. + Ta xét đa thức bậc 4 có dạng vì ta luôn đưa được đa thức bậc 4 với hệ số ở là 1, mục đích làm bài toán đơn giản hơn II. HƯỚNG DẪN CỤ THỂ 1) Bài toán kiểm chứng, đối chiếu Bài toán 1: Phân tích đa thức thành tích của các nhân tử Giải: Xét phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Suy ra vế phải cần có nghiệm kép. Khi đó, ta xét ( ) ( ) ( ) có nghiệm kép thỏa: ( ) ( ) ( ) 4
5. ( ) ( ) ( )( ) [ thay vào (*), ta được: ( ) ( ) ( ) (vô lý trong R) thay vào (*), ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) (vô lý trong R) thay vào (*), ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (√ ) √ √ ( √ ) ( ) (√ √ ) Suy ra: ( ) (√ √ ) ( √ √ )( √ √ ) [ ( √ ) √ ][ ( √ ) √ ] 5
6. Vậy ta phân tích được [ ( √ ) √ ][ ( √ ) √ ] * So sánh với phương pháp đồng nhất thức: Đặt: ( )( ) ( ) ( ) ( ) Khi đó ta xét giải hệ: { ( ) * Ngoài ra đối với việc phân tích bằng nhóm, tách, hay thêm bớt hạng tử rõ ràng khá khó vì hệ số sau khi biết được kết quả là vô tỉ * Bài toán được phân tích trên phân mền chỉ cho ra được kết quả: 6
7. 2) Bài toán vận dụng phương pháp làm đưa ra Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử trên Q[x] ( các hệ số của đa thức phải thuộc tập Q ) Giải: Xét phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Suy ra vế phải cần có nghiệm kép. Khi đó, xét ( ) ( ) ( ) có nghiệm kép thỏa: ( ) ( ) ( ) ( )( ) √ ( ) √ ( ) [ Khi đó thay vào (*), ta được: ( ) 7
8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ); có nghiệm đầy đủ trong R và không có nghiệm trong Q Vậy trong Q[x]: ( )( ); Chú ý: Nếu xét trong R[x] thì ta chỉ cần giải tìm nghiệm của hai nhân tử là đa thức bậc 2 sẽ phân tích được ( )( ) √ √ √ √ ( ) ( ) ( ) ( ) Đối với bài này ta có thể đồng nhất thức hoặc nhóm, tách, hay thêm, bớt hạng tử vì hệ số khá đẹp. Bài toán 3: Phân tích đa thức thành tích của các nhân tử Giải: Đặt { { { Xét phương trình: 8
9. ( ) ( ) ( ) ( ) Suy ra vế phải cần có nghiệm kép. Khi đó, ta xét ( ) ( ) có nghiệm kép thỏa: ( )( ) [ thay vào (*), ta được: ( ) (vô lý trong R) thay vào (*), ta được: ( ) (vô lý trong R) thay vào (*), ta được: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Với: Xét phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) Suy ra vế phải cần có nghiệm kép. 9
10. Khi đó, ta xét ( ) ( ) có nghiệm kép: ( )( ) [ thay vào ( ), ta được: ( ) (vô lý trong R) thay vào ( ), ta được: ( ) (vô lý trong R) thay vào ( ), ta được: ( ) ( ) ( √ )( √ ) ( √ )( √ ) Vậy: ( )( ) ( √ )( √ )( )( ) Bài toán 4: Phân tích đa thức thành tích của các nhân tử Giải: Đặt { { { Xét phương trình: 10
11. ( ) ( ) ( ) Suy ra vế phải cần có nghiệm kép. Khi đó, ta xét ( ) có nghiệm kép thỏa: ( ) [ thay vào (*), ta được: ( ) (vô lý trong R) thay vào (*), ta được: (vô lý trong R) thay vào (*), ta được: ( ) ( ) ( √ )( √ ) ( √ )( √ ) ( √ )( √ ) Với: √ Xét phương trình: √ √ √ ( ) ( ) ( √ ) ( ) Suy ra vế phải cần có nghiệm kép. Khi đó, ta xét ( √ ) ( ) có nghiệm kép: ( √ )( ) 11
12. √ [ thay vào ( ), ta được: ( ) (√ ) (vô lý trong R) √ thay vào ( ), ta được: ( √ ) (vô lý trong R) thay vào ( ), ta được: ( ) (√ ) ( ) (√ ) ( √√ ) ( √√ ) √ ( √√ ) ( √√ ) Với: √ Xét phương trình: √ √ √ ( ) ( ) ( √ ) ( ) Suy ra vế phải cần có nghiệm kép. Khi đó, ta xét ( √ ) ( ) có nghiệm kép: ( √ )( ) √ [ thay vào ( ), ta được: 12
13. ( ) ( √ ) (vô lý trong R) √ thay vào ( ), ta được: ( √ ) (vô lý trong R) thay vào ( ), ta được: ( ) ( √ ) ( ) ( √ ) ( √ √ ) ( √ √ ) √ ( √ √ ) ( √ √ ) Vậy: ( √ )( √ ) ( √ √ ) ( √ √ ) ( √ √ ) ( √ √ ) 13
14. 3) Bài toán suy luận ngược vận dụng phối hợp các phương pháp khác Ta có thể trình bày hai bài toán sau ( bài toán 4 và 5) như cách làm của bài toán 2 và bài toán 3. Tuy nhiên khi hiểu rõ bản chất của việc làm này, ta có thể bổ trợ ngược lại cho việc nhẩm hạng tử để lựa chọn cách nhóm, tách các hạng tử sao cho phù hợp. Đó là, việc xử lý bài toán trên cơ sở 3 hằng đẳng thức: bình phương của 1 tổng, bình phương của 1 hiệu và hiệu hai bình phương, tránh được việc trình bày dài. Cụ thể qua hai bài toán như sau: Bài toán 4: Phân tích đa thức thành tích của các nhân tử Giải: ( ) ( ) ( thêm hạng tử có vai trò bậc 2) ( ) ( √ )( √ ) ( √ )( √ ) (tách hạng tử có vai trò bậc 2) ( √ √ ) ( √ √ ) ( √ √ ) ( √ √ ) Bài toán 5: Phân tích đa thức thành tích của các nhân tử Giải: √ ( √ ) ( ) ( ) ( √ ) [ √ √ ] [ √ √ ] 14
15. Lưu ý: Ta lựa chọn việc làm theo cách này khi nhận thấy đa thức bậc 4 chỉ gồm các hạng tử bậc chẵn. Đồng thời để nhóm, tách thành công ta tập trung hạng tử bậc 2 (hoặc có vai trò như bậc 2). Nếu có bậc lẻ thì làm theo phương pháp tổng quát chung là tốt nhất. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: + Giải bài toán phân tích đa thức bậc 4 vô nghiệm hoặc có nghiệm (hoặc đa thức đưa được về dạng đa thức bậc 4) thành nhân tử + Giải phương trình bậc 4 (hoặc phương trình đưa được về dạng phương trình bậc 4) đưa về dạng phương trình tích + Có máy tính casio f(x) 500, 570 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: * Ưu điểm: + Phương pháp dựa trên việc khai thác triệt để ý nghĩa giải phương trình bậc 4, đồng thời có giải phương trình bậc 3. Do đó HS có cơ hội làm những bài toán giải phương trình một cách tổng quát. + Giúp học sinh và giáo viên có thêm cách nhìn mới, lựa chọn mới về việc phân tích đa thức thành nhân tử. + Phân tích đa thức thành nhân tử theo phương pháp này giúp cho việc giải quyết yêu cầu trong đa thức bậc 4 vô nghiệm dễ dàng hơn mà trước đây ta phải làm bằng cách đồng nhất thức, thậm chí có những trường hợp không làm được (đã nêu cụ thể trong các bài toán trên), không quá đòi hỏi người làm phải có kĩ năng, kĩ xảo tốt về thêm, bớt, tách các hạng tử mới có thể giải mà không phải ai cũng suy nghĩ ngay để làm được. Phương pháp này đáp ứng được yêu cầu đó khi đưa ra cách làm và qui luật rõ ràng. + Làm có quy tắc, không đòi hỏi phải đoán kết quả, phân tích triệt để kể cả hệ số vô tỉ. + Nếu việc phân tích đa thức bậc 4 vô nghiệm làm được bằng phương pháp đồng nhất thức thì việc phân tích đa thức bậc 4 vô nghiệm theo phương pháp này cũng làm được (điều này có nghĩa là sẽ tiết kiệm được thời gian hơn nếu ta làm phương pháp này 15