Sáng kiến kinh nghiệm Ôn tập về tiếp tuyến và cát tuyến của đồ thị hàm số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Ôn tập về tiếp tuyến và cát tuyến của đồ thị hàm số

1. Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu Trên thực tế học sinh Trung học đã được tiếp cận với rất nhiều dạng toán về tiếp tuyến của các đồ thị hàm số và giao điểm các đồ thị các hàm số. Ngay từ lớp 9 học sinh đã biết đến bài toán về giao điểm của các đường thẳng hoặc của đường thẳng với các Parabol. Lên lớp 11 và 12 học sinh lại được nghiên cưu rất kỹ về tiếp tuyến của đồ thị các hàm số và giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng. Trong Sách giáo khoa có khá nhiều bài toán về các vấn đề nói trên. Trong hầu hết các đề thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông, đề thi tuyển sinh Đại học và đề thi Học sinh giỏi thành phố đều có ít nhất một ý đề cập đến vấn đề tiếp tuyến của đồ thị hàm số và giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng. Với hơn mười năm làm nghề dạy học tôi đã may mắn được tham gia giảng dạy cho khá nhiều lớp ôn thi Đại học và ôn thi Học sinh giỏi tôi thấy có một số vấn đề cần phải giải quyết: Một là: Theo qua điểm của ngành Giáo dục và thời lượng chương trình nên các bài tập về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng trong Sách giáo khoa rất đơn giản học sinh tiếp cận rất dễ dành và thực hiện lời giải rất tốt vì các bài tập đó chỉ đề cập đến các vấn đề trên một các đơn lẻ và rất cụ thể. Nhưng các bài tập loại này trong các đề thi tuyển sinh Đại học có rất nhiều bài tập đòi hỏi biến đổi tương đối phức tạp qua nhiều bước phải sử dụng nhiều công thức một cách linh hoạt. Hai là: Từ năm 2006 sách giáo khoa không nói đến định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, trong khi đó sách tham khảo suất bản trước đó có rất nhiều bài toán sử dụng định lý đó để thực hiện việc so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai hoặc các hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm sô cho trước với các số cụ thể nên học sinh đọc sách rất hoang mang. Do đó người giáo viên phải định hướng cho học sinh biến đổi về bài toán sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nếu là tình huống không thể giải quyết đơn thuần theo kiểu tính biệt thức đenta hoặc chuyển từ việc so sánh một nghiệm với một số khác không về việc so sánh một biểu thức chứa nghiệm đó với số không để đưa về sử dụng định lí Vi-et. Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài: Ôn tập về tiếp tuyến và cát tuyến của đồ thị hàm số. 2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau: Một là: Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về phương pháp giải các bài toán đề cập đến vấn đề tiếp tuyến của đồ thị hàm số và giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng. Hai là: Qua việc luyện tập các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1
2. Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng và giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng sẽ giúp học sinh ôn tập được khá nhiều công thức của hình học và đại số ở các phần khác một các vui vẻ và tự nhiên giảm bớt sự khô khan nhàm chán của các con số đồng thời thấy được sự liên hệ chặt chẽ của các công thức đó. Ba là: Giúp các em học sinh tự tin hơn, tích cự hơn trong việc chuyển các bài toán mới lạ về các bài toán quen thuộc để đưa ra lời giải ngắn gọn và chính xác. 3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số đa thức bậc hai, hàm số đa thức bậc ba, hàm số đa thức trùng phương, hàm số phân thức hữu tỉ bậc nhất chia bậc nhất và hàm số phân thức hữu tỉ bậc hai chia bậc nhất. Phạm vi nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào chương trình lớp 12, các đề thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông, các đề thị Tuyến sinh Đại học. 4 . Kế hoạch nghiên cứu Trong quá trình dạy học với những trăn trở như đã trình bày trong phần cơ sở thực tiến để đưa ra lý do chọn đề tài tôi thấy khi cho các em học sinh lớp 12 làm các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng trong Sách giáo khoa hoặc trong đề thi Tốt nghiệp thì các em làm bài đều khá chính xác vì các bài tập này thường yêu cầu giải quyết các vấn đề rất cụ thể và thường chỉ cần sử dụng một công thức đơn giản. Tuy nhiên trong các đề thi Đại học và đề thi Học sinh giỏi thành phố thường yêu cầu giải quyết các vến đề trên trong sự kết hợp của nhiều công thức và tính chất do đó nhiều học sinh lúng túng khi tìm lời giải hoặc khi thực hiện lời giải có những lập luận hời hợt không rõ ràng. Từ những khúc mắc nói trên tôi đã nghiên cứu đề tài ôn tập về tiếp tuyến và cát tuyến của đồ thị hàm số qua một số giờ tự chon nâng cao tại lớp 12A4 năm học 2010 – 2011 và lớp 12A4 năm học 2011 – 2012 từ đó xây dựng, hoàn thiện bài viết của mình. 2
3. Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận a) Tiếp tuyến, cát tuyến của đồ thị hàm số Cho hàm số y f x có đồ thị C . Điểm M0 cố định trên C , điểm M di chuyển trên C - Nếu M và M0 phân biệt thì đường thẳng đi qua hai điểm M0 , M gọi là cát tuyến của C . Như vậy ta có thể coi cát tuyến của đồ thị hàm số là các đường thẳng đi qua hai điểm khác nhau của đồ thị. - Nếu M tiến tới M0 thì đường thẳng M0M trở thành tiếp tuyến của đồ thị C tại tiếp điểm M0 . b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị hai hàm số * Cho hàm số y f x có đồ thị C , điểm M0 x0; y0 C . Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì : - Hệ số góc của tiếp tuyến với C tại M0 là k f x0 . - Phương trình tiếp tuyến của C tại M0 là y y0 f x0 x x0 . * Ta đã biết các hàm số đa thức và hàm số phân thức hữu tỉ có đạo hàm tại mọi điểm x0 trên tập xác định của nó do đó tiếp tuyến của các đồ thị hàm số này đều có hệ số góc k nào đó nói các khác tiếp tuyến của đồ thị các hàm số loại này không thể vuông góc với trục hoành. * Gọi C là đồ thị của hàm số y f x và C là đồ thị của hàm số y g x C và C tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm : f x g x f x g x (các bài tập thương đề cập đến một trong hai đồ thị là đường thẳng). c) Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số Gọi C là đồ thị của hàm số y f x và C là đồ thị của hàm số y g x y f x Tọa độ giao điểm của C và C là nghiệm của hệ phương trình y g x Từ hệ trên suy ra phương trình f x g x , * Phương trình (*) gọi là phương trình hoành độ giao điểm của C và C . 3
4. Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Rõ ràng số nghiệm của (*) là số giao điểm của hai đồ thị đã cho. (các bài tập thương đề cập đến một trong hai đồ thị là đường thẳng). d) Phương trình đường thẳng, công thức tính góc giữa hai đường thẳng, công thức tính khoảng các từ một điểm đến một đường thẳng. * Nếu đường thẳng d đi qua điểm M0 x0; y0 và có hệ số góc k thì phương trình d : y k x x0 y0 . * Nếu đường thẳng d : ax by c 0;a2 b2 0 suy ra d có một vectơ pháp tuyến n a;b suy ra d có một vectơ chỉ phương u b;a * Nếu đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u a;b ;a 0 thì d có hệ số b góc k a * Cho đường thẳng : ax by c 0, M x0; y0 ax by c Khoảng các từ M đến là d M , 0 0 a2 b2 * Cho đường thẳng có một vectơ pháp tuyến n và có một vectơ pháp   n.n tuyến n thì cos ,  . n . n Đặc biệt nếu : y k1x b1; : y k2x b2 khi đó : +)  k1.k2 1 +) // k1 k2 và b1 b2 2. Thực trạng của vấn đề Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế như sau: Trong năm học 2009 – 2010 sau khi học sinh lớp 12 đã học hết chương 1 tức là khi đã nghiên cứu khá đầy đủ về ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số tôi cho học sinh lớp 12A4 và 12A5 làm bài kiểm tra khảo sát 45 phút trong giờ tự chọn nâng cao với đề kiểm tra như sau: Câu I (3 điểm) Gọi C là đồ thị của hàm số y x3 6x2 9x 1. Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A 3;1 2x 1 Câu II (3,5 điểm) Cho hàm số y có đồ thị C với tâm đối xứng là I. x 1 1 Tìm điểm M C1 để tiếp tuyến của C1 tại M cắt các tiệm cận của C1 tại A, B và đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có chu vi bé nhất. 4
5. Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng 4 2 Câu III (3,5 điểm) Gọi Cm là đồ thị của hàm số y x 2 m 1 x 2m 2 Tìm m để đường thẳng y 1cắt Cm tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D sao cho OA OB OC OD 4 2 2 Với đáp án và thang điểm như sau : CÂU NỘI DUNG ĐIỂM I Gọi là tiếp tến của C với hệ số góc k (3đ) : y k x 3 1 y kx 3k 1 Vì là tiếp tến của C nên ta có hệ 3 2 1.0 x 6x 9x 1 kx 3k 1 1 2 3x 12x 9 k 2 Thế (2) vào (1) suy ra x3 6x2 9x 1 x 3x2 12x 9 3 3x2 12x 9 1 2x3 15x2 36x 27 0 x 3 2x2 9x 9 0 1,0 3 x 3; x 2 3 9 với x 3 k 0; x k 2 4 9 24 1,0 Vậy phương trình các tiếp tuyến là y 1; y x 4 4 II Dễ thấy C1 có tiệm cận đứng x 1và tiệm cận ngang (3,5đ) y 2 nên tâm đối xứng của C1 là giao điểm của hai tiệm cận I 1;2 . 0,5 1 Hàm số đã cho có tập xác định R \ 1và y x 1 2 1 Xét M C có x a 1 y y a 1 2 ;a 0 1 M M a 0,5 Phương trình tiếp tuyến d của C1 tại M là 5
6. Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng y y xM x xM yM 1 1 x 2 1 hay y x a 1 2 y 2 (d) a2 a a2 a a2 Gọi A là giao điểm của d và tiệm cận đứng x 1 thế 2 2 vào phương trình d y 2 A 1;2 0,5 a a Gọi B là giao điểm của d và tiệm cận ngang y 2 thế vào phương trình d suy ra x 2 1 0,5 2 2 x 1 2a B 1 2a;2 a2 a a2 Chú ý rằng tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có đường kính là AB và chu vi là .AB 0,5 Do đó theo yêu cầu của đề bài ta phải có đoạn AB ngắn nhất.  2 2 4 Ta có AB 2a; AB 4a a a2 4 Theo bất đẳng thức Côsi, ta có 4a2 8 AB 2 2 a2 1,0 4 Đẳng thức xảy ra khi 4a2 a 1 a2 Vậy tam giác IAB có chu vi bé nhất là 2 2 khi tọa độ M là 0;1 hoặc 2;3 III Xét phương trình hoành độ giao điểm (3,5 đ) x4 2 m 1 x2 2m 2 1 x4 2 m 1 x2 2m 1 0 0,5 Đặt t x2 t 0 , ta có phương trình t2 2 m 1 t 2m 1 0, * Để có 4 giao điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm dương phân biệt 2 0 m 1 2m 1 0 m 0 0,5 P 0 2m 1 0 1 m S 0 2 m 1 0 2 Với điều kiện trên phương trình (*) có hai nghiệm dương t1,t2 . Theo Vi-et ta có, t1 t2 2 m 1 , t1t2 2m 1 6