Sáng kiến kinh nghiệm Nêu vấn đề và phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo của học sinh

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Nêu vấn đề và phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo của học sinh

1. A-đặt vấn đề I). Đặt vấn đề. Kiến thức về phương trình trong chương trình THCS thể hiện ở 2 giai đoạn: Giai đoạn ẩn tàng từ cấp I đến lớp 7; giai đoạn tường minh bắt đầu từ lớp 8 đến cuối lớp 9. Đó là những hiểu biết cơ bản nhất về phương trình Đại số ở THCS nhằm đáp ứng yêu cầu liên hệ với những môn học khác và yêu cầu tính toán trong thực tế cuộc sống. Đặc biệt đối với phương trình bậc hai (dạng ax2 + bx + c = 0) và nghiệm của nó – việc giới thiệu về nghiệm của phương trình bậc hai được tiến hành trong quá trình xây dựng công thức nghiệm tổng quát và đã được tiến hành qua xét các ví dụ cụ thể, song tính phức tạp của nó vẫn là điều mà khi giảng dạy mỗi giáo viên cần đặc biệt quan tâm chú ý để xác định đúng mức độ yêu cầu; giúp những học sinh trung bình nắm vững nội dung kiến thức cơ bản; những học sinh khá giỏi phát huy năng lực học tập tích cực chủ động của bản thân. II). Thực tế giảng dạy - học tập ở trường THCS hiện nay. Nhiệm vụ chuyên môn cơ bản chính là nâng cao chất lượng giảng dạy, chất lượng học tập của học sinh. Để làm tốt nhiệm vụ yêu cầu trên cần thực đổi mới phương pháp dạy học cụ thể “ Nêu vấn đề và phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo của học sinh ,,.Giúp các em độc lập tích cực học tập; giải quyết các yêu cầu về kiến thức kỹ năng liên hệ thực tế, kết hợp ôn bài cũ học bài mới với những nội dung liên quan. Bản thân tôi đã mạnh dạn áp dụng phương pháp trên trong phần dạy về phương trình bậc hai - nghiệm của phương trình bậc hai. Song điều kiện hạn chế về thời gian trên lớp cũng như năng lực học tập của học sinh ở một trường THCS bình thưòng nên việc nêu vấn đề và giải quyết đề cần có sự nỗ lực cao của giáo viên và học sinh. Bản thân các em thường chỉ áp dụng đơn điệu những vấn đề lý thuyết đã có sẵn nên kĩ năng giải quyết bài tập dưới các cách diễn đạt của đề bài khác nhau còn rất hạn chế. III). Lí do chọn đề tài. Việc giới thiệu công thức nghiệm tổng quát, công thức nghiệm cũng như một số trường hợp tính nhẩm nghiệm mà cơ sở lý thuyết là định lí Viét nhằm làm cho việc tìm nghiệm của phương trình bậc hai được sinh động linh hoạt có sự cân nhắc chọn lựa theo tiêu chuẩn nhanh, gọn và hợp lý. Hệ thức Viét là lý thuyết phát triển, nêu lên mối liên hệ giữa các các nghiệm (nếu có) và các hệ số a, b, c của phưong trình. Là hệ thức có nhiều ứng dụng trong tính toán, giải và biện luận phương trình bậc 2 về nghiệm, số nghiệm, dấu của các nghiệm Vấn đề đặt ra là: Trên cơ sở công thức nghiệm và định lí Viét ta cần nghiên cứu tính chất của các nghiệm. 1
2. Nếu có phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì khi nào có thể có nghiệm, có thể có bao nhiêu nghiệm, các nhiệm có liên quan như thế nào với nhau? Chúng có sự liện hệ như thế nào với các hệ số a, b, c ? IV). Các nội dung cơ bản. ở một mức độ nhất định , qua thực tế giảng dạy một số năm và qua nghiên cứu các tài liệu liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai. Tôi xin nêu ra một số vấn đề về nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) như sau: 1.Điều kiện để phưong trình bậc hai có nghiệm ứng dụng để tìm điều kiện cho hệ có nghiệm (hệ hai phương trình) 2.Quan hệ giữa các nghiệm trong một phương trình, giữa các nghiệm trong hai phương trình . 3. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước. 4. ý nghĩa hình học của việc tìm nghiệm của phương trình bậc hai. V). Các kỹ năng cần rèn luyện. 1.Kỹ năng chứng minh phương trình bậc hai có một nghiệm, có hai nghiệm hay không có nghiệm hay vô số nghiệm. 2.Kỹ năng sử dụng điều kiện có nghiệm của một phương trình bậc hai để chứng minh hệ hai phương trình có hay vô nghiệm, hoặc tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm hay vô nghiệm. 3.Kỹ năng lập mối kiên hệ giữa 2 nghiệm trong 1 phương trình, giữa hai nghiệm trong hai phương trình theo tham số cho trước, hoặc tìm điều kiện của tham số để nghiệm của phương trình thoả mãn một điều kiện nào đó 4.Kỹ năng so sánh nghiệm của phương trình với một số nào đó ( với số 0; với số thực nào đó ). 5.Kỹ năng xác định sự tương giao giữa đồ thị của hàm số bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = 0 (P) và đồ thị của hàm số bậc nhất g(x) = mx + n (d) (a 0, m 0). Kỹ năng tìm điều kiện của tham số để xác định các vị trí tương đối của (P) và (d). VI) ý nghĩa. Đồng thời với việc nêu những vấn đề nói trên là những phương pháp giải quyết phù hợp với từng loại cùng các bài tập cụ thể, phù hợp với từng nội dung vấn đề. Điều này sẽ đáp ứng yêu cầu giải quyết phần lớn nội dung bài tập ở sgk Đại số 9 cho học sinh một cách chủ động, tích cực, độc lập. Học sinh trên cơ sở nắm chắc được mấu chốt của từng loại vấn đề từ đó phát triển áp dụng linh hoạt cho nhiều dạng bài khác nhau với nhiều cách đặt vấn đề của đề bài khác nhau. Giúp các em có được sự tự tin mạnh bạo, cố gắng chăm chỉ chủ động lĩnh hội kiến thức và có quyết tâm giải quyết các bài tập. B. Biện pháp thực hiện B1. Lý thuyết cơ bản. 1.Công thức tính nghiệm của phương trình (Pt) ax2 + bx + c = 0 (a 0) a. Đặt = b2 - 4ac * < 0 Pt vô nghiệm 2
3. b * = 0 Pt có nghiệm kép: x = 2a b b * > 0 Pt có 2 nghiệm phân biệt: x1 = , x2 = . 2a 2a b. Công thức nghiệm thu gọn: trường hợp b = 2b’ Đặt ' = b’2- 4ac. ( ' và cùng dấu, = 4 ') * ' 0 Pt có 2 nghiệm phân biệt: x1 = , x2 = a a 2. Tổng và tích các nghiệm số. a. Định lí Viét: 2 Nếu phương trình ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có 2 nghiệm x1 , x2 thì b x1 + x2 = = S a c x1.x2 = = P a b c b. Định lí đảo: Nếu 2 số x1 , x2 có tổng bằng và có tích bằng thì hai số a a đó là nghiệm của phương trình bậc hai :x2 - Sx + P = 0 . c. Chú ý: c Nếu a + b + c = 0 thì : x1 = 1 ; x2 = a c Nếu a - b + c = 0 thì : x1 = -1 ; x2 = a 3. Cần biết thêm về biểu thức ax2 + bx + c ( a 0 ). 2 Tên gọi: Tam thức bậc hai ; kí hiệu f(x) = ax + bx + c ( a 0 ) các giá trị xi mà f(xi) = 0 khi và chỉ khi xi là nghiệm của tam thức. a. Tách ra một bình phương đủ trong tam thức bậc hai. b b 2 4ac b ax2 + bx + c = a (x ) a (x ) 2 (*) 2 2 2a 4a 2a 4a b. Phân tích một tam thức bậc hai ra thừa số. - Nếu < 0 thì theo (*) f(x) không phân tích được thành các thừa số bậc nhất. - Nếu 0 thì f(x) = a(x – x1)(x – x2) ( ) Với x1, x2 là nghiệm của tam thức. c. Dấu của tam thức bậc hai. Dựa vào (*) và ( ) ở trên ta có kết luận sau: - Nếu < 0 f(x) cùng dấu với a với mọi x. b - Nếu = 0 f(x) cùng dấu với a với mọi x 2a 3
4. - Nếu > 0 dấu của f(x) được ghi ở bảng sau: Với x1 0 ) Ví dụ 21: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m. x2 – (3m2 – 5m + 1)x – (m2 – 4m + 5) = 0 (2) Giải * Xét tích ac = - (m2 – 4m + 5) = -(m –2 )2 – 1 < 0 Vậy (2) có nghiệm với mọi m. Ví dụ 22: Tìm điều kiện của phương của m để phương trình sau đây có nghiệm; m2x2 – mx – 2 = 0 (3) Giải: Với m 0 ta có: ac = -2m2 < 0 (3) có nghiệm. Với m = 0 (3) trở thành : 0x = 2 (3) vô nghiệm. - Nhận xét: * Nếu ac 0 mà a 0 thì ta cũng có 0 nên Pt : ax2 + bx + c = 0 có nghiệm. * Nếu chỉ với điều kiện ac 0 chưa đảm bảo phương trình có nghiệm vì vậy khi gặp trường hợp ac 0 ta cần xét 2 trường hợp : a 0 ( Khi đó Pt có nghiệm ) và a = 0. c. Ngoài ra có thể sử dụng một số cách sau. 2 2 c1. Cho Pt bậc 2. ax + bx + c = 0. (Đặt f(x) = ax + bx + c) (4) 4
5. Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực sao cho af( ) 0 thì Pt (4) có nghiệm. b b 2 Thật vậy: với f(x) = ax2 + bx + c af( ) = a2x2 + abx + ac = (ax + )2 – ( - 2 4 b ac) = (ax + )2 - . 2 4 b Do đó: af( ) 0 thì (a + )2 0 Vậy Pt (4) có nghiệm. 4 2 2 2 c2 Cho Pt : ax + bx + c = 0 (Đặt f(x) = ax + bx + c) (5) Chứng minh rằng nếu tồn tại 2 giá trị ;  sao cho f( )f(  ) 0 thì (5) có nghiệm. Thật vậy: f( )f(  ) 0 a2f( )f(  ) 0. Vậy tồn tại một trong 2 biểu thức f( ) ; f(  ) nhỏ hơn bằng 0. Theo c1 thì (5) có nghiệm. Bài tập áp dụng. Bài 1. Cho Pt: ax2 + bx + c = 0 (a 0) với 5a + 2c = b. Chứng minh rằng Pt có nghiệm. Giải: Ta có = b2 – 4ac = (5a + 2c)2 – 4ac = 25a2 + 16ac + 4c2 = (2c + 4a)2 + 9a2 0 vậy Pt có nghiệm. 2b c Bài 2. Cho Pt: ax2 + bx + c = 0 (a 0) thoả mãn điều kiện 4 chứng minh a a rằng Pt có nghiệm. Giải - Nếu ac 0. áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương c c c b c b 2 4c 4 2  4 4 2 b 2 4ac b 2 4ac 0 . Vậy Pt luôn có a a a a a a 2 a 2b c nghiệm với 4 a a Bài 3. a.Tìm giá trị nguyên dương để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: x2 – 4x + k = 0 b. Tìm giá trị nguyên âm của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2x2 – 6x + m + 7 = 0. Giải : a. có ' = 4 – k > 0 k 0 -2m –5 > 0 m < -2,5 mà m nguyên âm nên m = -3 ; -4 ; -5 ; -6 ; Bài tập về nhà Bài 1 Chứng minh rằng Pt sau có nghiệm với mọi a, b, c. a) x(x – a) + x(x – b) + (x – a)(x – c) = 0 b) (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) =0 Bài 2 Chứng minh rằng với mọi a, b, c khác 0 tồn tại 1 trong các Pt sau có nghiệm. 5
6. ax2 + 2bx + c = 0 bx2 + 2cx +a = 0 cx2 + 2ax + b = 0 Bài 3 Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, chứng minh rằng Pt sau có nghiệm: (a2 + b2- c2)x2 - 4abx + (a2 + b2- c2) = 0. Khi nào phương trình có nghiệm kép ? Bài 4 a) Với giá trị nào của a thì phương trình sau vô nghiệm: 2 3x 2 a 3x 1 0 b) Với giá trị nào của k thì phương trình sau có nghiệm: (k2 – 4)x2 + 2(k + 2)x + 1 = 0 2. Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 để chứng minh một hệ số có nghiệm. a. Ví dụ 1. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm. 4x 3y 7(61 ) 2 2 2x 5y m(62 ) Giải 7 3y Từ (61) x thế vào (62) ta được Pt: 4 2 49y + 42y + (49 – 8m) = 0 (63) Từ (61) ta thấy: nếu tồn tại y thì cũng tồn tại x, do đó chỉ cần tìm điều kiện để (63) có nghiệm 2 Giải: (63) ' 0 ta được: 21 - 49(49 – 8m) 0 9 – (49 – 8m) 0 m 5 Vậy với m 5 thì hệ Pt đã cho có nghiệm. b) Ví dụ 2. Tìm giá trị của m để phương trình mx4 – 10mx2 + m + 8 = 0 (7) +) Có 4 nghiệm phân biệt ? +) Có 4 nghiệm x1; x2; x3; x4 (x1 0 ; P = 0 ; S = 0 ta được m . m m 3 +) Gọi 2 nghiệm của (7’) là y1 , y2 với 0 < y1 < y2 , 4 nghiệm của (7) là: x1 = - y2 ; x2 = - y1 ; x3 = y1 ; x4 = y2 . Ta có x4 - x3 = x3 - x2 = x2 - x1 y2 - y1 = m 8 y - (- y ) y = 3 y y2 = 9 y1 mà y1 + y2 ; y1.y2 = tính được y1= 1, y2 1 1 2 1 m = 9, m =1 . Vậy với m = 1 thì Pt (7) thoả mãn điều kiện đầu bài. Bài tập áp dụng Bài 1: Với giá trị nào của a thì hệ phương trình sau có nghiệm 3x y 1(81 ) 2 2 x y a(82 ) 6