Sáng kiến kinh nghiệm Một số ứng dụng của phép tịnh tiến hệ trục toạ độ

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số ứng dụng của phép tịnh tiến hệ trục toạ độ

1. A/ Đặt vấn đề Sau thời gian nghiên cứu chương trình sách toán phân ban THPTthí điểm, khi thực tế giảng dạy chương I Giải tích nâng cao cũng như cơ bản. Bản thân tôi thấy có nhiều bài tập liên quan đồ thị của hàm sốdo chương trình giảm tải từ lớp 10, khó trình bày cho học sinh, hơn nữa lối giải dài dòng khó tính toán. Tuy nhiên những bài toán đó sau khi thực hiện phép tịnh tiến hệ trục toạ độ theo vectơ cho trước nào đó thì mọi việc trở nên đơn giản. Đặc biệt những bài theo chương trình cũ phải dùng định lí đảo về dấu tam thức bậc 2 sau khi đổi hệ trục toạ độ, trở thành những bài toán tìm tham số để phương trình có hai nghiệm cùng dấu, trái dấu phù hợp với chương trình thay sách. Sau một năm chuyên đề được thực hiện ở nhiều trường THPT cả ban cơ bản và ban tự nhiên cả những đối tượng dân lập, công lập, bán công học sinh thấy hứng thú hơn khi gặp loại bài tập này. Nhằm khắc phục những kiến thức đã giảm tải của chương trình bộ môn toán THPT nói chung cũng như môn giải tích lớp 12 nói riêng. Tôi mạnh dạn trình bày kinh nghiệm “Một số ứng dụng của phép tịnh tiến hệ trục toạ độ” mong các bạn đồng nghiệp tham khảo và góp ý thêm cho bản kinh nghiệm hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn BGH, tổ Toán- Tin nhà trường đã đọc và góp ý cho bản kinh nghiệm này. B/ Nội dung và phương pháp thực hiện I/ Kiến thức trọng tâm : 1/ Phép tịnh tiến hệ trục toạ độ a/ Công thức chuyển hệ trục Giả sử I (a, b) trong mặt phẳng xoy. Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục theo véc tơ OI . Ta x a X có công thức chuyển hệ trục sang hệ mới IXY là y b Y b/ Phương trình đường cong y= f(x) trong hệ IXY Giả sử y= f(x) là phương trình đường cong (C) trong hệ trục xoy. Khi đó phương trình (C) trong hệ trục IXY là Y= f(X+ a)- b 2/ Một số hàm cơ bản qua phép đối hệ trục a/ Hàm số y= ax2 + bx+ c (a≠ 0) b a Đỉnh I ; 2a 4a 1
2. Tịnh tiến hệ trục theo OI đưa hàm số về dạng Y= mX2 b/ Hàm số y= ax3 + bx2+ cx+ d (a≠ 0) b b Điểm uốn I ; f ( ) 2a 3a Tịnh tiến hệ trục theo OI đưa hàm số về dạng Y=mX3 + mX ax b c/ Hàm số y= cx d c b 2ac Giao hai tiệm cận I( ; ) d d d 2 Tịnh tiến hệ trục theo OI đưa hàm số về dạng n Y=mX+ X 2 ã bx c d/ Hàm số y= dx e c b 2ae Giao của 2 tiệm cận I( ; ) d d d 2 m Tịnh tiến hệ trục theo OI đưa hàm số về dạng Y=mX + X 3/ Một số nhận xét liên quan: Nhận xét 1: Đồ thị hàm số bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Nhận xét 2: Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng Nhận xét 3: Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Nhận xét 4: Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng. II/ Một số dạng toán thường gặp Dạng 1: Biện luận nghiệm các phương trình Ví dụ1: Tìm m để phương trình x2 + (m+ 2)x + 2m2 = 0 (1) Có 2 nghiệm x1< -2< x2 Hướng dẫn giải: Số nghiệm pt (1) là số giao điểm đồ thị y= f(x) = x2 + (m+ 2)x+ 2m2 với trục ox Giao của đường thẳng x= -2 với ox là I(-2, 0) 2
3. Tịnh tiến hệ trục oxy theo OI x 2tX Với công thức y Y Ta có phương trình đồ thị với hệ IXY là: Y= G(x) = X2+ (m- 2)X + 2(m2-m) x1 x1>1 Giao đường thẳng x= 1 với ox là I(1;0) Tịnh tiến hệ trục oxy theo OI x 1 X Với công thức y' Y ' Phương trình (1) trở thành: Y’= X2- 2(2+m)X-3-m=0 (2) ycbt tìm m phương trình (2) có 2 nghiệm dương ' m 2 3m 4 0 m p 3 m 0 m 3 vô nghịêm S m 1 0 m 1 Kết luận: không có m để hàm số có 2 cực trị >1 Nhận xét: Từ pt (1) học sinh có thể đổi biến x=1+X từ ycbt suy ra pt(2) có 2 nghiệm dương Ví dụ3: Cho hàm số y=x3 + 3(m+1)x2- 3(m3- m2-2m-1)x-(3m3-m-1) Tìm m để đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt 3
4. HDG: b b Có (m 1) f ( ) m 3a 3a Điểm uốn I(-m-1; m) x m 1 X Tịnh tiến hệ trục oxy theo OI với y m Y Phương trình đường cong với hệ mới Y=X3-3m3X Phương trình trục hoành mới Y=-m Xét phương trình hoành độ giao điểm X3-3m2X=-m F(X) = X3- 3m3X+m=0 Có F’(X)=3X2-3m3=0 X2=m3 (*) ycbt Tìm m để (*) có 2 nghiệm X1, X2 và F(X1).F(X2) 1 m> 7 4 1 Kết luận: m> thì đồ thị hàm số cắt ox tại 3 điểm phân biệt 7 4 Dạng 2: Tiếp tuyến với hàm phân thức Ví dụ1: x 2 (1 m)x 1 Cho hàm số y= (Cm) x 1 Tìm điều kiện của m để trên mặt phẳng toạ độ tồn tại ít nhất một điểm sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới (Cm) và chúng vuông góc với nhau. HDG: Giao điểm hai tiệm cận I(-1; -1-m) x 1 X Tịnh tiến hệ trục theo OI với công thức y 1 m Y 4
5. m 1 Phương trình đồ thị với hệ mới Y= X X Y '(X ) k (1) m 1 Y’=1 Xét hệ 1 x 2 Y '(X ) (2) k Cần chứng minh tồn tại k để hệ trên có 2 nghiệm X1, X2 m 1 m 1 (1) 1 k X 2 (m 1)(1 k) 0 (3) X 2 1 k 1 (2) (m 1)(1 ) 0 (m 1)k(1 k) 0 (4) k k 1 Với m>1 thì (3),(4) thoả mãn 0 k 1 1 k 0 Với m 1 thì tồn tại k để hệ (1) và (2) có nghiệm X1; X2 Suy ra trên mặt phẳng toạ độ tồn tại ít nhất 1 điểm mà từ đó có đúng 2 tiếp tuyến với (C) và chúng vuông góc. x 2 Ví dụ 2: Cho hàm số y (C) x 1 Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ xoy sao cho từ đố kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) và chúng vuông góc HDG: 1 Ta có: y x 1 (C) x 1 Giao của hai tiệm cận I (1;2) x 1 X Tịnh tiến hệ xoy theo véc tơ OI với công thức y 2 Y 1 1 Phương trình đồ thị theo hệ mới Y X Y ' 1 X X 2 Gọi M(a,b) trong hệ IXY, số k là hệ số góc đường thẳng qua M phương trình : Y=k(X-a)+b Để từ M kẻ được tiếp tuyến tới (C) hệ phương trình sau có nghiệm 0 5
6. 1 X k(X a) b X (X 0) 1 1 k X X 2 1 X 2 1 (X a) b (b a)X 2 2X a 0 (1) X X 2 a b a b (2) ycbt 2 ' 1 a(b a) 0 a ab 1 0 2 X X 1 2 b a Với đk (2) theo véc tơ (3) a X X 1 2 b a 2 2 X 1 1 X 2 1 Để 2 tiếp tuyến vuông góc thìi k1.k2 = 2 . 2 1 X 1 X 2 2 2 2(X1X2) –(X1+X2) +2X1X2+1=0 Thay (3) vào có: 2a 2 4 2a 1 0 2a 2 4 2ab 2a 2 b 2 2ab a 2 0 (b a) 2 (b a) 2 b a a 2 b 2 4 phương trình đường tròn với hệ oxy là: (a-1)2+(b-2)2=4 (4) Tập hợp M là đường tròn có phương trình (4) Ví dụ 3: 2x 1 Cho hàm số y (C) x 1 Và M (C). Gọi giao điểm của tiếp tuyến tại M với (C) và 2 tiệm cận là A; B 1/ Chứng minh M là trung điểm của AB 2/ Chứmg minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc M HDG: Giao điểm hai tiệm cân I(1; 2) x 1 X Tịnh tiến hệ trục oxy theo véc tơ OI với công thức y 2 Y 1/ M(X0; Y0) phương trình tiếp tuyến tại M là 6
7. 1 1 1 2 Y= 2 (X X 0 ) Y 2 X (A) X 0 X 0 X 0 X 0 2 Tiệm cận đứng X=0 giao điểm của với tiệm cận đứng A(0; ) X 0 Tiệm cận ngang Y=0 giao điểm của với tiệm cận ngang B(2X0; 0) Giao 2 tiệm cận I(0;0) X A X B 2X 0 2X M Dễ thấy 2 M là trung điểm của AB Y Y 2Y A B M X 0 2/ IAB vuông tại I 1 1 2 S IAB IA. IB .2 X 0 2 (đvdt) 2 2 X 0 2x 2 x 1 Ví dụ 4: Cho hàm số y= (C) x 1 Gọi M (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A; B 1/ Chứng minh M là trung điểm của AB 2/ Chứng minh IAB có diện tích không đổi 3/ Tìm vị trí của M để chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất. HDG: 2 y=2x-1+ (C) x 1 Giao điểm 2 tiệm cận I(-1; -3) x 1 X Tịnh tiến trục oxy theo véc tơ OI với công thức y 3 Y 2 Phương trình đồ thị của hệ IXY là Y=2X+ X 2 2 1/ Y ' 2 2 , M(X0; Y0) Y’(X0)=2- 2 X X 0 2 2 phương trình tiếp tuyến tại M :Y= (2 2 )(X X 0 ) 2X 0 X 0 X 0 2 2X 0 2 4 Y 2 X X 0 X 0 7
8. 4 Tiệm cận đứng: X=0 giao điểm với tiệm cận đứng A(0; ) X 0 Tiệm cận xiên: Y=2X giao điểm với tiệm cận xiên B(2X0; 4X0) Giao 2 tiệm cận I(0;0) XA+ XB =2X0 =2XM 4 YA+YB= +4X0=2Y0=2YM M là trung điểm của AB X 0 2/ Dễ thấy 2 tiếp tuyến tạo với nhau một góc 450 1 0 S IAB = IA.IB sin45 2 1 4 2 2 2 = . 4BX 0 16X 0 . 2 10 2 X 0 2 3/ Chu vi của IAB là P 4 2 16 P IA IB AB 2 5 X 0 20X 0 2 32 X 0 X 0 2 8 5 2 20.16 32 44 20 4 20 2 4 2 2 2 Min P= 44 20 4 20 2 khi 2 5 X X 2 X x 1 0 0 0 4 0 4 X 0 5 5 5 2 2 2 4 2 2 2 4 M1(-1- ; -3- 2. 5 )M2(-1+ ; -3+ 2. 5 ) 4 5 4 5 4 5 4 5 Dạng 3: Bài toán về điểm cắt x 1 Ví dụ 1: Cho hàm số y (C) x 1 Và đường thẳng dm: y= -2x+m. Tìm m để (dm) cắt (C) tại 2 điểm A, B thuộc cùng 1 nhánh của (C). Khi đó tìm tập hợp trung điểm M của AB. HDG: Giao của 2 tiệm cận I(1;1) x 1 X Tịnh tiến trục oxy theo véc tơ OI với công thức y 1 Y 8
9. Đường cong (C) với hệ trục mới 2 Có phương trình Y= X (dm) có phương trình Y=-2X+m-3 2 Xét phương trình 2X m 3(X 0) X 2X2 –(m-3)X+2=0 (1) m 7 2 m 6m 0 m 1 m 7 ycbt P 4 0 m (2) m 1 2 0 m Với điều kiện (2) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt m 3 m 3 Theo Viét có X1+ X2 = X 2 M 4 Y1 Y2 2(X 1 X 2 2m 6 3m 9 YM = (*) 2 2 4 m 3 Từ XM = m=4XM +3 thế vào (*) có 4 3(4X M 3) 9 12X M YM = 3X 4 4 M Tập hợp trung điểm M của AB là đường thẳng có phương trình y= 3x-2 trừ đoạn [0;2] x 2 2x 2 Ví dụ 2: Cho hàm số y= (C) x 1 Và đường thẳng (d): y= -x+m 1/ Xác định m để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng nhánh của (C) 2/ Xác định m để d cắt (C) tại 2 điểm đối xứng nhau qua y=x+3 HDG: 1 Có y= x-1+ (C) x 1 Giao 2 tiệm cận I(1;0) x 1 X Tịnh tiến hệ trục oxy theo véc tơ OI với công thức y Y 9
10. 1 Phương trình (C) với hệ mới Y=X+ X Phương trình d với hệ mới Y=-X+m-1 1/ Xét phương trình hoành độ giao điểm 1 X+ =-X+m-1 (X≠0) X 2X2 –(m-1)X+1=0 (1) ycbt tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu (m 1) 2 8 0 m 2 2m 7 0 m 1 2 2 1 P 0 m m 1 2 2 2 2/ Phương trình với hệ mới Y=X+4 Dễ thấy d vuông góc vì k1.k2=-1 ycbt trung điểm I của AB thuộc X X m 1 m 1 X 1 2 I 2 4 4 Ta có: Y1 Y (X X ) 2(m 1) 3m 3 Y 2 1 2 I 2 2 4 3m 3 m 1 I 4 2m 18 m 9 (tm (2)) 4 4 Kết luận: m=9 thì (d) cắt (C) tại 2 điểm đối xứng nhau qua Dạng 4: Bài toán về khoảng cách x 2 x 5 Ví dụ 1: Cho hàm số y= (c) x 2 Tìm trên mỗi nhánh của (c) một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất HDG: 1 Có y=x+3+ x 2 Giao điểm 2 tiệm cận I(2;5) x 2 X Tịnh tiến hệ trục oxy theo véc tơ OI với công thức y 5 Y 10