Sáng kiến kinh nghiệm Một số ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán

1. Một số ứng dụng của định lý viét trong việc giải toán A. ĐẶT VẤN ĐỀ. 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Trong chơng trình sách giáo khoa mới Toán lớp 9 THCS, học sinh đợc làm quen với phơng trình bậc hai: Công thức tính nghiệm của phơng trình bậc hai, đặc biệt là định lý Viét và ứng dụng trong việc giải toán. Song qua việc giảng dạy Toán 9 tại trờng T.H.C.S tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Viét vào giải toán cha thật linh hoạt, cha biết khai thác và sử dụng hệ thức Viét vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Viét có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán. Đứng trớc vấn đề đó, tôi đi sâu vào nghiên cứu đề tài: “ Một số ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo định lý Viét, đồng thời làm tăng khả năng, năng lực học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh. 2. ĐỐI TỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU. Trong đề tài này, tôi chỉ đar a nghiên cứu một số ứng dụng của định lý Viét trong việc giải một số bài toán thờng gặp ở cấp T.H.C.S. Do đó chỉ đề cập đến một số loại bài toán đó là: a) Ứng dụng của định lý Viét trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra b) Ứng dụng của định lý trong giải bài toán lập phơng trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phơng trình bậc hai một ẩn. c) Ứng dụng của định lý Viét trong giải toán chứng minh. d) Áp dụng định lý Viét giải phơng trình và hệ phơng trình. e) Định lý Viét với bài toán cực trị.
2. B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ : Định lý Viét: 2 Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình ax + bx + c = 0 (a 0) thì: b x x 1 2 a c x .x 1 2 a * Hệ quả: (trờng hợp đặc biệt) a) Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phơng c trình có một nghiệm là: x 1 = 1 còn nghiệm kia là: x2 a = b) Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a - b + c = 0 thì phơng c trình có một nghiệm là: x = - 1 còn nghiệm kia là: x = 1 2 a u v S * Nếu có hai số u và v thoả mãn điều kiện: u.v P thì u, v là hai nghiệm của phơng trình: x2 – Sx + P = 0. điều kiện để có hai số u, v là: S2 – 4P 0.
3. Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng của định lý Viét trong giải một số dạng toán. I. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG GIẢI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ BÀI TOÁN THOẢ MÃN CÁC YÊU CẦU ĐẶT RA. 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình 2 2 2 mx - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện x1 x2 1 Bài giải: Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm (phân biệt hoặc nghiệm kép): m 0 ; ' ≥ 0 ' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + 4 ' 0 m 4. Với 0 m 4, theo định lý Viét, các nghiệm x 1; x2 của phơng trình có liên hệ: 2(m 2) m 3 x1 + x2 = ; x1.x2 = m m 2 2 2 2 4(m 2) 2(m 3) Do đó: 1 = x x = (x1 + x2) - 2x1x2 = - 1 2 m2 m m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m m2 - 10m + 16 = 0 m = 2 hoặc m = 8 Giá trị m = 8 không thoả mãn điều kiện 0 m 4
4. 2 2 Vậy với m = 2 thì x1 x2 = 1 Ví dụ 2: Cho phơng trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để ph- 1 1 x1 x2 ơng trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn x1 x2 5 Bài giải: Δ' ( (m 2))2 (m2 2m 3) 0(1) x .x 0 (2) Ta phải có: 1 2 1 1 x1 x2 (3) x1 x2 5 (1) ' = m2 - 4m + 4 - m2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0 m < 7 6 (2) m2 + 2m - 3 0 (m - 1)(m + 3) 0 m 1; m - 3 x1 x2 x1 x2 (3) (x1 x2 )(5 x1.x2 ) 0 x1.x2 5  Trờng hợp: x1 + x2 = 0 x1 = - x2 m = 2 không thoả mãn điều kiện (1)  Trờng hợp: 5 - x1.x2 = 0 x1.x2 = 5 Cho ta: m2 + 2m - 3 = 5 (m - 2)(m + 4) = 0 m 2 (lo¹i) m 4 (tho¶ m·n §K) Vậy với m = - 4 phơng trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn 1 1 x x 1 2 x1 x 2 5 Ví dụ 3: Cho phơng trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số). a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3 b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
5. Bài giải: 2 (m 1) x x (1) 1 2 m m 4 (2) x1 .x 2 a) Ta phải có: m (3) x1 4 x 2 3 m 0  2  ' ( (m 1) m (m 4 ) 0  (4) m 2 5m 8 Từ (1) và (3) tính đợc: x ; x 2 3m 1 3m (m 2)(5m 8) m 4 Thay vào (2) đợc 2m2 - 17m + 8=0 9m2 m 2 Giải phơng trình 2m - 17m + 8 = 0 đợc m = 8; m = 1 thoả mãn điều kiện (4). 2 1 Vậy với m = 8 hoặc m = thì các nghiệm của phơng trình thoả mãn x 2 1 + 4x2 = 3. b) Theo hệ thức Viét: 2 x1 + x2 = 2 + m 4 x1 + x2 = 1 - (*) m 2 Thay = x1 + x2 - 2 vào (*) đợc x1x2 = 1 - 2(x1 + x2 - 2) m Vậy x1.x2 = 5 - 2(x1 + x2) Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung: x2 + 2x + m = 0 (1) x2 + mx + 2 = 0 (2) Bài giải: Gọi x0 là nghiệm chung nào đó của 2 phơng trình khi đó ta có
6. 2 x0 2x0 m 0 2 x0 mx0 2 0 Trừ theo từng vế hai phơng trình ta đợc (m - 2)x0 = m - 2 Nếu m = 2 cả hai phơng trình là x2 + 2x + 2 = 0 vô nghiệm Nếu m 2 thì x0 = 1 từ đó m = - 3 2 Với m = - 3: (1) là x + 2x – 3 = 0; có nghiệm x1 = 1 và x2 = - 3 2 Và (2) là x - 3x + 2 = 0; có nghiệp x3 = 1 và x4 = 2 Rõ ràng với m = - 3 thì hai phơng trình có nghiệm chung x = 1. 2. Bài tập: Bài 1: Cho phơng trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1) Tìm giá trị của tham số m để phơng trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2. Bài 2: Cho phơng trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm. b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3. d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m. Bài 3: a) Với giá trị nào m thì hai phơng trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó? x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2)
7. b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình (1) là nghiệm của phơng trình (2) và ngợc lại. II. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG BÀI TOÁN LẬP PHƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN, TÌM HỆ SỐ CỦA PHƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ: 1. Các ví dụ: 3 1 1 Ví dụ 1: Cho x1 = ; x2 = 2 1 3 Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2 3 1 1 1 3 3 1 Ta có: x1 = ; x2 = = 2 1 3 1 3 1 3 2 3 1 1 1 Nên x1.x2 = . = 2 1 3 2 3 1 1 x1 + x2 = + = 3 2 1 3 2 1 Vậy phơng trình bậc hai có 2 nghiệm: x1; x2 là x - 3 x+ = 0 2 Hay 2x2 - 2 3 x + 1 = 0 Ví dụ 2: Cho phơng trình: x2 + 5x - 1 = 0 (1) Không giải phơng trình (1), hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm phơng trình (1) Cách giải: Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình đã cho theo hệ thức viét, ta có: x1 + x2 = -5; x1.x2 = - 1 Gọi y1; y2 là các nghiệm của phơng trình phải lập, ta có: 4 4 y1 + y2 = x1 x2
8. 4 4 y1 y2 = x1 .x2 4 4 2 2 2 2 2 Ta có: x1 x 2 = (x1 + x2 ) - 2x1 .x2 = 729 – 2 = 727 4 4 4 4 x1 .x 2 = (x1.x2) = (- 1) = 1 Vậy phơng trình cần lập là: y2 - 727y + 1 = 0 Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phơng trình: x2 + px + q = 0 sao cho hai x1 x2 5 nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn hệ: 3 3 x1 x2 35 Các giải: Điều kiện = p2 - 4q 0 (*) ta có: x1 + x2 = -p; x1.x2 = q. Từ điều kiện: 2 x1 x 2 5 x x 25 1 2 x3 x3 35 2 2 1 2 x1 x2 x1 x1x2 x2 35 x x 2 4x x 25 p 1 4q 25 1 2 1 2 2 p 2 q 7 5 x1 x2 2x1x2 x1x2 35 Giải hệ này tìm đợc: p = 1; q = - 6 và p = - 1; q = - 6 Cả hai cặp giá trị này đều thoả mãn (*) 2) Bài tập: 1 Bài 1: Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là 3 + 2 và 3 2 Bài 2: Lập phơng trình bậc hai thoả mãn điều kiện: 2 x1 x2 k 7 Có tích hai nghiệm: x1.x2 = 4 và + = 2 x1 1 x2 1 k 4
9. Bài 3: Xác định có số m, n của phơng trình: x2 + mx + n = 0 Sao cho các nghiệm của phơng trình làm m và n. III. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH. 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm của phơng trình: x 2 + px + 1 = 0 và b, c là nghiệm của phơng trình x2 + qx + 2 = 0 Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6. Hớng dẫn học sinh giải. Đây không phải là một bài toán chứng minh đẳng thức thông thờng, mà đây là một đẳng thức thể hiện sự liên quan giữa các nghiệm của 2 phơng trình và hệ số của các phơng trình đó. Vì vậy đòi hỏi chúng ta phải nắm vững định lý Viét và vận dụng định lý Viét vào trong quá trình biến đổi vế của đẳng thức, để suy ra hai vế bằng nhau. Cách giải: a,b là nghiệm của phơng trình: x2 + px + 1 = 0 b,c là nghiệm của phơng trình: x2 + qx + 2 = 0. Theo định lý viét ta có: a b - p b c - q và a.b 1 b.c 2 Do đó: (b – a)(b – c) = b2 + ac - 3 (1) pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + 3 Suy ra: pq - 6 = b2 + ac +3 – 6 = b2 + ac - 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (đpcm) Vídụ 2: Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện: a + b + c = - 2 (1); a2 + b2 + c2 = 2 (2)
10. 4 Chứng mình rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn ;0 khi biểu diễn trên 3 trục số: Cách giải: Bình phơng hai vế của (1) đợc: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4 Do (2) nên: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1 bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a2 + 2a + 1 Ta lại có: b + c = - (a + 2), do đó b, c là nghiệm của phơng trình: X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = 0 (*) Để (*) có nghiệm thì ta phải có: = (a+2)2 - 4(a2+2a+1) 0 a(3a + 4) 0 - 4 a 0 3 Chứng minh tơng tự ta đợc: - 4 b 0; - 4 c 0 3 3 2. Bài tập: Bài 1: Gọi a, b là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: x2 + px + 1 = 0. Gọi c, d là hai nghiệm của phơng trình: y2 + qy + 1 = 0 Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2 Bài 2: Chứng minh rằng khi viết số x = ( 3 2)200 dới dạng thập phân, ta đợc chữ số liền trớc dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9. IV. ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ VIÉT GIẢI PHƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƠNG TRÌNH. 1. Các ví dụ: 5 x 5 x Ví dụ 1: Giải phơng trình: x x =6 x 1 x 1
11. Hớng dẫn: ĐKXĐ: {x R  x - 1} 5 x u x. u  ? Đặt: x 1 5 x u. ?  x x 1 Tính: u, v, rồi từ đó tính x. Bài giải: ĐKXĐ: {x R  x - 1} 5 x 5 x 5 x u  x. x u  5 u x. x 1 x 1 Đặt: x 1 (*) 5 x 5 x 5 x u. 6  x u. x. . x x 1 x 1 x 1 u, v là nghiệm của phơng trình: x2 - 5x + 6 = 0 = 25 – 24 = 1 5 1 x1 = = 3 2 5 1 x2 = = 2 2 u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3 u 3 Nếu: thì (*) trở thành: x2 - 2x + 3 = 0  2 ' = 1 – 3 = - 2 < 0 Phơng trình vô nghiệm: u 2 Nếu: thì (*) trở thành: x2 - 3x + 2 = 0  3 Suy ra: x1 = 1; x2 = 2 Vậy phơng trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2. Ví dụ 2: Giải các hệ phơng trình: