Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương trình đưa về phương trình bậc hai

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương trình đưa về phương trình bậc hai

1. Lời nói đầu Việc dạy đúng chuẩn mực kiến thức của chương trình là một nhiệm vụ quan trọng của mỗi người giáo viên đứng lớp. Tuy nhiên, việc bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết phải được tiến hành thường xuyên ở trong các nhà trường phổ thông trung học cơ sở. Việc bồi dưỡng giúp cho học sinh khá không chỉ nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản mà còn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một cách hợp logíc tìm ra được lối giải những bài tập khó, giúp các em rèn trí thông minh sáng tạo, có hứng thú trong khi học môn toán. Đối với môn toán lớp 9, phần '' Phương trình bậc hai'', ''Phương trình quy về phương trình bậc hai'' là phần kiến thức trọng tâm, là phần kiến thức thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp, thi học sinh giỏi và thi vào trung học phổ thông. Do đó, theo tôi học sinh cần nắm thật chắc chắn mảng kiến thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thật đầy đủ về " Phương trình quy về phương trình bậc hai". Sau khi nghiên cứu khá nhiều tài liệu tham khảo viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đưa ra các bài toán rất đa dạng và phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, nằm trong nhiều tài liệu khác nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạy của giáo viên và của học sinh. Trước tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tôi mạnh dạn đưa ra một hệ thống kiến thức nói về ''Phương trình quy về phương trình bậc hai'' với một mong ước là làm tài liệu ôn tập, nhàm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho người dạy và người học trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi. ''Một số phương trình đưa về phương trình bậc hai'' là một hệ thống kiến thức có đặc thù riêng, được tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau. Nói về cách giải của một số loại phương trình đưa được về phương trình bậc hai như: Phương trình chứa ẩn ở mẫu; phương trình bậc ba; phương trình bậc bốn; phương trình vô tỷ Với mỗi loại phương trình sau khi trình bày cách giải đều có kèm theo các ví dụ minh hoạ, cuối mỗi dạng còn có các nhận xét và những lưu ý nhằm giúp người đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu. Tôi mong rằng thông qua các vấn đề mà tôi đã trình bày ở đề tài này phần nào giúp các em học sinh trang bị các kiến thức cũng như các phương pháp giải phương trình ở bậc THCS, chuẩn bị tốt cho kì thi vào trung học phổ thông. 1
2. Phần I: Những vấn đề chung A. Mục tiêu nhiệm vụ của đề tài Đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu và chọn ra một hệ thống kiến thức cơ bản nhất, chung nhất về các dạng phương trình đưa về phương trình bậc hai nhằm: + Giúp cho giáo viên có tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi + Giúp cho học sinh có một cái nhìn thật đầy đủ về phương trình đưa được về phương trình bậc hai, từ đó có những thao tác tư duy nhanh nhạy, sáng tạo, có kỹ năng nhuần nhuyễn trong việc giải các dạng phương trình này. + Giúp học sinh tự tin trong khi giải toán hoặc trong thi cử. B. cơ sở thực tiễn của việc nghiên cứu đề tài Toán học là một môn khoa học trìu tượng, đóng vai trò quan trọng trong đời sống con người, trong việc nghiên cứu khoa học. Khi học toán các em sẽ nắm bắt được nhiều phương pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng tính toán, phân tích tổng hợp, giải quyết được nhiều bài toán thực trong cuộc sống. Việc bồi dưỡng học sinh giỏi là một việc làm rất cần thiết trong các nhà trường THCS. Để là học sinh giỏi, các em cần được rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo, mở rộng, đào sâu kiến thức. Sự phân hoá đối tượng trong học sinh hiện nay về năng lực nổi lên rất rõ. số học sinh các lớp chuyên, chọn chiếm một tỷ lệ tương đối lớn, do đó nhu cầu được nâng cao, mở rộng kiến thức của các em học sinh là rất lớn. Căn cứ vào thực tế dạy học ta thấy, phần kiến thức về phương trình và phương trình đưa về phương trình bậc hai ở chương trình THCS chưa được đề cập đến nhiều. Đội ngũ giáo viên chưa được chuẩn bị chu đáo để bắt tay vào dạ bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi, do đó đòi hỏi người giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn tài liệu cho riêng mình. chính vì thế nội dung bồi dưỡng phần kiến thức này chưa có sự thống nhất, gây không ít khó khăn cho người học và người dạy . Nghiên cứu sách giáo khoa và chương trình hiện hành ta thấy: SGK đại số 9 đã đưa ra cho học sinh một số loại phương trình quy về phương trình bậc 2
3. hai như: phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình vô tỷ, phương trình trùng phương, đưa vào ẩn mới song nhìn chung mức độ yêu cầu về loại này chỉ dừng lại ở mức độ nhận dạng, chỉ phù hợp với học sinh đại trà, còn với các em học sinh ở các lớp chuyên, lớp chọn nếu dừng lại ở yêu cầu trên thì chưa đủ, vì vậy cũng cần hệ thống, phân loại và giới thiệu với các em về mảng kiến thức ''Phương trình quy về phương trình bậc hai''. C. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu về các dạng phương trình, các cách giải phương trình nói chung và phương trình bậc hai nói riêng. Nghiên cứu các phương pháp dạy học toán ở trường THCS. Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa đại số 9, các tài liệu tham khảo và các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, qua học hỏi đồng nghiệp. 3
4. Phần II: Nội dung A. Một số kiến thức và kỹ năng cần thiết khi học về giải phương trình: Khi học về giải phương trình học sinh cần nắm được một số kiến thức và kỹ năng sau: + Các quy tắc tính toán với các biểu thức đại số (các phép tính cộng, trừ, nhân, chia ) + Các hằng đẳng thức đáng nhớ + Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử + Kiến thức về giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức đại số + Điều kiện để cho một biểu thức có nghĩa (biết tìm tập xác định của phương trình, tập xác định của một biểu thức + Kỹ năng biến đổi các biểu thức. + Kỹ năng giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn, phương trình chứa ẩn ở mẫu (dạng cơ bản) B- Phương trình quy về phương trình bậc hai I. Nhắc lại về phương trình bậc hai một ẩn số 1. Định nghĩa: + Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng tổng quát: ax2+bx+c=0 (trong đó x là ẩn; a,b,c là các hệ số thuộc tập R; a 0) + Nghiệm của một phương trình bậc hai là những giá trị của ẩn số mà khi thay vào vế trái của phương trình ta được giá trị của hai vế bằng 0. 2. Giải và biện luận hệ phương trình bậc hai * Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a 0) ta cần quan tâm tới biệt số của phương trình: =b2 - 4ac + Nếu 0: Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt b x1,2= 2a Khi b chẵn, hay b=2b'(b'  ) khi đó ta có: 4
5. ' =b'2- ac + Nếu ' 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt Chú ý: Nếu a và c trái dấu (tức a.c 0). * Đối với một số phương trình bậc hai đơn giản (với hệ số nguyên) trong trường hợp phương trình có nghiệm ( 0) ta có thể dùng định lý Viet để nhẩm nghiệm của phương trình. Định lý Vi-et 2 Nếu phương trình ax + bx+c = 0 (a 0) có nghiệm số x1;x2 ( 0) thì: b x1+ x2= a c x1.x2= a Trường hợp đặc biệt: c + Nếu a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm là: x1=1; x2= a c + Nếu a- b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là: x1=-1; x2=- a *Nhờ định lý Viet ta có thể khảo sát về tính chất các nghiệm của phương trình bậc hai + Phương trình bậc hai có cùng dấu khi: 0 hay b2- 4ac 0 c x1.x2>0 0 a + Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương khi 0 hay b2- 4ac 0 c x1.x2>0 0 a b x1+x2>0 0 a + Phương trình có hai nghiệm cùng âm khi: 0 hay b2- 4ac 0 c x1.x2>0 0 a b x1+x2<0 0 a 5
6. c + Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi: 0 a + Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi: c x1.x2<0 0 a b x1+x2=0 hay 0 a + Phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng nghiệm số dương có trị tuyệt đối lớn hơn khi: c 0 a b 0 a + Phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng nghiệm số âm có trị tuyệt đối lớn hơn khi: c 0 a b 0 a * Nhờ định lý Viet, ta có thể tính được tổng (hoặc hiệu) các luỹ thừa n n bậc n hai nghiệm của phương trình: x 1 x2 (Với n Z) Ví dụ: 2 Phương trình bậc hai ax +bx+c = 0 có hai nghiệm x1;x2 thì: b c b 2 2ac x 2 x 2 (x x ) 2 2x x ( ) 2 2. 1 2 1 2 1 2 a a a 2 b2 2ac c x 4 x4 (x2 x2 )2 2(x x )2 ( )2 2( )2 1 2 1 2 1 2 a2 a II. Phương trình quy về phương trình bậc hai: Trong chương trình Toán ở trường phổ thông ta thường gặp một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai sau: A. Phương trình chứa ẩn ở mẫu Phương trình chứa ẩn ở mẫu là những phương trình có ẩn số nằm ở mẫu thức của phương trình. a) Cách giải: + Tìm tập xác định của phương trình + Quy đồng, khử mẫu + Biến đổi phương trình, đưa phương trình về dạng ax2+bx+c=0 + Giải phương trình dạng ax2+bx+c=0 6
7. + Nhận định kết quả và trả lời (loại bỏ những giá trị của ẩn vừa tìm được không thuộc tập xác định của phương trình). b) Ví dụ : Ví dụ 1: a b Giải và biện luận theo a và b phương trình: 2 (1) x b x a Điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt: Giải Điều kiện: x a, x b : Ta có: (1) 2(x a)(x b) a(x a) b(x b) 2x 2 3(a b)x a 2 b 2 2ab 0 2x 2 3(a b)x (a b) 2 0 (a b) 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1 a b a b x 2 2 * x1 a b 0 x1 b a 0 * x2 a; x2 b a b Vậy với a b;a 0,b 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 2: Giải phương trình: 4 1 4 1 0 (2) 2x 3 3x 2 8x 12 x 2 4 2x 2 7x 6 2x 3 Phân tích mẫu thành nhân tử ta có: 4 1 4 1 (2) 0 (x 2)(x 2)(2x 3) (x 2)(x 2) (x 2)(2x 3) 2x 3 TXĐ: x-2 0 x 2 3 x+2 0 x 2 2x+3 0 Mẫu thức chung: (x-2)(x+2)(2x+3) Khử mẫu ta có: 4 - (2x+3)- 4(x-2) +(x-2)(x+2) 4 2x 3 4x 8 x 2 4 0 x 2 6x 5 0 2 Giải phương trình : x -6x+5=0 ta được 2 nghiệm: x1=1, x2=5 7
8. Đối chiếu với TXĐ ta thấy x1 = 1 và x2 = 5 là hai nghiệm của pt (2) c. Nhận xét: + Loại phương trình chứa ẩn ở mẫu là loại thường gặp ở trường phổ thông. + Khi giải loại này cần lưu ý: Cần so sánh các giá trị tìm được của ẩn với TXĐ trước khi kết luận về nghiệm của phương trình. B. Phương trình bậc ba Phương trình bậc ba (một ẩn số) là phương trình có dạng tổng quát: ax3+ bx2 + cx+d = 0 Trong đó x là ẩn số; a, b, c, d là các hệ số: a 0 a) Cách giải Để giải một phương trình bậc ba ( đối với học sinh THCS) ta thường phải biến đổi đưa về phương trình tích, ở đó vế trái là tích của một nhân tử bậc nhất với một nhân tử bậc hai, còn vế phải bằng 0. Muốn vậy HS cần có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử. b) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình 2x3+7x2+7x+2 = 0 (*) Giải (*) (2x3+2) +(7x2+7x)=0 2(x3+1)+7x(x+1) =0 2(x+1)(x2-x+1)+7x(x+1)=0 (x+1)(2x2+5x+2) =0 x+1=0 (1) 2x2+5x+2 = 0 (2) Phương trình (1) cho nghiệm x=-1 1 Phương trình (2) cho nghiệm x=-2 và x=- 2 1 Vậy phương trình (*) có tập hợp nghiệm là: S = - 1; 2; 2 Ví dụ 2: Cho phương trình x3- (2a+1)x2+(a2+2a-b) x-(a2- b)=0 (1) Giải và biện luận theo a, b số nghiệm của phương trình đã cho. Giải: Phương trình (1) Có tổng các hệ số bằng 0 nên có nghiệm x1=1. Do đó (1) có thể viết: (x-1)(x2- 2ax + a2- b) =0. 8