Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi

1. Sở giáo dục đào tạo hà nội TRường THPT thanh Oai A  đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tên Đề tài SKKN một số phương pháp sử dụng bất đẳng thức côsi Họ và tên : Lê Đình Chiến Chức vụ : Giáo viên Tổ : Toán Đơn vị công tác : Trường THPT Thanh Oai A Thanh Oai - Hà Nội SKKN thuộc lĩnh vực chuyên môn: Môn Toán Năm học 2008-2009
2. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2008-2009 cộng hòa xã hội chủ nghĩa việt nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc * * * Đề tài sáng kiến kinh nghiệm I. Sơ yếu lý lịch Họ và tên : Lê Đình Chiến Sinh ngày : 28-5- 1976 Năm vào ngành : 2005 Chức vụ và đơn vị công tác : Giáo viên trường THPT Thanh Oai A Trình độ chuyên môn : Đại học Sư phạm Toán Nhiệm vụ được phân công : Giảng dạy Toán Khen thưởng : Đề tài giải C cấp tỉnh (Năm học 2005-2006; 2007-2008) Lê Đình Chiến 2 Trường THPT Thanh Oai A
3. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2008-2009 II. Nội dung đề tài SKKN: I- Tên Đề tài SKKN: một số phương pháp sử dụng bất đẳng thức côsi II. Lý do chọn đề tài: Trong chương trình toán THPT bất đẳng thức là phần gây cho học sinh, ngay cả học sinh khá và giỏi nhiều bối rối nhất. Tuy nhiên đây là phần quyến rũ những học sinh say mê với Toán học và mong giỏi Toán vì nó đòi hỏi học sinh phải động não, tìm tòi và sáng tạo. Để giúp các em làm quen và đi đến thích thú các bài toán bất đẳng thức nên tôi viết SKKN "Một số phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi" với mục đích cung cấp cho các em học sinh một số phương pháp và kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức Côsi. III- Phạm vi, thời gian, đối tượng thực hiện: Năm học 2008-2009, đối tượng học sinh lớp 10,11, 12 trường THPT Thanh Oai A - Hà Nội. IV- Những biện pháp thực hiện : A- Kiến thức cơ bản * Bất đẳng thức cô si 1- Dạng tổng quát (nsố) x1 x2 x3 xn  x1; x2; x3 xn > 0 ta có n x x x hoặc n 1 2 n x1 x2 x3 xn n (x1+x2+ +xn) > n n x x x hoặc ( ) x x x 1 2 n n 1 2 m Dấu "=" xảy ra x1= x2= = xn 2 S * HQ 1: nếu x1 + x2 + +xn = S (không đổi) thì Max(x1x2 xn) = n Dấu "=" xảy ra x1= x2= = xn n * HQ2: Nếu x1x2 xn = P (không đổi) thì Min(x1+x2 + +xn) = n P Dấu "=" xảy ra x1= x2= = xn Lê Đình Chiến 3 Trường THPT Thanh Oai A
4. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2008-2009 2- Dạng cụ thể cho 2 số: x y  x, y > 0 ta có xy 2 Dấu "=" xảy ra x = y 3- Dạng cụ thể cho 3 số: x y z  x, y, z > 0 ta có 3 xyz 2 Dấu "=" xảy ra x = y = z B- Một số phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi 1- Phương pháp đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân: VD : CMR (a2 + 2) (b2+c2) (c2 + a2) > 8 a2b2c2  a, b, c R Sai lầm thường gặp là:  x, y thì (x - y)2 > 0 x2 + y2 > 2xy Do đó ta có: 2 2 a b 2ab Đúng 2 2 b c 2bc Đúng 2 2 c a 2ac Đúng (a2 + 2) (b2+c2) (c2 + a2) > 8 a2b2c2 (sai) Chẳng hạn: 4 > - 4 Đúng 2 > - 6 Đúng 3 > 2 Đúng 4.2.3 > (- 4)(- 6).2 (sai) Nhận xét: chỉ nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều (kết quả nhận được bất đẳng thức cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm. Như vậy ta có lời giải đúng như sau: a2 b2 2 a2b2 2 ab 2 2 2 2 b c 2 b c 2 bc c2 a2 2 a2c2 2 ca (a2 + 2) (b2+c2) (c2 + a2) > 8 a2b2c2 = 8 a2b2c2 Lê Đình Chiến 4 Trường THPT Thanh Oai A
5. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2008-2009 * Thông thường ta ít gặp các bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Cô si như bài toán trên mà phải biến đổi bài toán đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Cô si. Bài toán 1: 8 a,b 0 , chứng minh rằng a b 64ab(a b) 2 Giải: 8 4 Ta có : a b [( a b) 2 ]4 = (a b) 2 ab 4 Cosi 2 (a b).2 ab 24.(a b) 2 .22 ab 64.ab(a b) 2 Bài toán 2: 2 2 Cho a1a2 > 0 , a1c1 > b1 , a2c2 > b2 . Chứng minh rằng : 2 (a1 + a2) (c1+ c2) > (b1 + b2) Giải: Từ giả thiết ta có: a1, a2, c1, c2 cùng dấu a1c2 > 0 ; a2c1 > 0 2 2 Ta có: (a1+a2) (c1+c2) = a1c1 + a1c2 +a2c1 +a2c2 > b1 + a1c2+a2c1 +b2 Cosi 2 2 b1 2 a1a2c1c2 b2 2 2 2 2 b1 2 b1 b2 b2 2 ( b1 b2 ) 2 (b1 b2 ) Bài toán 3: Chứng minh (1+a+b)(a+b+ab) > 9ab Giải: Ta có (1+a+b) > 3 3 ab (a+b+ab) > 3 a.b.a.b (1+a+b)(a+b+ab) > 9ab Lê Đình Chiến 5 Trường THPT Thanh Oai A
6. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2008-2009 Bài toán 4: Chứng minh ; 3a3 + 7b3 > 9ab2  a,b > 0 Giải: Ta có: 3a3 + 7b3 > 3a3 +6b3 > 3a3 +3b3 + 3b3 > 3 3 3a 3 .3b3 .3b3 > 9ab2 Bài toán 5: 1 1 1 1 Cho a, b,c,d > 0 và 3 1 a 1 b 1 c 1 d Chứng minh rằng: abcd < 1 81 Giải: Từ giả thiết ta có: 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 a 1 b 1 c 1 d b c d 1 b 1 c 1 d bcd 33 (1 b)(1 c)(1 d) 1 bcd Ta có 33 0 1 a (1 b)(1 c)(1 d) Tương tự ta có: 1 acd 33 0 1 b (1 a)(1 c)(1 d) 1 abd 33 0 1 c (1 a)(1 b)(1 d) 1 abc 33 0 1 d (1 a)(1 b)(1 c) Nhân vế ta được: 1 abcd 1 81 abcd (1 a)(1 b)(1 c)(1 d) (1 a)(1 b)(1 c)(1 d) 81 Lê Đình Chiến 6 Trường THPT Thanh Oai A
7. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2008-2009 Bài toán 6: Chứng minh rằng  a, b> 0 ta có 2008 2008 a 2009 2009 b 4017 4017 ab Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4017 số trong đó có 2008 số dạng 2008 a và 2009 số dạng 2009 b ta được: 2008 2008 a 2009 2009 b ( 2008 a 2008 a 2008 a ) ( 2009 b 2009 b 2009 b ) 2008 số hạng 2009 số hang 4017 4017 ( 2008 a .2008 a 2008 a ).( 2009 b .2009 b 2009 b ) 20082008 a 20092009 b > 2008 s ố hạng 2009 s ố hang 40174017 ab Bài toán 7: a,b,c 0 1 1 1 Cho CMR : ( 1)( 1)( 1) 8 a b c 1 a b c Giải: 1 a 1 b 1 c b c c a a b VT=( )( )( ) . . a b c a b c 2 bc. ca. ab Cosi 8 abc Bài tập áp dụng: cho a ,a , a 0 ,n 3,n N 1 2 n 1 1) 1 1 1 Chứng minh rằng a1a2 an < n 1 (n 1)n 1 a1 1 a2 1 an 2) CMR: mm a nn b (m n)m n ab ab 0 ; 1 m,n N a1 ,a2 , an 0 1 1 1 n 3) Cho CMR: 1 1 1 (n 1) a1 a2 an 1 a1 a2 an Bạn đọc tự giải Lê Đình Chiến 7 Trường THPT Thanh Oai A
8. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2008-2009 2. Phương pháp tách nghịch đảo * Kỹ thuật tách nghịch đảo là kỹ thuật tách phần nguyên theo mẫu số đề khi chuyển sang trung bình nhân thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số. a 2 2 Bài toán 1: CMR: 2 a R a 2 1 Giải: a 2 2 (a 2 1) 1 1 a 2 1 a 2 1 a 2 1 a 2 1 1 Cosi 2 a 2 1. 2 a 2 1 a 2 b2 Bài toán 2: CMR: 2 2 a b và a.b 1 a b Giải: a 2 b2 (a b)2 2ab VT a b a b 2 (a ba0 a b Cosi 2 2 1 Bài toán 3: CMR: a 3 a b 0 b(a b) Giải 1 1 a b (a b) b(a b) b(a b) Cosi 1 3 3 b(a b). b(a b) > 3 1 Bài toán 4: CMR: a 2 2 b(a b)2 Giải: a b a b 1 VT b 2 2 a(b a)2 (a b) (a b) 1 4 4 b. . . 2 2 2 2 a(a b)2 Lê Đình Chiến 8 Trường THPT Thanh Oai A
9. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2008-2009 Bài toán 5: CMR:log3 4 > log4 5 Giải: Theo bất đẳng thức Côsi ta có log3 4 + log4 3 > 2 log3 4.log 4 3 2 (1) mà log45 + log4 3 = log4 5.3 = log4 [(4+1)(4-1)] 2 = log4 (4 -1) 2 log45 + log43 log3 4 > log4 5 3. Phương pháp đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Bài toán 1: CMR: ab cd (a c)(b d) a,b,c 0 Giải: ab cd Bất đẳng thức tương đương với 1 (a c)(b d) (a c)(b d) Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 1 a b 1 c b VT 2 a c b d 2 a c b d 1 a c b d 1 2 a c b d Bài toán 2: Chứng minh : c(a c) c(b c) ab a c 0;b c 0 Giải: c(a c) c(b c) Bất đẳng thức tương đương với 1 ab ab Lê Đình Chiến 9 Trường THPT Thanh Oai A
10. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2008-2009 1 c a c 1 c b c VT 2 b a 2 a b Ta có: 1 b a 1 2 b a Bài toán 3: CMR: 3 abc 1 3 (1 a)(1 b0(1 c) a,b,c 0 Giải: Bất đẳng thức tương đương với: 3 abc 3 1.1.1 3 (1 a)(1 b)(1 c) abc 1.1.1 3 3 1 (1 a)(1 b)(1 c) (1 a)(1 b)(1 c) 1 1 1 1 VT 3 1 a 1 b 1 c 1 1 a 1 b 1 c 1 3 1 a 1 b 1 c Bài toán 4: n n n Tổng quát: a1a2 an b1b2 bn a1 b1 a2 b2 an bn Với ai; bi >0 ; i = 1,n Bạn đọc tự chứng minh. Bài toán 5: 1 1 CMR: 1 n 1 n! n 1 n Bạn đọc tự chứng minh 1 1 1 1 1 2 3 n 1 Gợi ý: VT= n 1 . . n 1 . . 2 3 4 n 2 3 4 n Bài toán 6: CMR: 16ab(a-b)2 < (a+b)4 a,b 0 Giải: VT = 16ab(a-b)2 = 4(4ab)(a-b)2 Lê Đình Chiến 10 Trường THPT Thanh Oai A
11. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2008-2009 4ab (a b)2 4 2 2 (a b)2 4 (a b)4 2 Bài toán 7: 1 (a b)(1 ab) 1 CMR: 2 (1 a 2 )(1 b2 ) 2 Giải: a b 1 ab 1 1 a 2 1 b2 2 1 a 2 1 b2 a b 1 ab 2 VT a b 2 1 ab 2 a b 2 (1 ab)2 Cosi 2 a 2 b2 2ab 1 a 2b2 2ab 2 1 a 2 1 b2 VP (Đpcm) 2 Bài toán 8: a b Cho a, b >1 chứng minh rằng: log a log b 2 log 2 2 2 2 2 Giải: Ta có: ( log2 a log2 b) log2 a log2 b 2 log2 a.log2 b Lê Đình Chiến 11 Trường THPT Thanh Oai A
12. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2008-2009 Cosi log2 a log2 b log2 a log2 b 2(log2 a log2 b) 2log2 ab 4log2 ab a b Cosi 4log 2 2 a b log a log b 2 log 2 2 2 2 (đpcm) a,b,c 0 Bài toán 9: Cho CMR :16abc a b a b c 1 Giải: a b VT 16abc Cosi 16( )2 .c 2 (a b) c 4(a b) a b .c Cosi 4(a b)[ ]2 2 1 4(a b).( )2 doa b c 1 2 a b Cho a,b,c 0 8 Bài toán 10: CMR : abc(a b)(b c)(c a) a b c 1 729 Giải: Ta có VT abc(a b)(b c)(c a) a b c (a b) (b c) (c a) 8 ( )3 .[ ]3 3 3 729 Cho a,b,c 0 8 Bài toán 11: CMR : ab bc ca abc a b c 1 27 Giải: Lê Đình Chiến 12 Trường THPT Thanh Oai A
13. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2008-2009 VT ab bc ca abc 1 ab bc ca abc a b c (1 a )(1 b)(1 c) 1 a 1 b 1 c 9 Cosi [ ] 3 3 27 4. Phương pháp thêm hằng số Để sử dụng bất đẳng thức Cô si từ trung bình nhân sang trung bình cộng ta cần chú ý: Chỉ số căn thức là bao nhiêu thì số các số hạng ở trong căn là bấy nhiêu. Nếu số các số hạng nhỏ hơn chỉ số căn thì ta phải thêm hằng số để số các số hạng bằng chỉ số căn. Bài toán 1: CMR: a b 1 b a 1 ab ab 1 Giải: Ta có: b 1 1 ab a b 1 a (b 1).1 a. 2 2 (a 1) 1 ab b a 1 b (a 1).1 b. 2 2 Cộng vế a b 1 b a 1 ab (đpcm) Bài toán 2: Cho a,b,c 0 CMR : (a b) (b c) (c a) 6 a b c 1 Giải: Ta có: 2 (a b) 3 2 3 a b . (a b). . 3 2 3 2 2 Lê Đình Chiến 13 Trường THPT Thanh Oai A