Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

1. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Năm học: 2012 – 2013 ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình Đại số lớp 9, giải phương trình vô tỉ là một dạng toán khó nhưng trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp và thi tuyển sinh vào lớp 10 thì lại rất hay gặp. Khi gặp các phương trình có chứa dấu căn phức tạp, học sinh thường lúng túng, không tìm ra cách giải và hay mắc sai lầm khi giải. Nhiều phương trình vô tỉ không thể giải được ngay bằng các phương pháp quen thuộc thông thường là nâng lên luỹ thừa hai vế để làm mất dấu căn. Có một số phương trình sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn đến những phương trình bậc cao mà việc nhẩm nghiệm để đưa về phương trình bậc nhất và bậc hai để giải là rất khó khăn. Để khắc phục những tồn tại trên, khi dạy cho học sinh giải phương trình vô tỉ, giáo viên cần trang bị cho các em các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và các kiến thức mở rộng thì mới hình thành được cho các em các phương pháp giải cụ thể cho từng loại phương trình. Với mỗi dạng phương trình, giáo viên cần để cho học sinh phát hiện ra cách giải và tìm ra cách giải phù hợp nhất. Qua mỗi dạng phương trình, từ cách giải tổng quát, hãy hướng dẫn học sinh đặt ra các đề toán tương tự, từ đó khắc sâu cách giải cho học sinh. Nếu biết phân dạng, chọn các ví dụ tiêu biểu, hình thành lối tư duy cho học sinh thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao kỹ năng thực hành giải toán cho các em. Chính vì thế nên tôi chọn đề tài “ Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ” để nghiên cứu. 1 Nguyễn Thị Hoa Trường THCS Nam Triều
2. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Năm học: 2012 – 2013 NỘI DUNG. I. Định nghĩa: Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn trong căn thức. II. Các bước giải phương trình vô tỉ ( Dạng thông thường): - Tìm điều kiện xác đinh của phương trình. - Dùng các phép biến đổi tương đương đưa về dạng phương trình đã học. - Giải phương tìm được. - Đối chiếu kết quả tìm được với điều kiện xác định và kết luận nghiệm. *Chú ý: Với những phương trình có tập xác định là R và trong quá trình biến đổi phương trình không cần thêm điều kiện thì phải thử lại với nghiệm tìm được. III. Các kiến thức cơ bản về căn thức: 1. Một số âm không có căn bậc chẵn. 2. Muốn nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế của phương trình để được phương trình tương đương thì phải đặt điều kiện cho hai vế không âm. A 2 A A A2 B A A2 B A B với A > 0; A2 > B > 0 2 2 IV. Các dạng phương trình cơ bản: 1. Dạng 1: f (x) g(x) (1) Sơ đồ cách giải: f (x) g(x) g (x) > 0 (2) f(x) = [g(x)]2 (3) 2. Dạng 2: f (x) g(x) h(x) (1) Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình: f(x) > 0 g(x) > 0 (2) h (x) > 0 2 Nguyễn Thị Hoa Trường THCS Nam Triều
3. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Năm học: 2012 – 2013 Với điều kiện (2) hai vế của phương trình (1) không âm nên bình phương hai vế của phương trình (1) và rút gọn ta được: [h(x)]2 f (x) g(x) f (x).g(x) (3) 2 Phương trình (3) có dạng (1) nên tiếp tục giải theo phương pháp của dạng (1) . Đối chiếu nghiệm tìm được của (3) với điều kiện xác định rồi kết luận nghiệm. 3. Dạng 3: f (x) g(x) h(x) Cách giải như dạng (2). 4. Dạng 4: f (x) g(x) h(x) p(x) (1) Điều kiện xác đinh của phương trình: f(x) > 0 g(x) > 0 (2) h (x) > 0 p (x) > 0 Bình phương hai vế của phương trình để đưa về dạng f (x) g(x) h(x) Tuỳ theo từng trường hợp, ta đưa về giải phương trình vô tỉ (căn bậc n). 5. Dạng 5: f (x) g(x) n f (x).g(x) h(x) (1) Điều kiện : f(x) > 0 g(x) > 0 Đặt ẩn phụ a = f (x) g(x) (a > 0) a 2 f (x) g(x) => f (x).g(x) 2 Đưa phương trình (1) về các phương trình đã biết cách giải để giải. 3 Nguyễn Thị Hoa Trường THCS Nam Triều
4. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Năm học: 2012 – 2013 V. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ: Trên đây là 5 dạng phương trình vô tỉ và các cách giải tương ứng nhưng không phải bao giờ ta cũng gặp một trong 5 dạng trên hoặc bất cứ phương trình vô tỉ nào cũng có thể đưa về một trong 5 dạng trên. Sau đây là một số phương pháp giải phương trình vô tỉ không thuộc 5 dạng trên. 1. Phương pháp nâng lên luỹ thừa: Thường dùng khi hai vế của phương trình có cùng bậc. Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả hai vế của phương trình lên luỹ thừa bậc n. Nếu n chẵn thì ta chỉ thực hiện được khi cả hai vế không âm. Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 25 x 3 3 x 4 (1) ĐKXĐ: x R Lập phương hai vế của phương trình ta được: (1) 25 + x + 3 - x + 3. 3 (25 x)(3 x).(3 25 x 3 3 x) 64 (2) Vì 3 25 x 3 3 x 4 (theo 1) nên (2) 28 + 12 3 (25 x).(3 x) 64 12 3 (25 x).(3 x) 36 3 (25 x).(3 x) 3 Lập phương hai vế của (3) ta được: (25 + x)(3 - x) = 27 - x2 - 22x + 75 = 27 x2 + 22x - 48 = 0 (x - 2)(x + 24) = 0 x = 2 x = - 24 Thử lại: + Với x = 2 ta có 3 25 2 3 3 2 3 1 4 + Với x = -24 ta có 3 24 25 3 3 24 1 3 4 Vậy, nghiệm của phương trình là x1 = 2; x2 = -24 Ví dụ 2: Giải phương trình : 1 x 4 x 3 (2) Điều kiện: - 4 < x < 1 4 Nguyễn Thị Hoa Trường THCS Nam Triều
5. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Năm học: 2012 – 2013 Khi ®ã 2 vÕ cña ph­¬ng tr×nh (2) kh«ng ©m, b×nh ph­¬ng hai vÕ ta cã: (2) 1 - x + 4 + x + 2 (1 x)(4 x) 9 (1 x)(4 x) 2 (2*) Bình phương hai vế của phương trình (2*) ta có: (2*) (1 - x)(4 + x) = 4 - x2 - 3x + 4 = 4 x(x + 3) = 0 x = 0 hoặc x = -3. Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là : x1 = 0; x2 = -3. Ví dụ 3: Giải phương trình: x 1 5x 1 3x 2 (3) Ở phương trình (3) cả hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm để nguyên hai vế như vậy mà bình phương để làm mất dấu căn. Vì vậy, giáo viên cần phân tich kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải. Muốn vậy, hãy khắc sâu cho học sinh tính chất của lũy thừa bậc hai: a = b a2 = b2 ( khi a, b cùng dấu ). Có như vậy, khi bình phương hai vế thì mới được phương trình mới tương đương với phương trình ban đầu. Ở phương trình (3), VP 0 , nhưng vế trái chưa chắc đã không âm, vì vậy ta nên chuyển vế để đưa phương trình về dạng có cả hai vế đều không âm. (3) x 1 5x 1 3x 2 Bình phương hai vế ta được: x 1 5x 1 3x 2 2 7x 2 15x 2 13x 2 (*) Đến đây, học sinh có thể sẽ tiếp tục bình phương hai vế của phương trình mà không xác định xem cả hai vế đã thỏa mãn điều kiện không âm chưa. Nếu bình phương hai vế ta được : 4 14x 49x 2 4(15x 2 13x 2) 11x 2 24x 4 0 (11x 2)(x 2) 0 5 Nguyễn Thị Hoa Trường THCS Nam Triều
6. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Năm học: 2012 – 2013 2 x 11 x 2 2 Như vậy, phương trình sẽ có hai nghiệm là: x1 ; x2 2 . 11 Thực tế có phải vậy không ? Ta xét: Để bình phương được hai vế của phương trình cần có điều kiện 2 2 2 7x 0 x Như vậy , cả hai giá trị x1 ; x2 2 đều không thỏa mãn 7 11 2 điều kiện x nên bị loại. Phương trình vô nghiệm. 7 Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: a) 4x 1 3x 4 x 2 b) x 2 x 1 2x 1 x 3 c) 3 x 1 3 x 1 3 5x d) 3 2x 1 3 3 2x 4 2. Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức A2 A để làm mất dấu căn và đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1. Giải phương trình: x2 - 4x - 3 = x 5 (1) Điều kiện: x -5. Ta có: 9 1 (1)  x2 – 3x + = x + 5 + x 5 + 4 4 2 2 3 1 3 1 1  x x 5 x x 5 (Vì x 5 + 0 ) 2 2 2 2 2 3 1 3 x - x 5 nếu x > 2 2 2 3 1 3 x - x 5 nếu x 2 3 x 5 = - x + 1 nếu x < 2 6 Nguyễn Thị Hoa Trường THCS Nam Triều
7. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Năm học: 2012 – 2013 x > 2 x > 2 x + 5 = x2 - 4x + 4 x2 - 5x -1 = 0 x  x x = -1 Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x = 5 29 ; x = -1. 2 Ví dụ 2. Giải phương trình: x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1 x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1 x 1 1 | x 1 3 | 2.| x 1 1| Đặt y = x 1 (y ≥ 0) phương trình đã cho trở thành: y 1 | y 3 | 2 | y 1| – Nếu 0 ≤ y 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm) Với y = 3 x + 1 = 9 x = 8 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8. Ví dụ 3. Giải phương trình: 2x 2 2 2x 3 2x 13 8 2x 3 5 (3) * Nhận xét: Biểu thức trong căn có thể viết dưới dạng bình phương của một biểu thức. 3 Điều kiện: 2x 3 0 x . Ta có: 2 (3) (2x 3) 2 2x 3 1 + (2x 3) 2 2x 3.4 16 = 5 7 Nguyễn Thị Hoa Trường THCS Nam Triều
8. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Năm học: 2012 – 2013  ( 2x 3 1) 2 + ( 2x 3 4) 2 = 5  2x 3 1 + 2x 3 4 = 5 (*) Vì 2x 3 1 1 luôn dương chỉ cần xét dấu 2x 3 4 . 2x 3 16 19 - Nếu 2x 3 4 0 3 x x 2 2 thì 2x 3 1 2x 3 4 5 2 2x 3 8 2x 3 4 . 9 Giải ra ta có x ( không thỏa mãn điều kiện). 2 3 19 - Nếu 2x 3 4 x 2 2 thì 2x 3 1 2x 3 4 5 0x 0 3 19 Vậy, phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn x . 2 2 Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: a) x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1; b) x 2x 1 x 2x 1 2 3. Phương pháp đưa về phương trình tích: Ví dụ 1. Giải phương trình: 2x 1 x 2 x 3 Điều kiện: x ≥ 2. Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3. Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế của phương trình: x 3 0 (x 3)( 2x 1 x 2 1) 0 2x 1 x 2 1 PT vô nghiệm Ví dụ 2. Giải phương trình: x 1 2(x 1) x 1 1 x 3 1 x2 (1) Điều kiện: | x | ≤ 1. Với điều kiện này ta có: (1) x 1 1 x 2 x 1 1 x 1 0 24 x1 = 0; x2 = 25 8 Nguyễn Thị Hoa Trường THCS Nam Triều