Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

1. A - đặt vấn đề: i. lời mở đầu: Qua các năm giảng dạy môn toán 9 cùng với kết quả cụ thể trong năm học 2007 - 2008. Tôi thấy rằng các em còn lúng túng trong các dạng bài tập về tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình đa thức có một hoặc nhiều ẩn, phương trình dạng phân thức, cũng như một số phương trình khác, mà mấu chốt của đặc trưng để giải phương trình đó là tìm ra nghiệm nguyên của phương trình thì việc tiếp cận với các dạng toán tìm nghiệm nguyên là một vấn đề hết sức khó khăn trong quá trình toán học. Mặt khác trong việc gỉang dạy toán cần rèn luyện cho các em các phẩm chất trí tuệ, đặc biệt là tính độc lập, tính sáng tạo và các phương pháp giải toán tìm nghiệm nguyên thông qua các bài tập từ dễ đến khó. Để các em nắm chắc được kiến thức nhằm nâng cao chất lượng trong trong học tập. Vì vậy tôi lựa chọn đề tài một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên . ii. thực trạng của vấn đề nghiên cứu. 1. Thực trạng. Trong giải toán tìm nghiệm nguyên của phương trình việc giúp các em nắm bắt được cách giải phương trình tìm nghiệm nguyên là hết sức cần thiết. song qua một bài toán bằng sự gợi mở cũng như tung ra các phương pháp một cách khéo léo để từ đó giúp các em củng cố được nhiều hơn đơn vị kiến thức, đồng thời nắm được các phương pháp giải ở một số phương t rình khác nhau. 2. Kết quả hiệu quả của thực trạng trên. Trong quá trình giảng dạy và điều tra, khảo sát chất lượng giảng dạy môn toán ở trường THCS Nga Điền nói chung, môn toán khối 9 nói riêng, cụ thể là bài toán tìm nghiệm nguyên, tôi thấy sự lúng túng của học sinh khi gập bài toán tìm nghiệm nguyên ở các bài toán dễ. Vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi đã tìm tòi các bài toán cơ bản dễ hiểu để từ đó học sinh tiếp cận kiến thức một cách dễ dàng hơn. Khi chưa áp dụng phương pháp này thì kết quả thấp, và sau khi áp dụng kết quả có khả quan hơn. 1
2. Cụ thể là: Điểm dưới Điểm Điểm Điểm Sĩ Lớp Phương pháp 5 5 - 6 7 - 8 9-10 số SL % SL % Sl % SL % Khi chưa áp 9C 34 16 47 12 35,3 4 11,8 2 5,9 dụng Khi chưa áp 9D 34 17 50 13 38,2 3 8,8 1 3,0 dụng Chính vì thực tiễn trên là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán tôi đã nghiên cứu tìm ra nguyên nhân của thực trạng tên, để từ đó tìm ra phương pháp dễ hiểu để học sinh tiếp cận một cách dễ dàng hơn, và trong chuyên đề này tôi mạnh dạn đề cập một số phương pháp giải phương trình với nghiệm nguyên cho các phương trình như là phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình đa thức một hoặc nhiều ẩn, phương trình dạng phân thức. B. giải quyết vấn đề. i. Các giải pháp thực hiện. Một số dạng toán và phương pháp giải : Dạng toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn. Phương pháp giải: + Phương pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn. + Phương pháp tách ra các giá trị nguyên. + Phương pháp tìm một nghiệm riêng. Dạng toán 2. Phương trình đa thức có một hoặc nhiều ẩn. Phương pháp giải: + Phương pháp đưa về phương phương trình ước số. + Phương pháp xét các số dư từng vế. Dạng toán 3. Phương trình dạng phân thức. Phương pháp giải: 2
3. + Phương pháp dùng bất đẳng thức. + Phương pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn. + Phương pháp tách các giá trị nguyên. + Phương pháp tìm một nghiệm riêng. + Phương pháp xét số dư từng vế. và một số phương pháp khác II. cáC BIệN PHáP Để Tổ CHứC THựC HIệN Các ví dụ vận dụng cho từng dạng toán: Dạng toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn. Cơ sở lý thuyết: Xét phương trình: ax + by = c trong đó a, b, c Z ; a 0 hoặc b 0 . Ta có định lý sau:Phương trình ax + by = c có nghiệm nguyên khi và chỉ khi c(a,b) và khi biết phương trình ax + by = c có nghiệm nguyên ta sẽ tìm các phương pháp để giải phương trình đó. 1.1/ Sử dụng phương pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn. Ví dụ. Tìm nghiệm nguyên của phương trình. 7x + 4y = 120 (1) Giải: Vì (7 , 4) = 1 ; 120  1 nên phương trình (1) có nghiệm nguyên. Ta thấy 4y và 120 đều chia hết cho 4 nên 7x  4 mà (7 , 4) = 1 nên x  4. Đặt x = 4t với t Z thì phương trình (1) trở thành 7(4t) + 4y = 120 7t + y = 30 y = 30 - 7t x 4t Do đó với t Z y 30 7t x 4t Thử laị . Thay vào phương trinh (1) thấy thoả mãn VT = VP. y 30 7t x 4t Vậy nghiệm nguyên của phương trình (1) là : với t Z . y 30 7t 1.2/ Sử dụng phương pháp tách ra các giá trị nguyên: Ví dụ. Tìm nghiệm nguyên của phương trình. 3
4. 14x + 8y = 46 (1) Giải: Thu gọn phương trình (1) ta được: 7x + 4y = 23 23 7x Biểu thi y theo x ta được: y = (2) 4 Tách riêng giá trị nguyên của y ở biểu thức (2) ta được. 24 8x x 1 x 1 y = 6 2x 4 4 x 1 Để y nguyên thì phải nguyên; 4 x 1 Đặt = t với t Z x = 4t + 1 4 do đó y = 6 - 2(4t +1) + t = 6 - 8t - 2 + t = 4 - 7t Thay x = 4t + 1, y = 4 - 7t vào phương trình (1) ta được nghiệm đúng. x 4t 1 Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: t Z y 4 7t 1.3/ Sử dụng phương tìm một nghiệm riêng. Cơ sở lý thuyết: Ta có định lí: Cho phương trình ax + by = c (1) Trong đó a, b, c Z ; a 0 hoặc b 0 và (a,b) = 1. Nếu ( x0 , y0) là một nghiệm nguyên của phương trình (1) thì phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên và mọi nghiệm nguyên của nó đều có thể biểu diễn dưới dạng: x x0 bt với t Z . y y0 at Ta gọi (x0 , y0) là một nghiệm riêng. Như vậy, để tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình (1) ta chỉ cần tìm ra một nghiệm riêng của phương trình. trong trường hợp đơn giản ta có thể tính nhẩm nghiệm riêng này bằng cách thử chọn. Ví dụ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 6x - 4y = 2. Giải: Dễ thấy x0 = 1, y0 = 1 là một nghiệm riêng nên tập hợp các nghiệm nguyên của phương trình đó là: x 1 4t y 1 6t 4
5. Dạng toán 2. Phương trình đa thức có một hoặc nhiều ẩn. Cơ sở lý thuyết: Phương trình có dạng f(x , y ) = 0 trong đó f(x , y ) là đa thức của các biến x , y, gọi là phương trình đa thức. 2.1/ Sử dụng phương pháp đưa về phương trình ước số. Ví dụ. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y + x - 4 = -xy (1) Giải: y + x - 4 = - xy x + xy + y = 4 x(y +1) + (y +1) = 5 (x + 1)(y + 1) = 5 Ta gọi phương trình này là phương trình ước số. Vì x, y Z nên x + 1 Z , y +1 Z và x+ 1 , y +1 là ước của 5 do đó: x +1 5 -1 1 -5 x 4 -2 0 -6 Suy ra y + 1 1 -5 5 -1 y 0 -6 4 -2 2.2/ Sử dụng phương pháp xét số dư từng vế. Ví dụ: Cho phương trình 4x2 - 8y3 + 2z2 = 4(1 - x) (1) Chứng minh rằng phương trình (1) không có nghiệm nguyên. Giải: 4x2 - 8y3 + 2z2 = 4(1 - x) 4x2 + 4x = 8y3 - 2z2 + 4 4x2 + 4x + 1 = 8y3 - 2z2 + 5 (2x +1)2 = 8y3 - 2z2 + 5 (2) Vế trái của (2) là một số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1. (3) Xét vế phải của (2). 8y3  8 2z2 chia hết cho 8 nếu z chẵn. chia cho 8 dư 2 nếu z lẻ . Vậy vế phải chia cho 8 dư 5 hoặc dư 7 (4) 5
6. Từ (3) và (4) suy ra phương trình (2) không có nghiệm nguyên, do đó phương trình (1) không có nghiệm nguyên. Dạng toán 3. Phương trình dạng phân thức. Sử dụng phương pháp dùng bất đẳng thức, sắp thứ tự của các ẩn, và xét từng khoảng giá trị của biến. Ví dụ. 2 2 Cho phương trình: 1 (1) x y Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình. 1 Giải. Từ phương trình (1) ta nhân vào hai vế của phương trình với khi đó 2 phương trình (1) trở thành. 1 1 1 (2) x y 2 Do vai trò của x và y là như nhau, ta giả sử x y. Ta xác định khoảng giới hạn của y (là số nhỏ trong hai số). Vì x > 0 nên 1 1 y 2 y 2 1 1 Mặt khác x y > 0 nên x y 1 1 1 1 Suy ra x y y y 1 2 Hay y 4 (3) 2 y Từ (1) và (2) suy ra 2 y 4 . 1 1 1 1 Với y = 3 thì x 6 , x 2 3 6 1 1 1 1 Với y = 4 thì x 4 , x 2 4 4 Các nghiệm nguyên dương của phương trình là (6;3) và (4;4). 6
7. III.kết luận: Sau một thời gian đưa vào áp dụng giảng dạy cho học sinh ở một số lớp 9 tôi tự nhận thấy và rút ra một số kết luận như sau: 1 - Mức độ yêu thích môn học đại số, bài toán tìm nghiệm nguyên được nâng lên, các em không cảm thấy ngại khi gặp bài toán tìm nghiệm nguyên của phương trình. 2 - Thông qua đó đa số các em đã nắm được một số phương pháp giải tìm nghiệm nguyên và có kỹ năng sử dụng các phương pháp vào các bài tập cụ thể. 3 - Học sinh có kỹ năng khai thác bài toán đã cho thành bài toán khó hơn nhằm mở rộng kiến thức. Kết quả đạt được khi vận dụng các phương pháp trên. Điểm dưới Điểm Điểm Điểm Sĩ Lớp Phương pháp 5 5 - 6 7 - 8 9-10 số SL % SL % Sl % SL % 9C 34 Khi áp dụng 5 14,7 14 41,1 11 32,4 4 11,8 9D 34 Khi áp dụng 7 20,6 16 47,1 8 23,5 3 8,8 Để vận dụng và làm tốt các bài tập cần cho học sinh nắm vững cơ sở lý thuyết kỹ năng và phương pháp để từ đó học sinh không còn lúng túng khi giải bài toán tìm nghiệm nguyên. Nga Điền, ngày 25 tháng 04 năm 2009 Người thực hiện Đỗ Văn Nghĩa. 7 7