Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS

1. PHẦN I MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Nhiều năm gần đây trong các kỳ thi chọn lọc học sinh giỏi các cấp bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT thường có các bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (GTLN); giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức nào đó. Các bài toán này là một phần của các bài toán cực trị đại số. Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, nó tương đối mới và khó đối với học sinh THCS. Để giải các bài toán cực trị học sinh phải biết đổi tương đương các biểu thức đại số, phải sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp phải tổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán, tư duy sáng tạo. Vậy làm thế nào để học sinh có thể định hướng được hướng đi, hay hơn thế là hình thành được ''phương pháp giải'' mỗi khi gặp một bài toán cực trị đại số. Là người trực tiếp giảng dạy toán trong trường THCS, trong quá trình giảng dạy, đặc biệt là dạy học sinh giỏi, tôi luôn luôn trăm trở, tìm tòi, chọn lọc những phương pháp hợp lý nhất để để dẫn dắt, hình thành cho học sinh một cách suy nghĩ mới làm quen với dạng toán này để dần dần các em có được một số phương pháp giải cơ bản nhất. Trong khuôn khổ nhỏ hẹp này tôi xin nêu ra "Một số phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS". II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI. 1. Mục đích nghiên cứu ➢ Nghiên cứu đề tài một số phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS giúp giáo viên vận dụng một cách tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. từ đó có phương pháp dạy học phần này cho học sinh có hiệu quả giúp học sinh nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt kiến thức toán học đặc biệt là kiến thức về "Một số phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS”. ➢ Nghiên cứu đề tài để lắm được những thuận lợi và khó khăn khi dạy học phần giải bài toán tìm cực trị từ đó xác định hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán. ➢ Nghiên cứu đề tài giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành công dạy toán tìm cưc trị của đồ thức. 3
2. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu. ➢ Đề tài đưa ra một hệ thống các phương pháp thường dùng để giải bài toán cực trị và một số bài toán áp dụng đối với từng phương pháp. ➢ Trang bị cho học sinh lớp 9 hệ thống kiến thức để giải bài toán cực trị, tránh được những nhầm lẫn thường gặp khi giải dạng bài toán này. ➢ Thông qua đề tài, học sinh có thể nắm được một số phương pháp và có thể vận dụng vào giải bài tập, rèn kĩ năng giải bài toán cực trị, đồng thời giúp học sinh thấy được cái hay, cái đẹp, sức hấp dẫn của toán học, kích thích sự tò mò khám phá, tìm hiểu bài toán . III. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU ➢ Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán tìm cực trị trong chương trình toán THCS ➢ Nghiên cứu các tài liệu có liên quan . ➢ Giáo viên dạy toán THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối 8, 9 IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. 1. Phương pháp nghiên cứu lí luận Đọc các tài liệu có liên quan ➢ Tạp chí toán tuổi thơ 2 ➢ Phương pháp dạy học môn toán ➢ Sách giáo khoa ➢ Sách giáo viên ➢ Sách tham khảo 2. Phương pháp điều tra ➢ Điều tra nắm tình hình dạy của các giáo viên trong và ngoài nhà trường. ➢ Điều tra mức độ tiếp thu và vận dụng "Một số phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS” của học sinh. ➢ Chất lượng của học sinh trước và sau khi thực hiện 3. Phương pháp phân tích ➢ Phân tích yêu cầu, kĩ năng giải môt bài tập 4. Phương pháp thực nghiệm 5. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm ➢ Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp để dạy tốt hơn trong quá trình dạy học. 4
3. PHẦN II: NỘI DUNG I . CÁC KIẾN THỨC CẦN THIẾT 1. Các định nghĩa 1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền D : M. được gọi là GTLN của f(x,y, ) trên miền |D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn : 1. f(x,y, ) M (x,y, ) |D 2.  (x0, y0, ) |D sao cho f(x0, y0 ) = M. Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) = fmax với (x,y, ) |D 1.2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền |D : M. được gọi là GTNN của f(x,y, ) trên miền |D đến 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn : 1. f(x,y, ) M (x,y, ) |D 2.  (x0, y0, ) |D sao cho f(x0, y0 ) = M. Ký hiệu : M = Min f(x,y, ) = fmin với (x,y, ) |D 2. Các kiến thức thường dùng 2.1. Luỹ thừa : a) x2 0 x |R x2k 0 x |R, k z - x2k 0 Tổng quát : f (x)2k 0 x |R, k z - f (x)2k 0 Từ đó suy ra : f (x) 2k + m m x |R, k z M - f (x)2k M b) x 0 x 0 ( x )2k 0 x 0 ; k z Tổng quát : ( A )2k 0 A 0 (A là 1 biểu thức) 2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : a) |x| 0 x |R b) |x+y| |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0 c) |x-y| |x| - |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0 và |x| |y| 5
4. 2.3. Bất đẳng thức côsi : a a a ai 0 ; i = 1, n : 1 2 n n a .a a n N, n 2. n 1 2 n dấu "=" xảy ra a1 = a2 = = an 2.4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với n cặp số bất kỳ a1,a2, ,an ; b1, b2, ,bn ta có : 2 2 2 2 2 2 2 (a1b1+ a2b2 + +anbn) ( a1 a2 an ).(b1 b2 bn ) a Dấu "=" xảy ra i = Const (i = 1, n ) bi Nếu bi = 0 xem như ai = 0 2.5. Bất đẳng thức Bernonlly : Với a 0 : (1+a)n 1+nan N. Dấu "=" xảy ra a = 0. ❖ Một số Bất đẳng thức đơn giản thường gặp được suy ra từ bất đẳng thức (A+B)2 0. a. a2 + b2 2ab b. (a + b)2 4ab c. 2( a2 + b2 ) (a + b)2 a b d. 2 b a 1 1 4 e. b a a b 6
5. II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Phương pháp 01 ( Sử dụng phép biến đổi đồng nhất ) Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dương) và những hằng số . Từ đó : 1.Để tìm Max f(x,y, ) trên miền |D ta chỉ ra : f (x, y ) M sao cho f(x0,y0, ) = M (x0 , y0 ) | R 2. Để tìm Min f(x,y, ) trên miền |D ta chỉ ra : f (x, y ) m sao cho f(x0,y0, ) = m (x0 , y0 ) | R I. Các vi dụ minh hoạ : 2 1. Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A1 = x + 4x + 7 Giải : 2 2 2 2 Ta có : A1 = x + 4x + 7 = x + 4x + 4x + 3 = (x + 2) + 3 3 vì (x + 2) 0. A1 min = 3 x + 2 = 0 x = -2 Vậy A1 min = 3 x = -2 2 2. Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của A2 = -x + 6x - 15 Giải : 2 2 Ta có : A2 = -x + 6x - 15 = - (x - 6x + 9) - 6 2 2 A2 = - (x - 3) - 6 - 6 do -(x - 3) 0 x |R A2 max = - 6 x - 3 = 0 x = 3 Vậy A2 max = - 6 x = 3 3. Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 Giải : Ta có : A3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 = (x-1) (x-8) (x-4) (x-5) + 2002 = (x2-9x + 8) (x2 - 9x + 20) + 2002 = {(x2-9x + 14) - 6}.{(x2-9x + 14) + 6} + 2002 = (x2-9x + 14)2 - 36 + 2002 7
6. = (x2-9x + 14)2 + 1966 1966 vì (x2-9x + 14)2 0 x 2 x 2 A3 min = 1966 x -9x + 14 = 0 x 7 x 2 Vậy A3 min = 1966 x 7 2x 2 10x 1 4. Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A4 = (x 1) x 2 2x 1 Giải : 2x 2 10x 1 2(x 2 2x 1) 6(x 1) 9 6 9 Ta có: A4 = 2 x 2 2x 1 (x 1) 2 x 1 (x 1) 2 2 2 3 3 = - 1 3 3 vì - 1 0 x x 1 x 1 3 A4 Max = 3 1 0 x = -2 x 1 Vậy : A4 Max = 3 x = -2 x y 5. Ví dụ 5 : Tìm giá trị lớn nhất của A5 = x y với x,y>0 y x Giải : x y x x y y x y y x x( x y) y( x y) Ta có:A5= x y = y x xy xy ( x y).(x y) ( x y)2.( x y) A5 = = 0x,y > 0 xy xy A 5 min = 0 x y 0 x = y Vậy : A5 min = 0 x = y > 0 6. Ví dụ 6 : Cho x,y 0 và x + y = 1 . 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của A6 = x + y . Giải : Do x; y 0 và x + y = 1 0 x;y 1 x2 x, y2 y 2 2 x 0 x 1 A6 = x + y x + y = 1 A6 max = 1 hoặc y 1 y 0 Mặt khác : x + y = 1 (x + y)2 = 1 1 = x2 + 2xy + y2 (x2+y2)-(x-y)2 2 2 1 1 2 1 2 A6 = x +y = (x y) do (x - y) 0 2 2 2 1 1 A6 min = x - y = 0 x = y = 2 2 8
7. x 0 x 1 Vậy : A6 max = 1 ; y 1 y 0 1 1 A6 min = x = y = 2 2 2 2 2 7. Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của A7 = xy + yz + zx - x -y -z Giải : 2 2 2 1 2 2 2 Ta có : A7 = xy + yz + zx - x -y -z = - (2x +2y +2z -2xy-2yz-2xz) 2 1 2 2 2 A7 = - {(x-y) + (y-z) + (z-x) } 0x,y,z 2 A7 Max = 0 x = y = z Vậy : A7 Max = 0 x = y = z II. Nhận xét: ❖ Phương pháp giải toán cực trị đại số bằng cách sử dụng các phép biến đổi đồng nhất được áp dụng cho nhiều bài tập, nhiều dạng bài tập khác nhau. Song đôi khi học sinh thường gặp khó khăn trong công việc biến đổi để đạt được mục đích. Vậy còn những phương pháp nào; để cùng phương pháp vừa nêu trên giúp học sinh nhanh chóng tìm ra lời giải. Trước hết ta giải một số bài toán sau để cùng suy ngẫm. III. Các bài tập đề nghị : 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau : a. A =x2 - 10x + 20 b. B = (x-1)2 + (x-3)2 3x 2 8x 6 c. C = (x 1) x 2 2x 1 d. D = x3 + y3 + xy biết x + y = 1 4(x y xy) e. E = với x,y > 0 x y 2 xy 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức : a. A = - x4 + 2x3 - 3x2 + 4x + 2002 x 2 2 2 b. B = ; C = 7x 74x 196 x 2 1 x2 10x 25 x2 4x 6 3. Tìm GTLN, GTNN của A = x2 2x 3 9
8. Phương pháp 02 : ( Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ) Ta biết rằng : Từ một bất đẳng thức, bằng cách chuyển về bao giờ ta cũng đưa về 1 bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tương đương mà một vế là hằng số. Vì vậy : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tương đương ta có thể tìm được cực trị của 1 biểu thức nào đó. I. Các ví dụ minh hoạ : 1 1. Ví dụ 1 : Cho a > b > 0. Tìm GTNN của B1 = a + b(a b) Giải : 1 1 b(a b) Ta có : B1 = a + = b + (a-b) + 3.3 (theo Côsi). b(a b) b(a b) b.(a b) 1 a 2 B1 3 B1 min = 3 b = a-b = b(a b) b 1 a 2 Vậy : B1 min = 3 b 1 1 1 2. Ví dụ 2 : Cho a,b > 0 và a + b = 1 . Tìm GTNN của B2 = + ab a2 b2 Giải : 1 1 1 Theo bất đẳng thức Côsi : (x + y)( ) 2 x.y . 2 = 4 (với x,y > 0) x y xy 1 1 4 (1) x y x y a b 1 1 Ta có : ab ( )2 = 4 (2) do a+b = 1 ; a,b > 0 2 4 ab Áp dụng bất đẳng thức (1) và kết quả (2) ta có : 1 1 2 1 1 1 1 4 4 B2 = ( ) ab a 2 b 2 2ab a 2 b 2 2ab 2ab a 2 b 2 2 2ab a 2 b 2 4 1 B2 2 + 6 do a + b = 1 B2min = 6 a = b = (a b) 2 2 1 Vậy : B2min = 6 a = b = 2 4 4 4 3. Ví dụ 3 : Cho xy + xz + yz = 4 . Tìm GTNN của B3 = x + y + z 10