Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức vận dụng trong phân môn Đại số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức vận dụng trong phân môn Đại số

1. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số 3) Nhiệm vụ của đề tài: 3.1 Đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS 3.2 Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán bất đẳng thức ,áp dụng để giải bài tập. 3.3 Rút ra một số nhận xét và chú ý cho từng phương pháp. 3.4 Chọn lọc ,hệ thống một số bài tập hay gặp cho phù hợp với từng phương pháp giải. 3.5 Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị,giải một số phương trình không mẫu mực . 4) Phạm vi đề tài. Phát triển năng lực tư duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức (phân môn đại số) đối với học sinh khá, giỏi lớp 8,lớp 9. 5) Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành. Đề tài áp dụng với học sinh lớp 8 và lớp 9 . Tiến hành thực hiện đề tài trong các giờ luyện tập,ôn tập cuối chương, cuối kỳ và cuối năm đặc biệt là trong các giờ phụ đạo học sinh giỏi ,ôn thi cấp 3. 6) Dự kiến kết quả của đề tài. Khi chưa thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải được một số bài tập về bất đẳng thức đơn giản,hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn,ngại làm bài tập về bất đẳng thức. Nếu thực hiện được đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳng thức,làm bài tập tốt hơn,tự giải quyết được các bài tập bất đẳng thức dạng tương tự,hạn chế được sai lầm khi giải toán bất đẳng thức. Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trường THCS Hồng Tiến 6
2. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số B. Nội dung và phương pháp giải quyết Phần I: Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức 1, Định nghĩa * a > b ↔ a - b > 0 * a ≥ b ↔ a - b ≥ 0 * a b ↔ b b và b > c → a > c (tính chất bắc cầu) * Tính chất đơn điệu của phép cộng: a > b → a + c > b + c Hệ quả : a > b → a - c > b - c * a > b và c > d → a + c > b + d a > b và c b - d Chú ý: Không được trừ từng vế của bất đẳng thức cùng chiều *Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số dương thì bất đẳng thức không đổi chiều a > b và c > 0 → ac > bc * Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều a > b và c < 0 → ac < bc Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trường THCS Hồng Tiến 7
3. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số *Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều và hai vế không âm: a ≥ b ≥ 0 ; c ≥ d ≥ 0 → ac ≥ bd ≥ 0 *Nâng lũy thừa từng vế của bất đẳng thức a > b > 0 → an > bn với mọi n a > b → an > bn với n lẻ . > → an > bn với n chẵn | | | | * So sánh hai lũy thừa cùng cơ số m > n > 0 và a > 1 thì am > an m > n > 0 và 0 0 thì > 3, Một số bất đẳng thức cần nhớ : * a2 ≥ 0 với mọi a, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0 * ≥ 0 với mọi a, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0 | | * - ≤ a ≤ | | | | * ≤ + , dấu bằng xảy | + | | | | | ra khi và chỉ khi ab ≥ 0 * ≥ - | ― | | | | | * Bất đẳng thức Côsi : a b Với 2 số dương a , b ta có : ab 2 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trường THCS Hồng Tiến 8
4. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b *Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2) a b Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y II. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phương pháp1: Dùng định nghĩa - Kiến thức : Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B , ta cần chỉ ra rằng A - B ≥ 0 . - Lưu ý các hằng đẳng thức: ( a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ≥ 0 ( a +b +c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc +2ca ≥ 0 - Ví dụ : Bài 1.1 : Chứng minh rằngvới mọi x,y ta luôn có : 2 x2+ xy 4 Giải : 2 2 2 Xét hiệu : A = x2+ - xy = 4 - 4 + 4 4 2 = (2 – ) 0 4 x,y ∀ => A 0 với mọi x,y x2 + 2 xy (đpcm) ⇒ 4 Dấu '' = '' xảy ra 2x = y ⇔ Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trường THCS Hồng Tiến 9
5. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số Bài 1.2 : Với mọi số : a, b, c chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 +3 2(a + b + c) Giải : Ta xét hiệu : B = a2 + b2 + c2 +3 - 2( a + b + c) = a2 + b2 + c2 +3 - 2a - 2b - 2c = (a2 - 2a + 1) + (b2 - 2b + 1) + (c2 - 2c + 1) = (a - 1)2 + (b - 1)2 + (c - 1)2 Do (a - 1)2 0 a ∀ (b - 1)2 0 b ∀ (c - 1)2 0 c ∀ → A =(a - 1)2 + (b - 1)2 + (c - 1)2 0 a, b, c ∀ Hay a2 + b2 + c2 +3 2(a + b + c) a, b, c . ∀ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Bài 1.3 : Chứng minh rằng với mọi x,y ta luôn có: x2 + y2 +1 xy + x + y Giải : Ta xét hiệu C = x2 + y2 +1 - xy - x -y = 1 ( 2x2 +2 y2 +2 - 2xy - 2x -2y ) 2 = 1 2 ( 2 ― 2 + 2 ) + ( 2 ― 2 + 1) + ( 2 ― 2 + 1) = 1 2 ( ― ) 2 + ( ― 1) 2 + ( ― 1) 2 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trường THCS Hồng Tiến 10
6. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số Do (x - y)2 0 x,y ∀ (x - 1)2 0 x ∀ (y - 1)2 0 y ∀ → C = 1 2 2 2 2 ( ― ) + ( ― 1) + ( ― 1) 0 x,y ∀ Hay x2 + y2 +1 xy + x + y Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 Bài 1.4 : Chứng minh bất đẳng thức : 2 a 2 b 2 a b a) 2 2 2 2 2 2 b) + + + + 3 3 c) Hãy tổng quát bài toán. Giải : 2 a 2 b 2 a b a) Xét hiệu : D = 2 2 2(a 2 b 2 ) (a 2 2ab b 2 ) = 4 1 1 = (2a 2 2b 2 a 2 b 2 2ab) (a b) 2 0 a, b. 4 4 ∀ Dấu '' = '' xảy ra khi a = b . b) Học sinh làm tương tự câu a c) Tổng quát Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trường THCS Hồng Tiến 11
7. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số 2 2 2 2 1 + 2 + 3 + + 푛 푛 2 1 + 2 + 3 + + 푛 푛 Lời bình: Phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa là một phương pháp đơn giản và phổ biến .Với hệ thống bài tập giáo viên đưa ra từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp đã tạo cho học sinh có hứng thú học tập ban đầu khi tiếp cận với dạng toán bất đẳng thức. 2.Phương pháp2: Sử dụng tính chất bắc cầu - Kiến thức : A B và B C thì A C ≥ ≥ ≥ - Lưu ý : + 0 x 1 thì x2 x (vì x - x2 = x (1 - x) ≤ ≤ ≤ ) ≥ 0 + (1 - x) (1 - y) (1 - z) = 1 - x - y - z + xy + yz + zx - xyz Bài tập 2.1: Cho 0 x, y, z 1 chứng minh rằng: ≤ ≤ a) 0 x+ y + z - xy - yz - zx 1 ≤ ≤ b) x2 + y2 +z2 1 + x2 y + y2 z + z2x ≤ Lời giải: a) Vì 0 x, y, z 1 nên ta có: (1 - x) 0 , (1 - y) 0 ≤ ≤ ≥ ≥ , (1 - z) 0 ≥ Do đó: x+ y + z - xy - yz - zx = x(1 - y) + y(1 - z) + z (1 - x) 0 (1) ≥ Mặt khác ta có: (1 - x) (1 - y) (1 - z) = 1 - x - y - z + xy + yz + zx - xyz 0 ≥ → x+ y + z - xy - yz - zx 1 -xyz 1 (2) ( vì ≤ ≤ xyz ) ≥ 0 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trường THCS Hồng Tiến 12
8. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số Từ (1) và (2) ta có 0 x+ y + z - xy - yz - zx 1 (đpcm) ≤ ≤ b)Ta chứng minh: x2+ y2+ z2 - x2y - y2z - z2x 1 ≤ Ta có : x2+ y2+ z2 - x2y - y2z - z2x = x2(1 - y) + y2 (1 - z ) + z2 (1 - x) x(1 - y) + y(1 - z) + z (1 - x) (vì x2 x, y2 y, ≤ ≤ ≤ z2 z ) ≤ Do đó : x2+ y2+ z2 - x2y - y2z - z2x 1 ( theo câu a) ≤ Vậy x2 + y2 +z2 1 + x2 y + y2 z + z2x ≤ Bài 2.2: Cho a,b,c là số đo độ dài ba cạnh tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 +2abc a ≥ 1 suy ra a + b + c > 2 trái giả thiết ≥ Ta lại có (1-a)(1-b)(1-c) = 1 - a - b - c + ab + ac + bc - abc > 0 → abc < ab + bc + ca - 1 (1) ( vì a + b + c = 2) Mà 4 = ( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc ) 2 2 2 → ab + ac + bc = 2 - + + (2) 2 2 2 2 Từ (1) và (2) suy ra abc < 2 - + + - 1 2 Hay a2 + b2 + c2 +2abc < 2 (đpcm 3. Phương pháp 3 : Dùng phép biến đổi tương đương . - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng . - Một số hằng đẳng thức thường dùng : Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trường THCS Hồng Tiến 13
9. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số * (A+B)2=A2+2AB+B2 * (A-B)2=A2-2AB+B2 * (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC * (A+B)3=A3+3A2B+3AB2 + B3 Bài 3.1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x , y , z ta luôn có: x2+ 2y2 + 2z2 2xy + 2yz + 2z - 2 (1) ≥ Lời giải: Vì x , y , z là các số nguyên nên: x2+ 2y2 + 2z2 2xy + 2yz + 2z - 2 ≥ (x2 - 2xy + y2) + (y2 - 2yz + z2) +( z2 - 2z + 1) + 1 0 ⇔ ≥ (x- y)2 + (y - z)2 + (z - 1)2 + 1 0 ⇔ ≥ Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Bài 3.2: Với a , b , c > 0 chứng minh: 1 1 + + ≥ 2 ( + 1 ― ) Lời giải: Vì a , b , c > 0 nên: 1 1 + + ≥ 2 ( + 1 ― ) Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trường THCS Hồng Tiến 14
10. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số a2 + b2 + c2 2 (bc + ac - ab) ⇔ ≥ a2 + b2 + c2 - 2bc - 2ac + 2ab 0 ⇔ ≥ ( a + b + c )2 0 ⇔ ≥ Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Bài 3.3: Chứng minh rằng: (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 1 x ≥ ∀ Lời giải: Ta có (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 1 ≥ (x2 - 7x + 6 )(x2 - 7x + 12) + 9 0 ⇔ ≥ (x2 - 7x + 9 - 3 )(x2 - 7x + 9 + 3) + 9 0 ⇔ ≥ (x2 - 7x + 9 )2 - 9 + 9 0 ⇔ ≥ (x2 - 7x + 9 )2 0 ⇔ ≥ Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho được chứng minh Bài 3.4 : Chứng minh bất đẳng thức : 3 a 3 b3 a b ; trong đó a > 0 ; b > 0 2 2 Lời giải : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0 3 a3 b3 a b Ta có : 2 2 Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trường THCS Hồng Tiến 15
11. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số 2 a b a b a b .(a2 ab b2 ) . ⇔ 2 2 2 2 a b a2 - ab + b2 ⇔ 2 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2 ⇔ 3a2 - 6ab + 3b2 0 ⇔ 3(a + b)2 0 ⇔ ≥ 3 a 3 b3 a b Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi a , b. Suy ra : 2 2 Bài 3.5: 1 Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab 2 Lời giải : 1 1 Ta có : a3 + b3 + ab a3 + b3 + ab - 0 2 ⇔ 2 1 (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - 0 ⇔ 2 1 a2 + b2 - 0 ( Vì a + b = 1) ⇔ 2 2a2 + 2b2 - 1 0 ⇔ 2a2 + 2(1-a)2 - 1 0 ( vì b = a -1 ) ⇔ 4a2 - 4a + 1 0 ⇔ ( 2a - 1 )2 0 ⇔ 1 Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a3 + b3 + ab 2 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 1 2 Bài 3.6: Nếu a >b >0 và m,n là hai số tự nhiên mà m>n Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trường THCS Hồng Tiến 16