Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán tích phân hàm ẩn

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán tích phân hàm ẩn

1. A. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1. Tên đề tài: Một số dạng toán tích phân hàm ẩn 2. Lĩnh vực: Toán học 3. Tác giả: Trần Nữ Diệu Thùy 4. Đơn vị: Trường THPT Vĩnh Linh, Quảng Trị 5. Thời gian: Năm học 2018-2019 B. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong các đề thi THPT quốc gia từ kể từ năm học 2016 - 2017 trở lại đây, các b câu hỏi trắc nghiệm về bài toán tính tích phân f (x)dx của hàm số f x nhưng a không cho biết biểu thức của f x mà chỉ cho biết f x thỏa mãn một số điều kiện (được gọi là tích phân hàm ẩn) xuất hiện thường xuyên. Các câu hỏi này thường ở mức vận dụng – vận dụng cao. Đây là một dạng toán khá mới mẻ, không chỉ với học sinh mà còn đối với cả giáo viên, gây không ít khó khăn cho các em học sinh khi tiếp cận. Hướng đến mục tiêu nâng cao điểm số thi THPT quốc gia cho các em học sinh khối 12, đặc biệt là học sinh khá – giỏi, tôi đã nghiên cứu và xây dựng đề tài: “Các dạng toán tích phân hàm ẩn”. 2. Mục đích nghiên cứu Xây dựng cơ sở lí thuyết và các dạng tích phân hàm ẩn cơ bản, từ đó rèn luyện và phát triển kĩ năng cũng như tư duy của học sinh để giải quyết các bài toán dạng này. 3. Đối tượng nghiên cứu Các dạng câu hỏi tích phân hàm ẩn trong đề thi THPT quốc gia của Bộ giáo dục và đề thi thử của các trường THPT trong cả nước. 4. Đối tượng khảo sát và thực nghiệm Học sinh lớp 12A2, 12A3 trường THPT Vĩnh Linh năm học 2018 – 2019. 5. Phương pháp nghiên cứu Kết hợp giữa nghiên cứu xây dựng lý thuyết (dựa trên sách giáo khoa, các đề thi THPT quốc gia của Bộ giáo dục và đào tạo, các đề thi thử của các trường THPT trong cả nước) và thực nghiệm trong quá trình giảng dạy. 6. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu a) Phạm vi nghiên cứu: Chương 3 – Giải tích 12 và các bài toán liên quan trong các đề thi THPT quốc gia. b) Kế hoạch nghiên cứu: Từ tháng 3/2018 đến tháng 5/2019. - Tháng 3/2018: Chọn đề tài, lập đề cương. - Tháng 4/2018 đến tháng 5/2019: Xây dựng cơ sở lý thuyết, phân dạng bài tập, áp dụng trong giảng dạy thực tế và rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy. - Tháng 5/2019: Viết và hoàn thành nội dung đề tài. - 1 -
2. C. NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN 1. Định nghĩa tích phân: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn a;b . Giả sử F x là một nguyên hàm của f x trên đoạn a;b . Tích phân từ a đến b của hàm số f x là hiệu số F b – F a , b kí hiệu là f (x)dx . a b Ta có: f (x)dx F(x) b F(b) F(a). a a Chú ý: b b b 1) f (x)dx f (u)du f (t)dt (kết quả tích phân không phụ thuộc vào kí a a a hiệu của biến số). b b 2) f (x)dx f (x)dx. a a a 3) f (x)dx 0. a 2. Các tính chất của tích phân b b Tính chất 1: k. f (x)dx k f (x)dx ( k là hằng số ). a a b b b Tính chất 2:  f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx . a a a b c b Tính chất 3: f (x)dx f (x)dx f (x)dx a c b a a c 3. Các phương pháp tính tích phân: a) Phương pháp đổi biến số: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn a;b . Giả sử hàm số x (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn  ; sao cho ( ) a; ( ) b và a (t) b với mọi t  ; . b  Khi đó:. f (x) dx f ( (t)). ' (t) dt a b) Phương pháp tính tích phân từng phần: Nếu u u(x) và v v(x) là hai hàm b b số có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b thì hayu(x )v' (x) dx (u(x)v(x)) b u' (x)v(x) dx   a a a b b u dv uv b v du . a a a - 2 -
3. II. CƠ SỞ THỰC TIỄN. Trước hết, ta cần định nghĩa về dạng toán tích phân hàm ẩn . b Một số bài toán yêu cầu tính tích phân f (x)dx nhưng chưa cho biết biểu thức a của hàm số f x mà chỉ cho biết f x thoả mãn một số điều kiện thì ta có thể gọi nó là tích phân hàm ẩn. Mặc dù các dạng toán tích phân hàm ẩn cũng đã có mặt trong sách giáo khoa nhưng chỉ ở mức độ cơ bản. Tuy nhiên dạng toán này trong các đề thi có độ khó cao, đa số ở mức vận dụng – vận dụng cao nên học sinh thường giải sai hoặc bỏ qua các câu hỏi thuộc dạng toán này. Mặt khác, các tài liệu tham khảo cho dạng toán này cũng chưa nhiều. Do đó, cần xây dựng nền tảng lý thuyết và phân dạng cơ bản, cùng với hệ thống bài tập tương ứng để hướng dẫn học sinh cách giải quyết các bài toán dạng này. III. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Áp dụng định nghĩa, tính chất của tích phân 3 4 Ví dụ 1 (Giải tích 12NC–trang 153): Cho biết f (z)dz 3, f (x)dx 7. Tính 0 0 4 tích phân f (t)dt . 3 Giải: 3 3 4 Đặt A = f (z)dz f (x)dx 3 ; B f (x)dx 7. 0 0 0 4 4 4 3 Suy ra C f (t)dt f (x)dx f (x)dx f (x)dx B A 4 . 3 3 0 0 9 9 Ví dụ 2: (Giải tích 12NC – trang 176). Cho biết f (x)dx 5, g(x)dx 4 . 7 7 9 Tính tích phân I 2 f (x) 3g(x)dx . 7 Giải: Áp dụng tính chất của tính phân ta có : 9 9 9 9 9 I 2 f (x) 3g(x)dx 2 f (x)dx 3g(x)dx 2 f (x)dx 3 g(x)dx 2 7 7 7 7 7 Nhận xét: Đây là dạng câu hỏi tương đối cơ bản, nằm ở mức độ thông hiểu nên học sinh có thể dễ dàng đưa ra đáp án đúng. Ví dụ 3: Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x liên tục trên đoạn 0;1,đồng thời 1 f x thỏa mãn 2 f x 3 f 1 x 1 x2 . Giá trị của tích phân f ' x dx bằng: 0 1 3 A. 0. B. . C. 1. D. . 2 2 - 3 -
4. Giải: 1 1 Ta có f x dx f x f 1 f 0 . 0 0 2 2 f 0 3 f 1 1 f 0 2 5 Từ 2 f x 3 f 1 x 1 x . 2 f 1 3 f 0 0 3 f 1 5 1 3 2 Vậy I f ' x dx f 1 f 0 1. 0 5 5 Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đã khéo léo biến đổi đề đưa về giải hệ phương trình chứa f (0) và f (1) từ đó áp dụng định nghĩa của tích phân . Dạng 2: Áp dụng tính chất của hàm số chẵn, hàm số lẻ Tính chất 1: Nếu f x là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn  a;a thì a f (x)dx 0. a Tính chất 2: Nếu f x là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn  a;a thì a a f (x)dx 2 f (x)dx. a 0 Ví dụ 1: Cho f x và g x là hai hàm số liên tục trên đoạn  1,1 và f x là 1 1 hàm số chẵn, g x là hàm số lẻ. Biết f x dx 5 và g x dx 7 . Mệnh đề nào sau 0 0 đây sai? 1 1 A. f x dx 10. B. 2g x dx f (x) 14 . 1 1 1 1 C. f x g x dx 10 . D. f x g x dx 10 . 1 1 Giải: 1 1 f x dx 2 f x dx 10 (1); 1 0 1 1 1 g x dx g x dx g x dx 0 (2) 1 0 0 1 Từ (1) và (2) suy ra 2g x dx f (x) 0 . 1 Chọn B. Nhận xét: Do đề bài nêu rõ f x là hàm số chẵn, g x là hàm số lẻ nên có thể - 4 -
5. dễ dàng định hướng phương pháp giảivì đây là câu hỏi đơn giản, học sinh chỉ cần áp dụng tính chất 1 Ví dụ 2: Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x , x ¡ \ 0 và thỏa mãn x3 x5 f 1 a, f ( 2) b. Tính f 1 f (2) . Giải: 2 f '(x)dx 0 2 Ta thấy f ' x là hàm số lẻ . Từ đó ta có: . 1 f '(x)dx 0 1 Hay: f (2) f ( 2) 0 f (2) f ( 2) f (1) f ( 1) 0 f (2) f ( 1) f ( 2) f (1) a b. f (1) f ( 1) 0 Nhận xét: Để giải được bài toán này học sinh cần quan sát sự liên hệ giữa các giá trị của biến số như 1 và –1, 2 và –2; nhận dạng được f ' x là hàm số lẻ, đồng thời nắm được tính chất 1 để vận dụng giải toán. Học sinh cũng có thể tính nguyên hàm để tìm biểu thức của f x tuy nhiên cách này phức tạp hơn nhiều. Ví dụ 3: Cho hàm số f x là hàm số chẵn, liên tục trên  1;6. Biết rằng 2 3 6 f x dx 8 và f 2x dx 3. Tính tích phân I f x dx. 1 1 1 A. I 2. B. I 5. C. I 11. D. I 14. Giải. 3 3 Vì f x là hàm số chẵn nên f 2x dx f 2x dx 3. 1 1 3 x 1 t 2 Xét K f 2x dx 3. Đặt t 2x dt 2dx. Đổi cận: . 1 x 3 t 6 1 6 1 6 6 Khi đó K f t dt f x dx f x dx 2K 6. 2 2 2 2 2 6 2 6 Vậy I f x dx f x dx f x dx 8 6 14. 1 1 2 Chọn D. Dạng 3: Áp dụng phương pháp đổi biến số Ví dụ 1. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và f x 2018 f x ex . Tính 1 I f x dx . 1 - 5 -
6. e2 1 e2 1 e2 1 A. I .B. I .C. I 0 .D. I . 2019e 2018e e Giải: Đặt t x dt dx x 1 t 1 Đổi cận: . x 1 t 1 1 1 1 I f t dt f t dt f x dx (2). 1 1 1 1 1 2 1 1 e 1 I 2018I f x 2018 f x dx 2019I exdx ex e 1 1 1 e e e2 1 I . 2019e Chọn A. Nhận xét: 1) Quan sát mối liên hệ giữa hai cận là 1 và –1, hai biến x và x nên có thể định hướng đổi biến t = –x. 2) Với bài toán này, ta có thể tìm được biểu thức của hàm số f x bằng cách từ x x giả thiết f x 2018 f x e (1), thay x bởi x ta có f x 2018 f x e (2). ex e x ex e x Từ (1) và (2) suy ra (20182 1) f (x) ex e x f (x) (20182 1) 2019.2017 Ví dụ 2: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn a dx f x 0,x 0;a ( a 0 ). Biết f x . f a x 1, tính tích phân I . 0 1 f x a a a A. I .B. I 2a . C. I .D. I . 2 3 4 a dx Giải: I (1) 0 1 f x Đặt t a x dt dx x 0 t a Đổi cận: . x a t 0 0 dt a 1 a 1 I dt dx (2) a 1 f a t 0 1 f a t 0 1 f a x a 1 1 Từ (1) và (2) 2I dx 0 1 f x 1 f a x - 6 -
7. a 1 f a x 1 f x dx 1 f x . f a x f x f a x 0 a 2 f a x f x a dx dx a 0 2 f a x f x 0 a I . Chọn A 2 Nhận xét: Dựa vào phép đổi biến đặt t = a + b – x, ta có thể chứng minh được b b rằng nếu f x liên tục trên đoạn a;b thì f (x)dx f (a b x)dx , từ đó giải a a quyết các câu hỏi tương tự ví dụ trên. Ví dụ 3: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;2và thỏa mãn 2 2 f ' x f x 0,x 1;2. Biết f ' x dx 10 và dx ln 2 . Tính f 2 . 1 1 f x A. f 2 10.B. f 2 20 .C. f 2 10 .D. f 2 20. Giải: 2 2 Ta có: f ' x dx f x f 2 f 1 10 . 1 1 2 2 f ' x d( f (x)) 2 f 2 dx ln f x ln f 2 ln f 1 ln ln 2. 1 1 f x 1 f x f 1 f 2 f 1 10 f 2 20 Vậy ta có hệ: f 2 . Vậy f 2 20 . 2 f 1 10 f 1 Chọn B Nhận xét: Học sinh có thể sử dụng phép đổi biến số đặt t = f(x). 1 Ví dụ 4: Cho hàm số f x thỏa 4 f 3 x f x x,x ¡ . Tính I f x dx . 0 1 5 1 A. 0. B. . C. . D. . 2 16 2 Giải: x 0 t 0 3 2 Đặt t f x ta được 4t t x do đó (12t 1)dt dx . Đổi cận 1 x 1 t 2 1 2 5 Suy ra I t.(12t 2 1)dt .Chọn C. 16 0 - 7 -