Sáng kiến kinh nghiệm Mở rộng một số tiện ích của định lí Vi-et

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Mở rộng một số tiện ích của định lí Vi-et

1. PHỤ LỤC NỘI DUNG Trang PHỤ LỤC. 3 A. SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG 4 KIẾN. B. PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN. 4 C. NỘI DUNG. 4 I. Tình trạng giải pháp đã biết. 4 II. Nội dung giải pháp. 5 1. Mục đích của giải pháp. 5 2. Bản chất, nội dung của giải pháp. 6 3. Những điểm khác biệt và tính mới của giải pháp so với giải pháp đã 12 và đang áp dụng. III. Khả năng áp dụng của giải pháp. 13 1. Đối tượng áp dụng. 13 2. Quá trình tổ chức áp dụng thử. 13 3. Đánh giá. 14 IV. Hiệu quả và lợi ích thu được. 14 V. Phạm vi ảnh hưởng của giải pháp 15 VI. Kiến nghị, đề xuất. 16 3
2. Giỏi, khá, trung bình, yếu, kém và đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi vào THPT tôi thấy ứng dụng của hệ thức Vi-et là rất rộng như: + Tìm tổng và tích của phương trình bậc hai khi phương trình có nghiệm + Biết một nghiệm của phương trình bậc hai suy ra nghiệm còn lại + Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai + Tìm hai số biết tổng và tích của chúng + Lập một phương trình bậc hai biết trước hai nghiệm, - Trong thực tế giảng dạy khai thác định lí Vi-et và các ứng dụng của nó người dạy cũng như người học còn nghiên cứu sơ sài chưa khai thác triệt để các ứng dụng từ định lí Vi-et đặc biệt là khai thác các ứng dụng làm phong phú các thể loại bài tập. Vì thế tôi chọn đề tài “Mở rộng các tiện ích của định lí Vi-et”. Như vậy hệ thức Vi-et có rất nhiều ứng dụng tuy nhiên do còn hạn chế về thời gian nghiên cứu và đối tượng học sinh nên tôi chỉ chọn hai ứng dụng: Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (d) với a ≠ 0 quan hệ với Parabol y = mx 2 với m ≠ 0 và Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm liên hệ với nhau bằng biểu thức cho trước. II. Nội dung giải pháp. 1. Mục đích của giải pháp. a. Định lý Vi-et thuận: 2 Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) có 2 nghiệm x1, x2 thì: b S x1 x2 a c P x .x 1 2 a -b x +x = a 0 1 2 a Δ 0 c x .x = 1 2 a * Hệ quả: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (*) c - Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x = 1, nghiệm kia là x = 1 2 a - c - Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x = - 1; nghiệm kia là x = 1 2 a 5
3. x +x =a 1 2 -b a và b x .x = 1 2 m Phương trình tiếp tuyến. Ví dụ 1: Cho parabol (P) có phương trình: y = x2. Gọi A và B là 2 điểm (P) có hoành độ lần lượt là x A = - 1 ; xB = 2. Lập phương trình dường thẳng đi qua A và B. Giải: Đây là một bài toán không khó nhưng hầu hết các em có lời giải như sau: A P 2 yA = (-1) = 1 vậy A(-1; 1) xA 1 B P 2 yB = 2 = 4 vậy B(2; 4) xB 2 Phương trình đường thẳng AB cần tìm có dạng y = ax + b (AB) với a, b R A (AB) 1 a b 3a 3 a 1 có: B (AB) 4 2a b 1 a b b 2 Vậy phương trình đường thẳng AB là y = x + 2. Nếu linh hoạt suy nghĩ tìm phương pháp giải ta có thể cho được lời giải “ngắn gọn” là do sử dụng định lí Vi-et. Phương trình đường thẳng (AB) cần tìm có dạng y = ax + b (AB) Phương trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là: x2 = ax + b x2 - ax - b = 0 (*). Ta có: xA = - 1 ; xB = 2 là nghiệm của phương trình (*). xA +xB =a a 1 Theo định lí Vi-et ta có: xA.xB =-b b 2 Vậy phương trình đường thẳng (AB) là: y = x + 2 x2 Ví dụ 2: Cho (P): y= ; A (P) có hoành độ x = 2 lập phương trình 4 A đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A. Giải: 7
4. Có thể thực hiện các bước: * Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình đã cho có nghiệm x1, x2. * Bước 2: Áp dụng hệ thức Viet, ta có: x1 + x2 = f (m) (*) x1.x2 = g(m) * Bước 3: Kết hợp (*) với điều kiện (Hệ thức cho trước) suy ra phương trình có ẩn là tham số từ đó tìm được tham số. (Chú ý cần đối chiếu tham số cần tìm được với điều kiện để phương trình đầu có nghiệm số). b.2. Một số ví dụ. Ví dụ 1: Cho phương trình x2 – 2x + m = 0 (x là ẩn, m là tham số) (1) a) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x2 = 2x1 Giải: a) Ta có: a = 1 ; b = -2 ; c = m. => Δ' = 1 – m Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi Δ' ≥ 0 1 – m ≥ 0 m ≤ 1 Vậy với m ≤ 1 thì phương trình (1) có nghiệm. b) Với phần b có nhiều em đưa ra như sau: Từ kết quả phần a) ta có với m ≤ 1 thì phương trình có nghiệm: 1 1 m x = 1 1 m 1 1 1 1 m x = 1 1 m 2 1 Theo bài ra ta có x2 = 2.x1 nên: 1 1 m 2. 1 1 m 1 1 m 2 2 1 m 3 1 m 1 Phương trình ẩn m vô nghiệm. 9
5. a) Ta có: Δ' = -m 2 - m-3 = m2 - m +3 1 1 11 Δ' = m2 -2.m. + + 2 4 4 2 ' 1 11 Δ = m- + 2 4 Δ' > 0 với mọi m. Vậy phương trình có nghiệm với mọi m. b) Ở câu b nếu học sinh sử dụng công thức nghiệm tìm x 1 và x2 rồi tính giá trị biểu thức như sau: ' Δ > 0 với mọi m phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m. 2 2 1 11 1 11 Ta có: x1 = m+ m - + ; x2 = m - m - + 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 1 11 1 11 x1 +x2 = m+ m - + + m- m- + 2 4 2 4 2 2 2 1 11 1 11 =m +2 m- + + m- + 2 4 2 4 =2m2 +m2 -m+3+m2 - m+3 =4m2 -2m+6 2 2 2 Vậy x1 + x2 = 4m - 2m + 6 Từ đó giải phương trình bậc 2 ẩn m: 4m 2 - 2m + 6 = 12 để tìm điều kiện 2 2 của m sao cho phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 +x2 =12. 2 2 Tuy nhiên cách tính x1 +x2 rất phức tạp, dễ nhầm lẫn và sai sót trong quá trình làm bài. Do đó ta có thể sử dụng định lí Vi-et để giải bài tập như sau: ' Theo câu a ta có Δ > 0 với mọi m phương trình có nghiệm x 1, x2 với mọi x1 + x2 =2m m áp dụng định lí Vi-et ta có: x1.x2 = m-3 2 2 2 Mà: x1 + x2 x1 + x2 2x1.x2 2 2 2 x1 +x2 = (2m) - 2.(m- 3) 2 2 2 x1 +x2 = 4m - 2m+6 2 2 2 Vậy x1 +x2 = 4m - 2m+6 11
6. - Cho trước một nghiệm của phương trình bậc 2. Tìm nghiệm còn lại và tham số. - Tìm một số khi biết tổng và tích của chúng. - Lập một phương trình bậc 2 biết hai nghiệm cho trước; hoặc hai nghiệm có liên quan tới hai nghiệm của một phương trình đã cho. - Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của một phương trình bậc 2 không phụ thuộc tham số. - Tìm điều kiện của tham số (tìm tham số) sao cho các nghiệm của một phương trình bậc 2 đã cho thoả mãn một hệ thức (1 điều kiện cho trước). - Tìm điều kiện của tham số để các nghiệm của phương trình bậc 2 cho trước cùng dấu, trái dấu, dương, âm, III. Khả năng áp dụng của giải pháp. 1. Đối tượng áp dụng. - Sáng kiến này được áp dụng cho học sinh khối 9 ở trường THCS. Từ nội dung cụ thể này chúng ta có thể vận dụng và mở rộng cho nhiều dạng bài tập khác nữa (như chủ đề về tam thức bậc 2 – Toán 9). 2. Quá trình tổ chức áp dụng thử. - Xây dựng mối quan hệ giữa các nghiệm số của một phương trình bậc hai tổng quát (khi có nghiệm số). Với các hệ số a, b, c từ đó hình thành hệ thức Vi- ét đến phát biểu được nội dung của định lý Vi-ét là một công việc có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc dạy toán theo hướng đổi mới phương pháp giảng dạy trên cơ sở kiến tạo kiến thức mới sinh động và phong phú. - Từ định lý Vi-ét (thuận) nêu ra được các ứng dụng quan trọng như tìm tổng và tích các nghiệm số (không giải phương trình), Càng làm tăng thêm giá trị sử dụng của một định lý toán học cũng như ý nghĩa của định lý với những bài toán có liên quan. - Việc thiết lập mệnh đề đảo của định lý Vi-ét và chứng minh mệnh đề này đúng đã tạo ra một định lý đảo có nhiều ứng dụng vào các bài tập: + Tìm 2 số biết tổng và tích. + Lập một phương trình khi biết hai nghiệm. 13
7. - Các em nắm kiến thức cơ bản kỹ hơn, chịu khó tìm tòi, học hỏi. - Biết cách kết hợp linh hoạt các nội dung kiến thức với nhau, sâu chuỗi các chủ đề kiến thức đã học giúp các em có những hiểu biết toàn diện hơn. Đoàn kết hơn trong học tập và các hoạt động, tình yêu thương, niềm tự hào được nhân thêm trong cuộc sống. V. Phạm vi ảnh hưởng của giải pháp. - Với các ứng dụng phong phú đa dạng. Định lý Viet đã có một vị trí quan trọng trong chương trình đại số 9 và giá trị sử dụng của nó vẫn còn có ý nghĩa với các lớp trên. Cũng như việc mở rộng nó với phương trình bậc 3. Định lý này không chỉ có giá trị về phương diện thực hành định lượng mà nó còn có giá trị định tính một cách phong phú cho các nghiệm số của phương trình bậc 2. - Khai thác các ứng dụng của định lý Viet thuận và đảo vào các bài toán đại số lớp 9, đã làm phong phú và đa dạng các bài tập về phương trình bậc 2, bậc 3. Giúp cho người học rèn luyện các thao tác tư duy đặc biệt là khả năng suy luận 7 tính linh hoạt trong quá trình học tập môn toán. - Cung cấp cho học sinh một cách có hệ thống các nội dung và phương pháp của hệ thức Viet và các ứng dụng phong phú của nó đã giúp học sinh hiểu sâu mối quan hệ giữa nghiệm số với các hệ số của một phương trình bậc 2, bậc 3. Từ đó hình thành ở học sinh một thói quen học định lý, thấy rõ vai trò của các định lý toán học trong chương trình toán giúp cho các em rèn luyện được các phẩm chất trí tuệ: Độc lập, sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt và độc đáo trong suy nghĩ. - Nêu ra được các giải pháp giải từng loại toán ứng dụng định lý Viet. Giúp học sinh có được phương hướng giải quyết vấn đề có cơ sở lý luận. Xây dựng cho học sinh một niềm tin trong học tập chống tư tưởng ngại khó, sợ toán, giúp các em hăng say học tập, hứng thú tìm tòi cái mới, cái hay trong quá trình học toán. - Bước đầu hình thành ở học sinh những thói quen, kỹ năng làm toán, học toán có phương pháp. Trang bị cho học sinh phương pháp thực hành toán học 15
8. - Học sinh sẽ năng động hơn trong cuộc sống có những hiểu biết xã hội và biết vận dụng kiến thức vào cuộc sống hàng ngày. Với năng lực còn hạn chế tôi vẫn mạnh dạn trao đổi những suy nghĩ của của mình về đề tài “Mở rộng một số tiện ích của định lí Vi-et” trong chương trình toán 9. Rất mong được sự góp ý của các thầy cô cùng đồng nghiệp để đề tài này có tác dụng hơn trong trong việc giảng dạy toán ở trường THCS. Tôi xin trân trọng cảm ơn./. Luân Giói, Ngày 25 tháng 10 năm 2018 HIỆU TRƯỞNG NGƯỜI VIẾT Nguyễn Đức Huy 17
9. 3. Mô tả sáng kiến: - Được áp dụng soạn giảng tích hợp cho bài " Biểu đồ" cần đạt được các mục tiêu: Kiến thức, kĩ năng, thái độ, các năng lực hình thành. - Trong phần kiến thức ngoài kiến thức cơ bản của môn toán ở đây tích hợp nội dung kiến thức của môn Lịch sử, sinh học, địa lý, giáo dục công dân Những nội dung kiến thức này được thể hiện trong tiến trình dạy học. - Phần kiểm tra bài cũ lồng ghép tích hợp môn lịch sử, giáo dục công dân. - Phần kiến thức mới: + Biểu đồ đoạn thẳng: Tích hợp môn sinh học, môn giáo dục công dân. + Chú ý: Tích hợp môn địa lí về việc phá rừng và sự cần thiết để bảo vệ môi trường, tài nguyên thiên nhiên. + Vận dụng: Tích hợp trao đổi phương pháp để học tốt môn toán. 4. Kết quả, hiệu quả mang lại: + 100% HS học sinh nắm được kiến thức cơ bản của bài. - Các em nắm kiến thức cơ bản kỹ hơn, chịu khó tìm tòi, học hỏi. - Biết cách kết hợp linh hoạt các nội dung kiến thức với nhau, sâu chuỗi các bộ môn đã học giúp các em có những hiểu biết toàn diện hơn. Đoàn kết hơn trong học tập và các hoạt động, tình yêu thương, niềm tự hào về quê hương đất nước được nhân thêm trong cuộc sống. 5. Đánh giá về phạm vi ảnh hưởng của sáng kiến: - Tiết dạy này được áp dụng cho bài "Biểu đồ" môn toán lớp 7 - Tài liệu tham khảo để nhân rộng cách dạy tích hợp cho nhiều nội dung bài học khác ở trường THCS Luân Giói - Điện Biên Đông. 6. Kiến nghị, đề xuất: *) Đối với giáo viên: 1. GV cần nắm trắc được nội dung kiến thức cơ bản của bài cần vạch ra các mục tiêu cụ thể cần truyền tải cho học sinh trong Từng đơn vị kiến thức của bài. 2. Cần nghiên cứu kĩ các đơn vị kiến thức các bộ môn cần tích hợp, tham khảo các tài liệu liên quan qua sách giáo khoa các bộ môn và trên kênh thông tin 19