Sáng kiến kinh nghiệm Kỹ thuật chèn điểm trong giải toán véctơ 10

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Kỹ thuật chèn điểm trong giải toán véctơ 10

1. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ thuật chèn điểm trong giải toán véc tơ 10” Phần 1 - ĐẶT VẤN ĐỀ: Véc tơ là một nội dung quan trọng trong chương trình toán học cấp THPT, nó là cơ sở của phương pháp tọa độ trong măt phẳng và không gian. Việc giải bài tập véc tơ không khó so với giải toán hình học thuần túy, t uy nhiên, với học sinh lớp 10, đây là một chủ đề mới đối lạ, các em còn bỡ ngỡ, chưa nắm rõ phương pháp giải toán nên đa số cảm thấy khó khăn trong việc giải các bài tập. Thực tế qua 1 số năm dạy học lớp 10, tôi nhận thấy nhiều học sinh mới đầu tiếp thu kiến thức về véc tơ rất chậm, các em chưa tiếp thu kịp với phương pháp học mới, đa phần học sinh học giống như phương pháp học hình học thuần túy mà các em đã biết ở cấp 2, do đó kết quả không cao. Vì vậy việc tìm ra được phương pháp hướng dẫn được học sinh giải toán về véc tơ hiệu quả là một vấn đề cấp thiết trong dạy học, đó là lí do tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này, hi vọng đây là một tư liệu tốt giúp các em học sinh có được phương pháp giải toán hiệu quả, qua đó đạt hiệu quả cao trong học tập. Đề tài giới hạn nghiên cứu trong phạm vi kiến thức về các phép toán véc tơ ở 3 bài đầu của sách giáo khoa Hình học 10 chương trình chuẩn. Các bài tập đưa ra khá cơ bản và trọng tâm của chương. Phương pháp giải toán chú trọng việc nắm vững kỹ thuật chèn điểm dễ hiểu. Sau một số bài tập, sẽ có nhận xét, bình luận về phương pháp giải. Đề tài ngắn ngọn, chỉ giới hạn trong vài trang nên chắn chắn còn nhiều thiếu sót, kính mong nhận được sự góp ý sâu sắc và chân thành của quý đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 1
2. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ thuật chèn điểm trong giải toán véc tơ 10” Phần 2 – NỘI DUNG: I. Mục tiêu: Giúp học sinh giải được 3 dạng toán thường gặp như sau: + Chứng minh đẳng thức véc tơ. + Phân tích 1 véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương. + Tìm điểm M thỏa mãn 1 đẳng thức véc tơ nào đó. II. Phương pháp giải toán: A. Kiến thức cần nắm: 1. Nắm vững các quy tắc xác định tổng và hiệu hai véc tơ:    - Quy tắc 3 điểm: AB BC AC đúng với ABC,,    - Quy tắc trừ: AB AC CB đúng với ABC,,    - Quy tắc hình bình hành: AB AD AC với ABCD là hình bình hành. 2. Đặc điểm véc tơ b ka : + Cùng hướng với a nếu k 0 ; ngược hướng với a nếu k 0 + b k a 3. Một số tính chất quen thuộc:   i) Cho đoạn thẳng AB: I là trung điểm đoạn AB IA IB 0    ii) Cho tam giác ABC: G là trọng tâm ABC GA GB GC 0 iii) ()k h a ka hb ; k() a b ka kb ; k(). ha k ha , với k, h . 4. Một số chú ý:      - Để làm xuất hiện AM từ AB , ta chèn điểm M: AB AM MB      - Để làm xuất hiện MA từ AB , ta chèn điểm M: AB MB MA ( hiển nhiên có   thể làm khác: MA AM ).       - Để làm xuất hiện IJ từ AB , ta chèn 2 điểm I, J: AB AI IJ JB . Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 2
3. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ thuật chèn điểm trong giải toán véc tơ 10” B. Dạng toán điển hình: 1. Dạng 1: Chứng minh đẳng thức véc tơ, phân tích 1 véc tơ theo 2 véc tơ không cùng phương Dạng toán trên thực chất thuộc 1 dạng bài toán là biến đổi biểu thức véc tơ (hay là từ 1 véc tơ) thành biểu thức véc tơ khác, việc chèn điểm đóng vai trò hết sức quan trọng trong các phép biến đổi. * Ví dụ 1.1: a) ( Tính chất trung điểm). Cho đoạn thẳng AB. Chứng minh rằng: I là trung    điểm đoạn AB MA MB 2 MI , M . b) (Tính chất trọng tâm). Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: G là trọng     tâm tam giác ABC MA MB MC 3 MG , M . Giải:       a) I là trung điểm đoạn AB IA IB 0 ( MA MI ) ( MB MI ) 0,  M    MA MB 2 MI , M (Đpcm).    b) G là trọng tâm ABC GA GB GC 0           (MA MG ) ( MB MG ) ( MC MG ) 0 , M MA MB MC 3 MG , M .   *Ví dụ 1.2: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn: MB 2 MC 0 . Hãy    phân tích AM theo 2 véc tơ AB và AC . Giải:       1   1   Ta có: MB 2 MC 0 MC CB 2 MC 0 MC BC MC AC AB . 3 3     1   2  1  Vậy nên: AM AB MC AB AC AB AB AC . 3 3 3 * Ví dụ 1.3: Cho 2 tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng: 2 tam    giác trên có cùng trọng tâm khi và chỉ khi AA' BB ' CC ' 0 . Hướng dẫn: Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Ta cần chứng  minh G G' GG ' 0 . Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 3
4. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ thuật chèn điểm trong giải toán véc tơ 10”             Ta có: AA'''' AG GG G A ; BB'''' BG GG G B ; CC'''' CG GG G C     Do đó, dễ suy ra: AA' BB ' CC ' 0 GG ' 0 (Đpcm). * Ví dụ 1.4: Cho tứ giác ABCD. I, J lần lượt là trung điểm của AC và    BD. Chứng minh rằng: AB CD 2 IJ . Hướng dẫn:  Biến đổi vế trái bằng cách mỗi véc tơ làm xuất hiện véc tơ IJ và sử dụng tính          chất trung điểm đoạn thẳng: AB CD ( AI IJ JB ) ( CI IJ JD ) 2 IJ . * Ví dụ 1.5: Cho k điểm. Học sinh A đánh số các điểm đó là MMM1; 2 ; ; k . Học sinh B lại đánh số các điểm đó là NNN1; 2 ; ; k . Chứng minh    rằng: MNMNMN1 1 2 2 k k 0 . Giải: Ta chèn 1 điểm I bất kì, ta được          M1 N 1 M 2 N 2 Mk N k ( IN 1 IM 1 ) ( IN 2 IM 2 ) ( IN k IM k )       IN1 IN 2 INk IM 1 IM 2 IM k à       Với chú ý l IN1 IN 2 INk IM 1 IM 2 IM k , từ đây suy ra được đpcm. 2. Dạng 2: Dạng toán tìm điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức về véc tơ :   * Ví dụ 2.1: Cho 2 điểm A, B. Dựng điểm M sao cho: 2MA 3 MB 0 . Giải:       3  Ta có: 2MA 3 MB 0 2 MA 3 MA AB 0 MA AB . Đẳng thức cuối 5 cùng dễ rút ra được điểm M trên hình vẽ (Hình 1). A M B Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 4
5. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ thuật chèn điểm trong giải toán véc tơ 10” * Ví dụ 2.2: Cho tam giác ABC. Dựng điểm M thỏa mãn:    MA 2 MB 3 MC 0 . Giải: Rút gọn:          1 1  MA 2 MB 3 MC 0 MA 2( MA AB ) 3( MA AC ) 0 AM AB AC . 3 2 Đẳng thức cuối, xác định được điểm M duy nhất trên hình vẽ (Hình 2). A M C B Hình 2. * Nhận xét: Ví dụ 2.1; 2.2 thuộc dạng bài tập tổng quát: Tìm điểm M thỏa    mãn đẳng thức: x1 MA 1 x 2 MA 2 xn MA n 0, với AAA1; 2 ; ; n là các điểm đã x cho; i i 1, n là các số thực cho biết. Ta thực hiện: Sử dụng kỹ thuật chèn điểm A1 (hoặc Ak nào đấy) rút gọn biểu thức véc tơ giả thiết cho về dạng 1 vế chỉ  còn 1 véc tơ phụ thuộc vào M là MA1 , vế kia là 1 véc tơ ( dưới dạng biểu thức véc tơ) hoàn toàn xác định.   * Ví dụ 2.3: Cho đoạn thẳng AB. Tìm điểm M sao cho: MA 2 MB 3 . Giải: Ta chèn điểm I như sau:           MA 2 MB IA IM 2 IB IM IA 2 IB 3 IM 3 IM . Ở đây I là điểm ta   dựng thỏa mãn IA 2 IB 0 (dựng theo phương pháp ở VD 2.1 – Xem hình 3)    Do đó ta có: MA 2 MB 3 3 IM 3 IM 1. Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I, bán kính r = 1. Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 5
6. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ thuật chèn điểm trong giải toán véc tơ 10” M r = 1 A I B Hình 3. * Ví dụ 2.4: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng    thỏa mãn MA MB MC 6 . Giải: Ta chèn điểm I như sau:               MA MB MC IA IM IB IM IC IM IA IB IC 3 IM 3 IM , với    I là điểm thỏa mãn IA IB IC 0 (Dựng được theo phương pháp ở ví dụ 2.2 – Hình 4: ở đây I là trọng tâm tam giác ABC)    Do đó ta có: MA MB MC 6 IM 2 . Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I, bán kính r = 2. A M r = 2 I C B Hình 4. * Nhận xét: Ví dụ 2.3; 2.4 thuộc dạng bài tập tổng quát: Cho tập hợp điểm AAA1; 2 ; ; n và các số thực x1; x 2 ; ; xn . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:    x1 MA 1 x 2 MA 2 xn MA n k , với k > 0. Ta chèn điểm I, với I là điểm thỏa    mãn x1 IA 1 x 2 IA 2 xn IA n 0 ( luôn dựng điểm I như thế), khi đó: Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 6
7. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ thuật chèn điểm trong giải toán véc tơ 10”     k xMAxMA1 1 2 2 xMAn n k ( xx 1 2 xMI n ) k MI rút x1 x 2 xn k ra M nằm trên đường tròn tâm I, bán kính r . x1 x 2 xn 3. Bài tập vận dụng: Bài 1. Cho O là tâm hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm      M ta có: MA MB MC MD 4 MO . Bài 2. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Gọi B’ là điểm đối xứng của B  2  1  qua G. Chứng minh rằng: AB' AC AB . 3 3 Bài 3. Tam giác ABC có AC=2AB. Gọi D là chân đường phân g iác trong góc    A của tam giác. Phân tích AD theo 2 véc tơ AB và AC . Bài 4. Cho tam giác ABC. Tìm điểm M thỏa mãn:    a) MA 4 MB MC 0    b) MA 2 MB 3 MC 12 Bài 5. Cho 2 điểm A, B và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc d sao cho   MA 2 MB nhỏ nhất. Bài 6. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc d, sao cho    MA MB MC nhỏ nhất ? Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 7
8. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ thuật chèn điểm trong giải toán véc tơ 10” Phần 3 – KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1. Những kết luận quan trọng của toàn bộ sáng kiến kinh nghiệm: - Hệ thống các bài tập đưa ra trong sáng kiến tuy không nhiều nhưng đã cung cấp một phương pháp giải toán điển hình trong dạng bài tập trọng tâm về véc tơ học sinh lớp 10 thường gặp. - Các bài tập dành chủ yếu cho đối tượng học sinh trung bình – khá, không đi sâu những bài tập khó, phù hợp với đặc điểm của trường THPT Lê Hồng Phong là trường có chất lượng đầu vào không cao. 2. Kết quả thực hiện: Nội dung sáng kiến được giáo viên giảng dạy trong một số tiết hình học tự chọn ở lớp 10 C5, 10 C6 của trường, kết quả học sinh hiểu bài giải được bài tập khá cao. Việc học sinh biết chứng minh đẳng thức véc tơ được cải thiện đáng kể, việc phân tích 1 véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương thực sự không phải là một dạng toán khó đối với học sinh nữa, các bài toán tìm điểm M dành cho đối tượng học sinh khá cũng đạt hiệu quả đáng kể, đã làm cho học sinh thấy không quá khó. 3 - Các kiến nghị đề suất rút ra từ sáng kiến kinh nghiệm: - Để làm tốt phương pháp gi ải toán, giáo viên cần hướng dẫn học sinh thực hiện được linh hoạt các quy tắc xác đị nh tổng và hiệu của hai véc tơ và chú trọng việc biểu diễn được các véc tơ tổng, véc tơ hiệu, véc tơ k. a . Muốn đạt được điều này, cần có thời gian học sinh thực hành ở trên lớp nhiều, nên chăng cần có 2 tiết bài tập sau bài: “ Tích của véc tơ với 1 số” - Việc dạy các bài xác định các véc tơ tổng, hiệu, véc tơ k. a sẽ đạt hiệu quả hơn nếu giáo viên thực hiện giảng dạy trên phần mềm Geometer’s Sketchpad, kết hợp với bảng tương tác. Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 8