Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm soạn đề và phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm soạn đề và phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức

1. Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 0
2. Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 PHẦN MỞ ĐẦU I.BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI Kể từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức đưa nội dung “ Số phức” vào chương trình lớp 12 cho học sinh dạng đại trà. Đây là vấn đề khá mới lạ đối với không ít giáo viên và học sinh bậc THPT (do thời lượng chương trình và tài liệu nghiên cứu không nhiều), mặc dù nội dung này chiếm một tỉ lệ nhất định trong các đề thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Vì thế, việc dạy và học nội dung “ Số phức” có hiệu quả thật sự là vấn đề cần nghiên cứu. Qua quá trình giảng dạy tôi đã tích lũy một ít kinh nghiệm cho nội dung này. Trong năm học 2010 - 2011, tôi đã hệ thống những kinh nghiệm soạn đề và phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức với hy vọng học sinh sẽ có cái nhìn toàn diện và tự tin hơn khi tiếp cận các vấn đề liên quan đến số phức. II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý do chọn đề tài của tôi xuất phát từ những trải nghiệm sau: * Học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên đa phần khi vận dụng còn ảnh hưởng bởi tính chất của tập hợp số thực đã học từ các lớp dưới. Vì vậy thường tỏ ra lúng túng khi đối mặt chúng trong các đề thi. * Trong nhiều trường hợp, có thể vận dụng phương pháp“ Dùng cái phức để giải quyết cái thực” một cách hữu hiệu. * Nghiên cứu dạng toán này còn giúp cho học sinh kết hợp phương pháp đại số và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải quyết một số dạng toán nâng cao. * Đặc biệt, nhằm ứng dụng hiệu quả kiến thức tiếp thu qua các lớp tập huấn về công nghệ thông tin và bồi dưỡng thường xuyên, bên cạnh việc hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay trong việc tính toán số phức, bản thân còn ứng dụng phần mềm Maple để chủ động biên soạn các đề bài toán số phức phù hợp mục tiêu từng dạng bài. Từ những suy nghĩ trên, tôi mạn phép trao đổi cùng các anh chị đồng nghiệp và các em học sinh sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “KINH NGHIỆM SOẠN ĐỀ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC” nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn toán ở trường THPT. III. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU • Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy toán ở các trường trung học phổ thông tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp và Cao đẳng - Đại học. • Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm: * Một số dạng bài tập thường gặp về số phức. * Ứng dụng số phức tìm để giải quyết một số bài toán về số thực. * Các bài toán tham khảo qua các kì thi. * Minh họa một số đề bài toán được biên soạn bởi sự hỗ trợ phần mềm Maple. IV. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục tiêu: GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 1
3. Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 * Cùng chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm về phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức. * Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm. * Ứng dụng CNTT trong việc đổi mới phương pháp dạy và học ở trường phổ thông. * Hưởng ứng phong trào viết SKKN của trường THPT chuyên Bến Tre và của Công Đoàn ngành Giáo dục phát động. V. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU * SKKN này đã hệ thống tóm tắt những nội dung chính và những vấn đề cần lưu ý khi nghiên cứu chương số phức. * Qua SKKN nầy, học sinh được nắm được phương pháp giải một số dạng toán về số phức và các kỹ thuật tính toán đại số.Cụ thể là: + Dạng 1: Các phép tính về số phức và các bài toán định tính. + Dạng 2: Biểu diễn hình học của số phức. + Dạng 3: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai. + Dạng 4: Phương trình quy về bậc hai. + Dạng 5: Dạng lượng giác của số phức. + Dạng 6: Nhị thức Niu-tơn và số phức. * SKKN này còn khai thác ý nghĩa hình học về các phép toán cộng, trừ của số phức và ứng dụng dạng lượng giác của số phức. * SKKN này đưa ra nhiều bài toán mẫu và các bài tập tương tự nhằm mục tiêu giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính toán và phát triển tư duy trước mỗi dạng bài. * Qua SKKN này, học sinh sẽ tích lũy thành kinh nghiệm cho bản thân để có thể sáng tạo giải quyết các bài toán nâng cao và tổng hợp khác. * Đặc biệt, điểm mới cần lưu ý trong SKKN này là bản thân đã khai thác ứng dụng phần mềm Maple trong việc sáng tác các bài toán và kiểm tra kết quả theo mục tiêu bài học. PHẦN NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở: * Các kiến thức cơ bản về số phức. * Các kiến thức cơ bản về lượng giác và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. * Một số kĩ thuật biến đổi đại số và ứng dụng của máy tính cầm tay. * Một số lệnh cơ bản của Maple. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Trong suốt 12 năm học từ bậc tiểu học đến bậc THPT, hầu hết thời gian làm toán số của học sinh là yêu cầu giải quyết trên tập số thực. Riêng năm học lớp 12 học sinh được tiếp cận với tập số phức với thời lượng nhất định để nghiên cứu các dạng toán liên quan. Vì thế, nếu không có sự hướng dẫn đầy đủ và cụ thể của giáo viên thì học sinh thường có sự nhầm lẫn trong tính toán và không nắm vững phương pháp giải từng GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 2
4. Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 dạng bài. Đồng thời, học sinh cũng không cảm nhận hết“ cái đẹp” của số phức cũng như không thấy rõ mối liên quan giữa các kiến thức toán học. Do vậy, việc giải các bài toán liên quan đến số phức đòi hỏi có sự kết hợp khéo léo và vận dụng linh hoạt, sáng tạo giữa các kiến thức toán. Sau đây, tôi xin giới thiệu một số phương pháp thường dùng để giải các dạng toán nói trên. III. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1) TÓM TẮT GIÁO KHOA Trước hết, ta cần hệ thống tóm tắt những nội dung chính và những vấn đề cần lưu ý khi nghiên cứu chương số phức. Phần 1: SỐ PHỨC iÑònh nghóa 1: Moãi soá phöcù laø moät bieåu thöùc daïng abi+ vôùi ab, ∈=− vaø i2 1. Kí hieäu soá phöùc ñoù laø z vaø vieát z=+ a bi . ia ñöôïc goïi laø ñôn vò aûo, ñöôïc goïi laø phaàn thöïc vaø b ñöôïc goïi laø phaàn aûo cuûa soá phöùc zabi=+ . Taäp hôïp caùc soá phöùc ñöôïc kí hieäu laø . ⎧aa= ′ iÑònh nghóa 2: abia+=+⇔ ′′ bi ⎨ , Suy ra abi+=⇔== 0 ab 0. ⎩bb= ′ Chuù yù: Ñaây laø cô sôû cuûa vieäc öùng duïng soá phöùc ñeå giaûi quyeát caùc baøi toaùn trong taäp hôïp soá thöïc. ∗Ví duï: Sau khi hoïc xong coâng thöùc Moivre(Moa- vrô), coù theå tính ñöôïc cosnnϕϕ , sin nhö sau: iVôùi nz=ϕ 3, xeùt = cos3+ϕ i sin3 (1). Ta coù ziz = (cosϕ+ sin ϕ)33 ⇒ = (cos ϕ− 3cos ϕ .sin 22 ϕ ) +i (3cos ϕ.s i n ϕ−ϕsin3 ); (2) ⎪⎧icos3ϕ= 4cos3 ϕ− 3cos ϕ . Töø (1) vaø (2) ta ñöôïc: ⎨ 3 ⎩⎪isin3ϕ= 3sin ϕ− 4sin ϕ . ∗Chuù yù: Trong khoâng coù quan heä thöù töï, nghóa laø khoâng coù khaùi nieäm z > z′ , z < z′ , zz,≥ ′′ z≤ z. ∗Bieåu dieãn hình hoïc cuûa soá phöùc: iÖÙng vôùi moãi soá zabi =+ coù duy nhaát moät ñieåm Mab( ; )/ mp Oxy vaø ngöôïc laïi. Kí hieäu: Ma (+ bi ) hay M (z ). iCaùc ñieåm treân truïc hoaønh Ox bieåu dieãn caùc soá thöïc; Caùc ñieåm treân truïc tung Oy bieåu dieãn caùc soá aûo. GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 3
5. Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 ∗ Y Ù nghóa hình hoïc cuûa caùc pheùp toaùn coäng, tröø soá phöùc : Cho zabi =+ coù vectô bieåu dieãn laø u (ab ; ) zabi′′′ =+ coù vectô bieåu dieãn laø u′′′ (a ; b ) ⎧⎪uu++′′ bieåu dieãn cho zz . Khi ñoù : ⎨ ⎩⎪uu− ′′ bieåu dieãn cho zz - . ∗Ñònh nghóa pheùp nhaân soá phöùc: Tích cuûa hai soá phöùc z =+ abiøza va ′ = ′′ + bi laø soá phöùc zz′′′′′ =++ aa - bb ( ab a b ) i . * Chu ù yù : "Coù theå thöïc hieän caùc pheùp toaùn coäng, tröø, nhaân hai soá phöùc moät caùch hình thöùc töông töï nhö caùc pheùp toaùn coäng, trö,ø nhaân treân taäp soá thöïc " ∗Khaùi nieäm soá phöùc lieân hôïp vaø moâñun soá phöùc. ∗Pheùp chia soá phöùc: iSoá phöùc lieân hôïp cuûa zabizabi =+ laø = - . iMoñunâz cuûa soá phöùc z laø = a22+ b. iPheùp chia cho soá phöùc khaùc khoâng: Soá nghòch ñaûo cuûa soá phöùc z khaùc 0 laø soá Ñònh nghóa: 1 zz−1 = . z 2 z′ Thöông cuûa pheùp chia soá phöùc zz′′ cho soá phöùc ≠ 0 laø tích cuûa z vôùi soá phöùc z z′ nghòch ñaûo cuûa z , töùc laø = zz′ .−1 . z zzz′′ Vaäy: Neáu z ≠=0 thì . z z 2 SƠ ĐỒ TRÌNH BÀY KHÁI NIỆM PHÉP CHIA SỐ PHỨC ⎫ ∗=+ z a bi ⇒ z = a- bi ⎪ ⎪ ′′ 22⎪ zzz−1 ∗=+ zabiz ⇒=. a + b⎬ ⇒ = zz′ =2 ;( z ≠0) z z 1 ⎪ ∗≠⇒Cho zzz0 −1= ⎪ z 2 ⎪ ⎭ GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 4
6. Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 z′ ∗ Chuù yù: Trong thöïc haønh, ñeå tính ta chæ caàn nhaân caû töû vaø maãu soá vôùi z . z Phần 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ∗ Ñònh nghóa: " Caên baäc hai cuûa soá phöùc wzzw laø soá phöùc sao cho 2 = " ∗ Coù theå chöùng minh ñöôïc keát quaû sau: Moãi soá phöùc z ≠ 0 coù ñuùng hai caên baäc hai laø hai soá ñoái nhau (khaùc0) ∗Chuù y:ù Khoâng ñöôïc duøng kí hieäu ñeå chæ caên baäc hai cuûa moät soá phöùc ( khoâng ñöôïc vieát abi+ ) ∗= Chuù yù phöông phaùp tìm caên baäc hai cuûa soá phöùc wabi+ : iGiaû söû zxyi=+ laø caên baäc hai cuûa w . Vaäy ta coù: z222=⇔ w ( x − y ) + 2 xyi =+ a bi ⎧xya22−= i Giaûi heä phöông trình:⎨ ()∗ ⎩2xy= b Vaäy vieäc tìm caên baäc hai cuûa soá phöùc w ñöôïc quy veà vieäc giaûi hpt (∗ ) baèng phöông phaùp theá trong taäp hôïp soá thöïc. TÓM TẮT CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC ∗ Soá 0 coù ñuùng moät caên baäc hai laø 0. ∗ Moãi soá phöùc khaùc 0 coù hai caên baäc hai laø hai soá ñoái nhau (khaùc 0). Ñaëc bieät, soá thöïc aa döông coù hai caên baäc hai laø vaø -a ; soá thöïc a aâm coù hai caên baäc hai laø −−ai vaø - ai . ∗ Phöông trình baäc hai: 2 Az++= Bz C0; A ≠ 0 (1) Xeùt bieät thöùc Δ=BAC2 − 4 . ∗Δ≠Neáu 0 thì pt (1) coù 2 nghieäm phaân bieät: −+δBB −−δ zz== , 1222AA trong ñoù δΔ laø moät caên baäc hai cuûa . ∗Δ = 0 thì pt (1) coù nghieäm keùp: B zz==− . 12 2A *Chu ù yù : HS söû duïng MTCT ñeå kieåm tra nghieäm pt baäc baäc hai trong taäp soá phöùc. GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 5
7. Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 Phần 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG ∗Ñònh nghóa daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc: Daïng zr =ϕ+ϕ (cos isin ) vôùi r > 0. ∗PP tìm daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc zabi =+ (;ab ∈ ) khaùc 0 cho tröôùc: iBöôùc 1:Tìm rab = 22+ (moñun cuûa soá phöùc). ab iBöôùc 2:Tìm ϕϕ (laø moät acgumen cuûa z ); ∈ϕ sao cho cos = ; sinϕ = . rr ∗Ñònh lyù nhaân vaø chia soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc: Neáu z =ϕ+ϕri (cos sin ), zr′′=ϕ+ϕ≥≥ (cos ′ i sin ′ ) ( r 0, r ′ 0), thì zz′′=ϕ+ϕ+ϕ+ϕ rr [cos( ′ ) i sin( ′ )], zr′′ = [cos( ϕ′′ −ϕ ) + ir sin( ϕ −ϕ )](khi > 0) zr Ghi nhôù: Nhaân: tích moâñun vaø toång acgumen. Chia: thöông moâñun vaø hieäu acgumen. ∗Coâng thöùc Moa-vrô: i[rirninn (cosϕ+ sin ϕ )]nn = (cos ϕ+ sin ϕ ); ∈ ∗ iÑaëc bieät khi r = 1: (cosϕ+ ininsin ϕ )n = cos ϕ +ϕ sin ∗Caên baäc hai cuûa soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc: Soá phöùc zr=ϕ+ϕ>(cos isin ), r 0 coù hai caên baäc hai laø: ϕϕ ri(cos + sin ) vaø 22 ϕϕ⎛⎞ ϕ ϕ −=π+rir(cos + sin )⎜⎟ cos( + ) + isin(π ) . 22⎝⎠ 2 2 *Chu ù yù : Coù theå keát hôïp coâng thöùc khai trieån nhò thöùc Niu- tôn vaø coâng thöùc Moa-vrô ñeå tính toång. 2) MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 6