Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm giúp học sinh vận dụng tốt hệ thức Vi-ét

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm giúp học sinh vận dụng tốt hệ thức Vi-ét

1. A/ Đặt vấn đề. I/ Cơ sở lí luận. Nghị quyết TW II khoá IIIV đã khẳng định: "Phải đổi mới giáo dục đào tạo , khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành thạo nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học". Trong Luật giáo dục đã khẳng định" Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực , tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học" . Nói cách khác là việc dạy học theo chương trình mới nhằm mục tiêu đào tạo con người mới thích ứng với sự phát triển nhanh mạnh từng ngày , từng giờ của khoa học kĩ thuật. Nhận thức được tầm quan trọng của việc đổi mới phương pháp giảng dạy nói chung, giảng dạy toán 9 nói riêng, bản thân đã được giảng dạy chương trình toán 9 cũ và được tiếp cận chương trình toán 9 theo chương trình cải cách nên tôi mạnh dạn soạn và áp dụng dạy theo một hệ thống bài tập có tính hệ thống lôgíc giới hạn ở hệ thức Vi-ét với phương trình bậc hai một ẩn. II/ Cơ sở thực tế. Muốn đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với mục tiêu của chương trình cải cách và nội dung SGK khoa mới thì giáo viên trước hết phải dạy cho học sinh những tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách đọc tài liệu, biết cáh suy luận, biết cách tìm lại những cái đã quên và phát hiện kiến thức mới. Bên cạnh đó đòi hỏi học sinh phải cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nghiên cứu kiến thức mới. Muốn dạy cho học sinh nắm được những tri thức phương pháp thì người giáo viên phải thường xuyên suy nghĩ dạy một vấn đề , một đơn vị kiến thức đặt ra trước mắt theo cách nào, theo hướng nào , để học sinh hiểu và vận dụng hiệu quả hơn. Trong chương trình bộ môn toán 9 nhiều bài tập, đặc biệt là thi vào THPT xuất hiện nhiều dạng bài toán liên quan đến hệ thức Vi-ét, nhưng thời lượng chương trình dành cho học và vận dụng hệ thức Vi-ét là không nhiều. Vì vậy muốn học sinh đọc hiểu và có khả năng vận dụng kiến thức nói chung hay hệ thức Vi-ét nói riêng vào giải các bài tập liên quan phần không nhỏ phụ thuộc vào lòng say mê công việc, không ngừng suy nghĩ khai thác các đơn vị kiến thức thành hệ thống các dạng bài tập để học sinh nhận diện ra phương pháp giải và rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải dạng bài tập đó. Chính vì nhận thấy tầm quan trọng của việc khai thác có hệ thống các đơn vị kiến thức theo dạng bài tập cơ bản liên quan, tôi mạnh dạn đi sâu suy nghĩ khai thác và vận dụng hệ thức Vi-ét trong giảng dạy theo hệ thống các nội dung sau: + áp dụng hệ thức Vi-ét vào tìm giá trị của tham số m thoả mãn điều kiện T cho trước. + Hệ thức Vi-ét trong sự tương giao hàm số y = ax2 ( a ≠ 0) và y = mx + n + Lập phương trình bằng định lý Vi-ét đảo. + Giải hệ phương trình bằng định lý Vi-ét đảo.
2. B/ Giải quyết vấn đề. I- Lý thuyết cơ bản. 1- Định lí Vi-ét. 2 Nếu phương trình ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0) (1) có hai nghiệm x1 và x2 thì: b x x 1 2 a c x  x 1 2 a Chứng minh: 2 Do x1 và x2 là hai nghiệm của pt (1) nên: a(x - x1).(x - x2) = ax + bx + c với  x 2 2 2 2 ax - ax1x - ax2x + ax1x2 = ax + bx + c ax - (ax1+ ax2)x + ax1x2 = ax + bx + c b x x 1 2 ax1 ax2 b a ax x c c 1 2 x x 1 2 a 2- Định lí Vi- ét đảo. Nếu hai số có tổng S và tích P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: x2 -Sx + P = 0 . Điều kiện tồn tại hai số đó là: S2 - 4P > 0. II- Các dạng bài tập cơ bản. Dạng 1: áp dụng hệ thức Vi-ét vào tìm giá trị của tham số m để phương trình thoả mãn điều kiện T cho trước. * Bài toán cơ bản: Tìm giá trị của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) (I) Có nghiệm thảo mãn điều kiện T cho trước. * Phương pháp: Để phương trình (I) có nghiệm ta phải có: Δ ≥ 0 (*) b x x 1 2 a Khi đó theo hệ thức vi-ét ta có: c x x 1 2 a Để tìm giá trị của tham số m ta giải hệ phương trình:
3. b x x 1 2 a c x1  x2 so sánh với điều kiện (*) và kết luận bài toán. a Điều kiện T Bài toán 1: Cho phương trình x2 - 2m x + 2m -1 = 0 (1) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn x1 = 2 x2. Bài giải: Để phương trình (2) có nghiệm ta phải có: ' m 2 2m 1 m2 2m 1 m 1 0 với m Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 2m (*) Kết hợp với điều kiện x1 = 2 x2 x1  x2 2m 1 ( ) 2m 4m Thay vào (*) ta có: 2x x 2m x ;x 2 2 2 3 1 3 2m 4m Thay vào ( ) ta có: . 2m 1 8m2 18m 9 0 3 3 3 3 Giải phương trình ẩn m ta được : m ; m (thoả mãn ) 1 2 2 4 3 3 Vậy m ; m thì phương trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn x1 = 2 x2. 1 2 2 4 Bài toán 2: Cho phương trình x2 -mx + m + 1 = 0 (2) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn x1x2 + 2(x1 + x2) - 19 = 0. Bài giải: Để phương trình (2) có nghiệm ta phải có: Δ = m2 - 4m - 4 ≥ 0 (*) m 2 2 2 ( ) m 2 2 2 x1 x2 m Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức vi-ét ta có: x1  x2 m 1 Từ x1 x2 + 2(x1 + x2) - 19 = 0 m + 1 + 2m - 19 = 0 3m = 18 m = 6 ( Thoả mãn ( )) Vậy m = 6 là giá trị cần tìm. *Lưu ý: Trong quá trình tìm điều kiện để phương trình có nghiệm nếu điều kiện là một phương trình hay bất phương trình mà ta giải nó gặp khó khăn , chẳng hạn như bài
4. tập trên điều kiện là m2 - 4m - 4 ≥ 0 thì ta có thể không giải phương trình hay bất phương trình đó. Sau khi tìm được m thì thay vào xem có thoả mãn không. Ví dụ ở bài tập trên tìm được x = 6 ta thay vào (*) ta có: Δ = 6 2 - 4.6 - 4 = 8 > 0 , vậy m = 6 thoả mãn (*) Bài toán 3: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (3 ) Tìm các giái trị của m để phương trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn : 2 2 A = 10 x1x2 + x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó. Bài giải: m 3 2 Phương trình (3 ) có nghiệm Δ' = m - 9 ≥ 0 (*) m 3 Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 2 m 1 2m 2 x1  x2 2m 10 2 2 2 2 Từ A = 10 x1x2 + x1 + x2 = (x1 + x2 ) + 8 x1x2 = (2m + 2 ) + 8(2m +10) = 4m2 + 24m + 84 = ( 2m + 6)2 + 48 ≥ 48 Min A = 48 khi 2m + 6 = 0 hay m = -3.( tmđk*) Vậy m =-3 thì A đạt giá trị nhỏ nhất và MinA = 48. Bài toán 4 : Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình: 2x2 + 2(m + 1) x + m2 + 4m + 3 = 0 (4 ) Tìm giá trị lớn nhất của M = x1x2 2x1 2x2 Bài giải: Phương trình (4 ) có nghiệm Δ' = -m2 - 6m - 5 ≥ 0 m2 6m 5 0 m 1 m 5 0 5 m 1 * Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: x x m 1 1 2 m2 4m 3 x1  x2 2 m2 4m 3 Từ M = x1x2 2x1 2x2 = x x 2 x x = 2m 2 1 2 1 2 2 m2 8m 7 1 1 = m2 8m 7 m2 8m 7 vì với 5 m 1 thì 2 2 2 m2 + 8m + 7 < 0. 1 2 9 1 2 9 M = m 4 9 m 4 2 2 2 2 9 2 Max M = khi m 4 0 hay m = -4 .( tmđk*) 2
5. 9 Vậy m = - 4 thì M đạt giá trị lớn nhất và MaxM = . 2 Bài toán 5 : Cho phương trình x2 - mx + m -1 = 0 (5 ) a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với  m. b/ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất 2x1x2 3 của P 2 2 . x1 x2 2 x1x2 1 Bài giải: a/ Có Δ = m 2 - 4m + 4 = (m - 2)2 ≥ 0 với  m. Vậy phương trình (5) luôn có nghiệm với  m. b/ Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = m x1x2 = m -1 2x1x2 3 2m 2 3 2m 1 Từ P 2 2 2 2 x1 x2 2 x1x2 1 m 2 m 2 m2P 2P 2m 1 m2P 2m 2P 1 0 Để tồn tại P thì phải tồn tại m vậy phương trình ẩn m trên phải có nghiệm hay: 1 ' 1 2P2 P 0 P 1 2P 1 0 P 1 m 2 1 Min P = khi m=-2.( tm) 2 Max P = 1 khi m=1.( tm) 1 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 Giá trị nhỏ nhất của P bằng . 2 * Nhận xét: Đối với những biểu thức chỉ chứa các nghiệm của phương trình cho trước muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất ta làm theo trình tự sau: +Trước hết ta phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm . +Biến đổi biểu thức xuất hiện tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm . +Từ đó áp dụng hệ thức Vi -ét thay vào được biểu thức chỉ chứa tham số m. Ta tiến hành tìm GTNN, GTLN của biểu thức với ẩn m. Bài toán 6: Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m -1 = 0 (6 ) a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với  m. b/ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng biểu thức: A x1 1 x2 x2 1 x1 không phụ thuộc vào giá trị của m. Bài giải: 2 2 2 1 7 a/ Có Δ' = m 1 m 1 m m 2 m 0 với  m. 2 4
6. Vậy phương trình (6 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với  m. b/ Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 2m 2 x1  x2 m 1 Từ A x1 1 x2 x2 1 x1 x1 x2 2x1x2 2m 2 2 m 1 4 Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của m. Dạng 2: Hệ thức Vi-ét trong sự tương giao hàm số. * Phương pháp: Cho hàm số: y = ax2 ( a ≠ 0) (P) và : y = mx + n (d) Hoành độ giao điểm của (d ) và (P) là nghiệm của phương trình: ax2 = mx + n ax2 - mx - n = 0. (II) +/ Nếu phương trình (II) có hai nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. +/ Nếu phương trình (II) có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P). +/ Nếu phương trình (II) vô nghiệm thì (d ) không có điểm chung với cắt (P). Bài toán 7 : Cho hàm số y = x2 (P) và y = 3x + m2 (d) a/ Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của m thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b/ Gọi y1 , y2 là tung độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để: y1 + y2 = 11y1y2. Bài giải: a/ Hoành độ giao điểm của d và P là nghiệm của phương trình: x2 = 3x + m2 x2 - 3x - m2 = 0 (7) Xét 9 4m2 0 với m nên phương trình (7) có hai nghiệm phân biệt với mọi m , chứng tỏ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b/ Khi đó hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình (7) . Gọi hai nghiệm đó là x1 ,x2 , theo hệ thức Vi-ét ta có: x x 3 1 2 2 x1  x2 m 2 2 Ta có các tung độ tương ứng là: y1 = x1 ; y2 = x2 2 2 2 2 Từ y1 + y2 = 11y1y2 ta có: x1 + x2 =11x1 .x2 2 2 (x1 + x2) - 2x1x2 -11 (x1x2) = 0 9 +2m2 - 11m4 = 0 11m4 - 2m2 - 9 = 0 m2 1 11m2 9 0 m2 1 0 m 1 (tm) Vậy với m = 1 là giá trị cần tìm. 1 Bài toán 8 : Cho hàm số y x2 (P) 2 a/ Gọi A và B là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị có hoành độ là 1 và -2. Viết phương trình đường thẳng AB.