Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm giảng dạy phần Giới hạn môn Đại số & Giải tích Lớp 11

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm giảng dạy phần Giới hạn môn Đại số & Giải tích Lớp 11

1. Trường THPT Thuận Thành số 2 SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt phần giới hạn MỤC LỤC STT Nội Dung Trang 1 Mục lục 1 2 Phần thứ nhất: Mở Đầu 2 3 1. Lý do chọn đề tài 2 4 2. Mục đích nghiên cứu 2 5 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 6 4. Đối tượng nghiên cứu 3 7 5. Phương pháp nghiên cứu 3 8 6. Thời gian nghiên cứu 3 9 Phần thứ hai: Nội dung 3 10 Phần I: Giới hạn dãy số 3 11 A. Kiến thức cơ bản 3 12 B. Phương pháp giải toán 4 13 C. Các ví dụ 5 14 Bài tập tự giải 7 15 Phần II: Giới hạn hàm số 7 16 A. Kiến thức cơ bản 7 17 B. Phương pháp giải toán 8 18 C. Các ví dụ 9 19 Bài tập tự giải 12 20 Phần III: Hàm số liên tục 15 21 A. Kiến thức cơ bản 15 22 B. Phương pháp giải toán 16 23 C. Các ví dụ 17 24 Bài tập tự giải 21 25 Phần ba: Kết luận 24 26 Kiến nghị 24 GV : Nguyễn Thị Thắm 1
2. Trường THPT Thuận Thành số 2 SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt phần giới hạn Phần thứ nhất: Mở Đầu 1. Lý do chọn đề tài : I. Lý do pháp chế: - Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục ở bậc học phổ thông. - Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh trung học phổ thông trong việc học tâp bộ môn Đại số và Giải tích. II. Cơ sở lý luận: Kinh nghiệm giảng dạy của bản thân và học hỏi một số giáo viên khác III. Cơ sở thục tiễn: Những thuận lợi và khó khăn trong quá trình giảng dạy bộ môn Đại số và Giải tích và nhất là phần giới hạn. 2. Mục đích nghiên cứu: Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút ra kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: I. Nhiệm vụ: Những nội dung chính của phần giới hạn: - Giới hạn dãy số - Giới hạn hàm số - Hàm số liên tục của hàm số II. Yêu cầu: Học sinh nắm rõ các định nghĩa, các công thức tính giới hạn đã học Học sinh nắm rõ các phương pháp đã học Phương pháp tìm giới hạn dãy số GV : Nguyễn Thị Thắm 2
3. Trường THPT Thuận Thành số 2 SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt phần giới hạn Phương pháp tìm giới hạn hàm số Phương pháp xét tính liên tục của hàm số và chứng minh phương trình có nghiệm Áp dụng để giải bài tập 4. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 11 bậc trug học phổ thông 5. Phương pháp nghiên cứu: - Tham khảo tài liệu, mạng internet - Thạm gia đầy đủ các lớp học bồi dưỡng do Sở tổ chức, các buổi sinh hoạt HĐBM, tổ chuyên môn. 6. Thời gian nghiên cứu: Trong suốt quá trình được phân công giảng dạy khối 11 bậc trung học phổ thông Phần thứ hai: Nội Dung PHẦN I: GIỚI HẠN DÃY SỐ: A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim u 0 hay u 0 khi n + . n n n b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực ( n ), nếu lim un a 0. Kí hiệu: n lim un a hay un a khi n + . n ❖ Chú ý: lim un lim un . n 2. Một vài giới hạn đặc biệt. 1 1 a) lim 0 , lim 0 , n ¢ * n nk GV : Nguyễn Thị Thắm 3
4. Trường THPT Thuận Thành số 2 SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt phần giới hạn b) lim qn 0 với q 1. c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c. 3. Một số định lý về giới hạn của dãy số. * a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : vn un wn n ¥ và lim vn lim wn a lim un a . b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: lim un v n lim un lim v n a b lim un .vn limun .lim vn a.b un lim un a * lim , vn 0 n ¥ ;b 0 vn lim vn b lim un lim un a , un 0 ,a 0 u 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với q 1. lim S lim 1 n 1 q 5. Dãy số dần tới vô cực: a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực un khi n dần tới vơ cực n nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)= hay un khi n . b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là khi n nếu lim un .Ký hiệu: lim(un)= hay un khi n . c) Định lý: * 1 o Nếu : lim un 0 un 0 ,n ¥ thì lim un 1 o Nếu : lim un thì lim 0 un B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: GV : Nguyễn Thị Thắm 4
5. Trường THPT Thuận Thành số 2 SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt phần giới hạn P n 1. Giới hạn của dãy số (un) với u với P,Q là các đa thức: n Q n o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì rút k a0 n ra đơn giản và đi đến kết quả: lim un . b0 k o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì rút n ra đơn giản và đi đến kết quả : lim(un)=0. k o Nếu k = bậc P > bậc Q, rút n ra đơn giản và đi đến kết quả : lim(un)= . f n 2. Giới hạn của dãy số dạng: u , f và g là các biển thức chứa căn. n g n o Rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả với k chọn thích hợp. o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. C. CÁC VÍ DỤ: 2 2 5 2 5 2 n 3 + + 2 3 + + 3n + 2n + 5 n n 2 3 1. lim = lim lim n n = 7n 2 + n - 8 1 8 1 8 7 2 7 + - n 7 + - 2 2 n n n n 1 n 1 + + 4 1 2 1 + + 4 2. n 2 + 1 + 4n n 2 1 + 4 5 lim = lim = lim n = = 3n - 2 2 2 3 3 n 3 - 3 - n n 2 2 n + 2n + 3 - n n + 2n + 3 + n n 2 + 2n + 3 - n 2 3. lim n 2 + 2n + 3 - n = lim = lim n 2 + 2n + 3 + n n 2 + 2n + 3 + n 3 3 n 2 + 2 + 2n + 3 n 2 = lim = lim = lim n = = 1 n 2 + 2n + 3 + n 2 3 2 3 1+ 1 n 1+ + + 1 1+ + + 1 2 n 2 n n n Chú ý : n2 + 2n+3 + n là biểu thức liên hợp của n2 + 2n+3 - n Bài 1. Tính các giới hạn sau: GV : Nguyễn Thị Thắm 5
6. Trường THPT Thuận Thành số 2 SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt phần giới hạn 7n2 -3n 2n2 1 3n a. Lim 2 b. Lim 2 . c. Lim 2 d. Lim n 2 n 2 n 1 2n 1 Bài giải: n n 1 a. Lim Lim Lim 1. n 1 1 1 n 1 1 n n 2n 2 2 b. Lim Lim 2 . 2 2 2 1 n 1 2 2 n n 2 1 1 n 2 2 c. 1 n n . Lim 2 Lim Lim 0 n 1 2 1 1 n 1 2 1 2 n n d. 3n 3n 3 3 . Lim Lim Lim 2n 1 1 1 2 n 2 2 n n Bài 2. Tính các giới hạn sau: 3n-1 n2 2 n 3 2n n 3 a. Lim b. Lim c. Lim 2 2 2n 1 2n n n n n 1 n 1 2n 1 7n2 -3n 6n3 -2n 1 d. Lim . e. Lim 2 f. Lim 3 3n 2 n 3 n 2 2n n 1 Bài 3. Tính các giới hạn: 1 2n 3n 4n a. Lim n2 n 1 n b. Lim c. Lim n n n 1 2 3.4 2 Bài giải. 2 2 n n 1 n n n 1 n n 1 a. Lim n 2 n 1 n Lim Lim n 2 n 1 n n 2 n 1 n 1 1 n 1 1 n n 1 Lim Lim 1 1 1 1 2 n 1 2 1 1 2 1 n n n n GV : Nguyễn Thị Thắm 6
7. Trường THPT Thuận Thành số 2 SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt phần giới hạn 2 2 n n n n n n n b. Lim n 2 n n Lim Lim 2 n 2 n n n n n n 1 1 Lim Lim 1 1 2 n 1 1 1 1 n n BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Tính các giới hạn sau: 3n2 + 5n + 4 6 + 3n - n2 2n3 - 4n2 + 3n +7 1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 2 - n2 3n2 + 5 n3 -7n + 5 2n5 - 6n + 9 2n3 1 - 5n2 n3 3n2 4)lim 5 ; 5)lim 2 + ; 6)lim 2 - ; 1 - 3n 2n + 3 5n +1 n +1 3n +1 n2 - n + 3 -2n2 + n + 2 n3 - n2 sinn - 1 7)lim ; 8)lim ; 9)lim ; n3 + 3n 3n4 + 5 2n4 - n2 +7 1+ 4n + 9n2 2n2 - n + 4 n4 - 2n + 3 10)lim ; 11)lim ; 12)lim 2 ; 1 - 2n 2n4 - n2 +1 -2n + 3 2n2 - 1 n6 + 3n2 - 3 4n - 1 13)lim ; 14)lim ; 15) lim ; 1 - 3n2 2n6 + n5 - 2 n +1 n n - 1 (2n 1)(n 2) 5n2 5n 1 16)lim ; 17)lim ; 18) lim ; 3n2 + 2 2n2 3n 1 (5n 2)(n 4) (n2 n)(2n 1) 2n n 1 2 n3 3n 5 19)lim ; 20)lim ; 21)lim ; n3 3n 1 n2 n 3 7n2 6n 9 1 3 n3 n2 1 3n n2 n 2 n2 3 4n2 1 22)lim ; 23)lim 2 ; 24)lim . 2n 3 n n 1 3 27n3 n 3 Bài 2. Tính các giới hạn: 3n2 +1 - n2 -1 2n2 +1 - n2 +1 1)lim n2 +n - n ; 2)lim ; 3)lim ; n n+1 4)lim n2 +1 - n2 -1 ; 5)lim( n2 +n - n2 +1 ); 7)lim n -1( n+2 - n ); 1 7)lim ; 8)lim 3 n3 - 2n2 - n ; 9)lim 3 n2 - n3 +n . n n+1 - n -1 PHẦN II. GIỚI HẠN HÀM SỐ: A.KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới * hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn K và xn a ,n ¥ mà lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim f x L . x a GV : Nguyễn Thị Thắm 7
8. Trường THPT Thuận Thành số 2 SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt phần giới hạn 2. Một số định lý về giới hạn của hàm số: a. Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất. b. Định lý 2:Nếu các giới hạn: lim f x L , lim g x M thì: x a x a lim f x g x lim f x lim g x L M x a x a x a lim f x .g x lim f x .lim g x L.M x a x a x a f x lim f x L lim x a , M 0 x a g x lim g x M x a lim f x lim f x L ; f x 0,L 0 x a x a c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x) f(x) h(x) x K,x a và lim g x lim h x L lim f x L . x a x a x a 2. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có lim[f(xn)]= thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: lim f x . x a b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu: lim f x L . x c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a n ¥ * , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu : lim f x . Nếu x a * chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a n ¥ thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: lim f x x a B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau: f x 0 1. Giới hạn của hàm số dạng: lim x a g x 0 GV : Nguyễn Thị Thắm 8