Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác tính ưu việt trong việc vẽ tam giác đều để giải bài toán tính số đo góc

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác tính ưu việt trong việc vẽ tam giác đều để giải bài toán tính số đo góc

1. Phần I đặt vấn đề I. Lý do và mục đích chọn đề tài : 1/ Lý do : Đứng trước yêu cầu của công cuộc đổi mớí, giáo dục phải luôn đi trước một bước, vì thế đòi hỏi ngành giáo dục nói chung và mỗi thầy cô giáo nói riêng phải gánh vác một trọng trách hết sức nặng nề. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại xứng đáng với vị trí của nó trong xã hội thì các nhà giáo dục phải đổi mới và đề ra những định hướng kịp thời. Trong quá trình giáo dục thì việc luôn phấn đấu, tìm tòi, đổi mới phương pháp giảng dạy, nâng cao hiệu suất giờ lên lớp. Có làm được như vậy mới nâng cao được chất lượng đào tạo, gây uy tín với HS, củng cố niềm tin đối với phụ huynh học sinh và toàn xã hội. Là một giáo viên toán trường THCS, tôi thấy Hình học 7 là bộ môn kế tiếp của Hình học 6, nó là cơ sở lý luận cho các em học hình học ở các lớp sau. Do đó việc dạy hình học ở lớp 7 có một vị trí đặc biệt quan trọng trong quá trình dạy Toán ở trường phổ thông. Trong những năm qua tôi đã đặt ra cho mình những câu hỏi, những trăn trở để từ đó tìm hiểu, nghiên cứu rút ra phương pháp giảng dạy thích hợp. Trong chương trình Hình học 7, tuy là môn học vẫn còn mới mẻ đối với HS, nhưng vẫn có những bài tập khó mà các em còn lúng túng khi tìm hướng giải. Qua nhiều năm giảng dạy và nhất là công tác bồi dưỡng HS giỏi tôi đã hệ thống được ba loại bài tập khó đối với HS như sau : 1 - Loại bài tập có thể “nhìn thấy” được kết quả hoặc hướng chứng minh nhưng rất khó trình bày để đi đến kết quả đó. 2 - Loại bài tập có đầu bài rất rích rắc, phức tạp, khó hiểu. 3 - Loại bài tập có đầu bài rất tường minh, ngắn gọn nhưng khó giải vì có quá ít dữ kiện. Đối với mỗi loại bài tập nói trên, người dạy phải định ra cho HS hướng giải quyết như thế nào cho phù hợp. ở đây tôi chỉ xin đề cập đến một phần của cách giải quyết loại bài tập thứ 3 : Loại bài tập có đầu bài rất tường minh, ngắn gọn nhưng khó giải vì có quá ít dữ kiện. Loại bài tập này đòi hỏi HS phải biết tạo ra các dữ kiện mới bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ. Nhưng thực tế, việc định hướng để xác định xem phải vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào cho hợp lý thì HS còn gặp nhiều khó khăn mà đây là một vấn đề mà giáo viên phải hình thành cho HS ngay từ lớp 7 để các em phát triển được tư duy hình học của mình. Vì vậy, trong quá trình nghiên cứu, tìm tòi và bồi dưỡng HS khá giỏi tôi đã rút ra được một chút ít kinh nghiệm về việc hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ cụ thể là vẽ thêm tam giác đều để giải một số bài toán về tính độ lớn của góc. 1
2. Đó chính là lý do mà tôi chọn chuyên đề : "Khai thác tính ưu việt trong việc vẽ tam giác đều để giải bài toán tính số đo góc". 2/ mục đích : Tôi nghiên cứu, viết chuyên đề này hy vọng giúp các em HS lớp 7 (đặc biệt là HS khá giỏi) có phương pháp và hướng để giải các bài toán hình học. Đồng thời qua chuyên đề này các em được hình thành, rèn luyện, củng cố kiến thức kỹ năng vẽ hình, kỹ năng trình bày một bài tập hình học. Giúp HS mở mang tầm hiểu biết thực tiễn của mình, giúp giáo dục tư tưởng đạo đức và rèn phong cách làm việc của người lao động mới : Có kế hoạch, có định hướng hợp lý trước khi làm bất kỳ công việc nào đó. II. Phạm vi áp dụng : Chuyên đề này cho các thầy cô đang dạy ở trường THCS ; Cho các em HS lớp 7, đặc biệt là đối với HS khá giỏi ; Các bậc phụ huynh cũng có thể sử dụng để là tài liệu tham khảo. Chuyên đề nhằm giúp hướng dẫn HS vẽ những yếu tố phụ "tam giác đều" để giải một số bài toán về tính số đo góc trong hình học 7. III. phương pháp nghiên cứu : - Nghiên cứu lý thuyết. - Phân tích tổng hợp. - Thực nghiệm. Phần II giải quyết vấn đề I. Cơ sở lý luận : 1) Vai trò của việc hướng dẫn HS giải bài tập hình học : Hướng dẫn HS giải bài tập hình học là phương tiện rất hiệu lực để thực hiện mục đích việc dạy học toán ở trường phổ thông. Củng cố, ôn tập , khắc sâu, hệ thống hoá kiến thức và mở rộng các kiến thức, rèn kỹ năng vẽ hình, kỹ năng trình bày, kỹ năng tính toán, vận dụng các kiến thức vào thực tế và các môn học khác, rèn tính tích cực học tập của học sinh. Vì vậy đứng về phương diện điều khiển hoạt động của HS, bài tập hình học là phương tiện kiểm tra kiến thức và kỹ năng của HS. 2) Phương pháp hướng dẫn HS vẽ yếu tố phụ "tam giác đều" để giải các bài toán về tính số đo góc : Đối với các bài tập về tính số đo góc, trước tiên ta cần hướng dẫn HS chú ý đến những tam giác chứa góc có số đo xác định như : - Tam giác cân có một góc xác định. - Tam giác đều. - Tam giác vuông cân. - Tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền Sau đó hướng dẫn HS nghĩ đến việc tìm số đo của góc cần tìm thông qua mối liên hệ với các góc của một trong các hình chứa góc có số đo hoàn toàn xác định nêu trên (Thường là đi với mối liên hệ bằng nhau của tam giác rồi rút ra góc tương ứng của chúng bằng nhau). 2
3. II. Nội dung : 1- Ví dụ 1 : A Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc ở đáy bằng 800. Trên AB lấy D sao cho AD = BC. Tính số đo góc ACD . * Hướng giải quyết: Giáo viên có thể gợi ý cho các em đi tìm mối liên hệ giữa các góc của tam giác ABC. Có thể các em sẽ phát hiện D thấy (hoặc giáo viênchỉ ra): tam giác cân ABC đã cho có góc 800, 800, 200. Mà 800 - 200 = 600 chính là các góc của tam giác đều. Từ đó hướng dẫn học sinh thử đi vẽ thêm một tam giác đều nào đó, xem có nhận thấy điều gì không? Từ sự gợi ý trên, đa số học sinh đều làm theo cách sau: 0 - Cách 1: B 80 C Vẽ tam giác đều BEC nằm trong tam giác ABC để tạo ra A Eã CA 200 À EC DA Khi đó ∆ ECA = ∆ DAC (c.g.c) vì: AC chung ã à ECA A D 1 Ã CD Eã AC Bã AC (1) ⇒ 2 E Mà ∆ ABE = ∆ ACE (c.c.c) AB AC ã ã vì : AC chung BAE EAC 2 800 ⇒ B C ã à ECA A A ã 1 ã 0 Từ (1) và (2) ⇒ ACD BAC 10 2 E Cũng có một số em làm theo cách: - Cách 2: Vẽ tam giác đều EAD nằm ngoài tam giác ABC, tạo ra D Eã AC 800 B AE BC Khi đó ∆ EAC = ∆ CBA (c.g.c) vì: AC AB ? ã à 1 EAC E ã ã 800 ⇒ CE = CA Và ECA BAC B C DA DE à à 1 ã 1 ã 0 Do đó ∆CDA = ∆CDE (c.c.c) vì: AC chung C1 C2 ECA BAC 10 2 2 CA CE 3
4. Sau khi phân tích, hướng dẫn học sinh làm hai cách trên, có thể hướng dẫn học sinh làm thêm theo cách sau: * Cách 3 : A Vẽ tam giác đều EAC nằm ngoài tam giác ABC, tạo Dã AE 800 B 1 Khi đó ∆DAE = ∆CBA (c.g.c) vì : 1 E AE BA D 2  Dã AE B AD BC à à 0 à o E1 = A1 = 20 A1 20 ? Vậy ∆ DEC cân tại đỉnh E và có góc ở 800 à 0 0 0 B C đỉnh E2 60 20 40 Góc đáy Eã CD = (1800 - 400) : 2 = 700 Do đó Dã CA Dã CE à CE = 700 - 600 = 100 A * Cách 4 : 1 Vẽ ∆ đều ABE (E,C nằm cùng phía đối với AB) tạo ra Cã BE 200 À Khi đó ∆ CBE = ∆ DAC (c.c.c) vì : D AB AD à à BE AC C1 E1 E ã ã 1 CBE BAC ? 1 Vậy để tìm Cà 1 ta chỉ cần tính Eà 1 800 Dễ thấy ∆ AEC cân tại A vì có góc ở B C đỉnh À = 600 - 200 = 400 0 0 0 0 Góc ở đáy à EC = (180 - 40 ) : 2 = 70 Mà góc Eà 2 = 60 (góc trong tam giác à 0 0 0 ã 0 đều) Góc E1 = 70 - 60 = 10 ACD 10 ở ví dụ này đề bài cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là : AB = AC ; AD = BC. Như vậy có thể giải bằng 4 cách : Vẽ tam giác đều có một cạnh là AC ; vẽ tam giác đều có một cạnh là AB ; vẽ tam giác đều có một cạnh là BC ; rồi AD. Qua ví dụ bước đầu các em đã định hình được phương pháp vẽ tam giác đều và các cách triển khai theo phương pháp đó. 2) Ví dụ 2 : Cho ∆ ABC vuông, cân tại A, điểm E nằm trong tam giác sao cho ã ã 0 ã EAC ECA 15 . Tính AEB . * Hướng dẫn : 4
5. Cũng như ở ví dụ 1. ở ví dụ này các em sẽ sớm B phát hiện thấyBã AE 750, à EC 150 mà 750 - 150 = 600 là góc của tam giác đều (Cũng có em nhận xét : Bã CA 450, Eã CA 150 và 450 + 150 = 600). Còn đối với những em chưa xác định được điều gì E ta cũng gợi ý, hướng dẫn các em tính số đo các góc ? 150 150 trong bài rồi tìm mối liên quan giữa các góc đó. Từ A C đó có thể hướng dẫn các em các cách vẽ thêm tam giác đều như sau : B * Cách 1 : Vẽ tam giác đều AKE nằm trong tam giác ABE tạo ra Bã AK 150 Eã AC Khi đó : AB AC 1 2 K ã ã ∆ BAK = ∆CAE (c.g.c) vì : BAK EAC ? E AK AE 150 150 A C ∆ ABK cân tại K và có góc ở đáy bằng 150 à 0 0 0 à 0 0 K1 180 2.15 150 K2 360 150 60 150 AK AE ã 0 à à Mà AKE = 60 ∆ AKB = ∆ EKB (c.g.c) vì : K1 K2 BK chung Bã EK Bã AK 150 à EB = 150 + 600 = 750 * Cách 2: Vẽ tam giác đều KCE nằm phía ngoài ∆ B AEC, tạo ra à CK 750 Bã AE Khi đó ∆ KCA = ∆ AEB (c.g.c) CK AE K vì : à KC Bã AE Bã AE à KC ? E AC AB 1 0 0 A 15 15 0 0 0 0 C Lại có Eà 1 180 2.15 150 ; Eà 2 60 à EK = 3600 - (1500 + 600) = 1500 EC EK ã ã ⇒ ∆ AEC = ∆AEK (c.g.c) vì : AEC AEK AE chung à EK à CE 150 à KC = 150 + 600 = 750 à EB = 750 5
6. * Cách 3: B Vẽ tam giác đều AKB (K, C nằm cùng phía đối với AB) tạo ra à EK 150 Eã AC Khi đó : ∆ EAC = ∆ EAK (c.g.c) vì : AC AK K ã ã EAC EAK ⇒EK = EC E ? AE chung 150 150 A C AB AK ã ã Vậy ∆ ABE = ∆ KBE (c.c.c) vì : AE EK ABE KBE BE chung ã 0 ã 0 Như vậy ∆ BEA có ABE = 30 ; BEA = 75 . Hoặc ∆ AKC cân tại A có góc ở đỉnh 0 ã ã 0 0 0 ã 0 ã 0 bằng 30 ⇒ ACK = AKC = (180 - 30 ) : 2 = 75 mà EAC = 15 ⇒ ECK = 60 Vậy ∆ ACK đều ⇒ KC = EC = AE ⇒ ∆ ABE = ∆ CAK (c.g.c) ã ã ã ã 0 vì : AB AC ; AE KC ; BAE ACK ⇒ AEB AKC = 75 * Cách 4 : Vẽ tam giác đều ACK ra phía ngoài ∆ B ABC tạo ra Eã AK 750 à EB AB AK Khi đó ∆ BAE = ∆ KAE (c.g.c) vì : AE chung ã ã BAE KAE ? E à à 1 2 Mà E1 E2 vì ∆ AEK = ∆ CEK (c.c.c) A C à 1 ã 1 0 0 ⇒ E1 AEC .150 75 2 2 * Cách 5: Vẽ tam giác đều AKC “trùm” lên ∆ EAC, tạo ra Kã CB 150 Eã CA . Từ K kẻ tia KM sao cho Mã KC = 15o K thì ∆ MKC = ∆ EAC (g.c.g) vì: B Kã CM Eã CA K KC AC ⇒ KM = AE ã ã 0 MKC EAC 15 M Mặt khác ∆ ABK cân tại A có góc tại đỉnh bằng 30o E góc ở đáy bằng 75o. ? ⇒ 150 150 A C 6
7. ã o o o ã Do đó KBM = 75 - 45 = 30 = KMB ⇒ ∆ KMB cân tại K ⇒ KB = KM = AE AB chung ã ã 0 Vậy ∆ ABE = ∆ BAK (c.g.c) vì: AE BK AEB ABK 75 ã ã 0 ABK BAE 75 ở ví dụ này đầu bài cũng cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là: AB = AC; EA = EC. Do vậy cũng có thể giải bài toán đó theo các cách: Vẽ tam giác đều có một cạnh là AE; hoặc EC; hoặc AC. Như vậy với sự gợi ý, hướng dẫn của giáo viên, học sinh đã biết phân tích đầu bài, tìm được mối liên hệ giữa các dữ kiện của giả thiết, từ đó định hướng được cách giải. Đó chính là thành công của người thày. Và điều quan trọng nữa là khi hướng dẫn học sinh triển khai một bài toán theo nhiều cách khác nhau, giáo viên đã tạo cho học sinh óc quan sát nhạy bén, linh hoạt và cũng làm cho tư duy hình học của các em được phát triển hơn. 3. Ví dụ 3: Cho tam giác cân ABC có đáy BC, góc ở đáy bằng A 50o. Lấy điểm K trong tam giác, sao cho ? ã 0 ã 0 KBC 10 ; KCB 30 . Tính số đo các góc của ∆ ABK. * Hướng giải quyết: ? K o o o ABK có: Ã BK = 50 - 10 = 40 ? ∆ 0 300 B 10 C Vậy chỉ còn phải tính hai góc còn lại là: Bã AK và ã BKA . Xem xét đầu bài ta thấy ∆ ABC có các góc 50o, 50o, 80o Kã BC 100 ; Ã BC 500 mà 50o + 10o = 60o chính là góc của tam giác đều. Từ đó có thể giải bài toán trên theo cách sau (học sinh tìm ra hoặc giáo viên gợi ý): * Cách 1: E ã 0 ã 1 2 Vẽ ∆ đều BCE “trùm” lên ∆ ABC, tạo ra ABE 10 KBC A AE chung ? Dễ thấy ∆ EAB = ∆ EAC (c.c.c) vì: AB AC 100 EB EC 0 ? K Eà 1 Eà 2 30 ? 0 0 B 100 30 C Eà 1 Kã CB 30 Khi đó ∆ ABE = ∆ KBC (g.c.g) vì: BE BC ã ã EBA KBC ã o AB KB ⇒ AB = KB. Do đó ∆ ABK cân tại B có góc ở đỉnh ABK = 40 ã ã o o o ⇒BAK BKA = (180 - 40 ) : 2 = 70 o o o Vậy các góc của ∆ ABK là 40 ; 70 ; 70 . 7