Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác một bài toán trong sách giáo khoa Toán 8

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác một bài toán trong sách giáo khoa Toán 8

1. Khai thác một bài tập trong sách giáo khoa Toán 8 I. Đặt vấn đề 1. Lý do chọn SK và giải pháp thực hiện. a. Cơ sở lý luận: “Hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trên cơ sở những kiến thức Toán học được tích luỹ có tính hệ thống”. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được thống nhất theo tư tưởng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên: Học sinh tự giác chủ động tìm tòi, phát hiện và có ý thức vận dụng linh hoạt sáng tạo các kiến thức đã thu nhận được. Trong học toán và giải toán việc tìm thêm những lời giải khác của một bài toán nhiều khi đi đến những điều rất thú vị. Ngay khi lời giải mà ta đã tìm được là đã tốt rồi thì tìm được lời giải khác vẫn có lợi. Để đạt được điều đó thì việc gây hứng thú học tập cho học sinh cũng góp một phần quan trọng. Việc giải một bài toán bằng nhiều cách khác nhau không những giúp học sinh củng cố các kiến thức liên quan mà còn kích thích sự hứng thú của các em trong quá trình tìm tòi sáng tạo. b. Cơ sở thực tiễn: Trong giảng dạy hiện nay đại đa số giáo viên và học sinh khi giải toán thường là chỉ có kết quả đúng là đủ ít khi quan tâm đến bài tập này có bao nhiêu cách giải khác nhau, cách giải nào ngắn gọn nhất? Hay nhất? Sáng tạo nhất? Các em học sinh không chịu tìm tòi các cách giải khác nhau cho cùng một bài toán, không chịu suy nghĩ học hỏi thêm, hay bắt trước dập khuôn một cách máy móc. Không phát huy được khả năng tư duy toán học, kết quả học tập không cao. Nhận thấy được điều đó bản thân tôi trong những năm gần đây khi giảng dạy cho học sinh tôi thường xuyên hướng dẫn cho các em tìm nhiều lời giải cho một bài toán, mỗi khi giải xong bài, tôi lại hỏi: “Em nào còn cách giải khác không?”. Chính vì vậy mà tôi chọn vấn đề: “Khai thác một bài toán trong sách giáo khoa toán 8” để nghiên cứu. 2. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu. Trong sách giáo khoa toán 8 tập 1 giới thiệu 3 phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử. Đó là phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức và phương pháp nhóm hạng tử. Tuy nhiên trong phần bài tập lại có những bài không thể áp dụng ngay ba phương pháp trên để giải mà phải “Tách” hạng tử. 3. Phương pháp nghiên cứu. Trong quá trình thực hiện tôi đã vận dụng một số phương pháp sau: 1
2. Khai thác một bài tập trong sách giáo khoa Toán 8 - Phương pháp thực nghiệm: Khảo sát đối tượng, tham khảo tài liệu. - Vận dụng kinh nghiệm đã đúc rút. - Tổng hợp theo dõi, đối chiếu kết quả 4. Mục tiêu của SK và giải pháp thực hiện. a. Qua quá trình thực hiện giúp học sinh vận dụng một số kiến thức đã học vào bài tập. - Phương pháp đặt nhân tử chung. - Phương pháp nhóm các hạng tử. - Phương pháp dùng hằng đẳng thức. - Sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. - Phép nhân và phép chia đa thức b. Rèn cho học sinh các kỹ năng sau: - Kỹ năng tìm ra các nhân tử chung. - Kỹ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học vào việc phân tích đa thức thành nhân tử. - Kỹ năng biến đổi đa thức để xuất hiện nhân tử chung. - Kỹ năng phân tích hạng tử thành tích. - Kỹ năng tư duy sáng tạo, độc lập suy nghĩ. - Kỹ năng tìm nhiều lời giải hay II. Nội dung. A. Bài toán: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. Ví dụ 1: x2 – 3x + 2 * Hướng dẫn học sinh tìm các cách giải bài toán trên. ở bài toán này học sinh sẽ thấy là không có nhân tử chung. Không có dạng hằng đẳng thức hoặc không nhóm các hạng tử được. Vậy thì làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung? Chúng ta có thể “Tách ” hạng tử bằng cách có thể như sau: - Để chia nhóm ta có thể tách 1 hạng tử thành 2 hạng tử để thành 4 hạng tử và như vậy ta sẽ chia thành 2 nhóm sẽ xuất hiện nhân tử chung. - Có thể hướng dẫn học sinh giải theo cách sau: 2
3. Khai thác một bài tập trong sách giáo khoa Toán 8 a. Tách một hạng tử: * Cách 1: x2 – 3x + 2 = x2 – x –2x +2 = (x2 – x) – (2x – 2) = x (x – 1) – 2 (x – 1) = (x – 1) (x –2) 9 1 * Cách 2: x2 – 3x + 2 = x2 – 3x + 4 4 = (x2 – 3x + 9 ) - 1 4 4 = (x - 3 )2 – ( 1 )2 2 2 = (x - 3 + 1 ) (x - 3 - 1 ) 2 2 2 2 = (x – 1) (x – 2) * Cách 3: x2 – 3x + 2 = x2 – 3x +3 – 1 = (x2 – 1) – (3x – 3) = (x + 1) (x – 1) –3(x – 1) = (x – 1) (x + 1 – 3) = (x – 1) (x – 2) * Cách 4: x2 – 3x + 2= x2 – 3x + 6 – 4 = (x2 – 4) – (3x – 6) = (x – 2) (x + 2) – 3(x – 2) = (x – 2) (x + 2 – 3) = (x – 2) (x – 1) * Cách 5: x2 – 3x + 2= 3x2 – 2x2 – 3x + 2 = (3x2 – 3x) – (2x2 – 2) = 3x(x – 1) – 2(x2 – 1) = 3x(x – 1) – 2(x – 1) (x + 1) = (x – 1) (3x – 2x – 2) = (x – 1) (x – 2) b. Tách hai hạng tử: Có thể hướng dẫn học sinh giải theo cách tách 2 hạng tử để chia thành 2 nhóm trong đó có 1 nhóm được viết dưới dạng hằng đẳng thức và 1 nhóm thì sẽ xuất hiện nhân tử chung, theo các cách sau: * Cách 6: x2 – 3x + 2= x2 – 2x – x + 1 + 1 = (x2 – 2x + 1) – (x – 1) = (x – 1)2 – (x – 1) = (x – 1) (x – 1 – 1) = (x – 1) (x – 2) * Cách 7: x2 – 3x + 2= x2 – 4x + x + 4 – 2 = (x2 – 4x + 4) + (x – 2) = (x – 2)2 + (x – 2) = (x – 2) (x – 2 + 1) = (x – 2) (x – 1) c. Tách ba hạng tử. Có thể tách cả 3 hạng tử để chia thành 3 nhóm mà mỗi nhóm đều có nhân tử chung như cách sau: * Cách 8: x2 – 3x + 2= 3x2 – 2x2 – 6x + 3x + 8 – 6 = (3x2 – 6x) – (2x2 – 8) + (3x – 6) 3
4. Khai thác một bài tập trong sách giáo khoa Toán 8 = 3x(x – 2) – 2(x2 – 4) + 3(x – 2) = 3x(x – 2) – 2(x – 2) (x + 2) + 3(x – 2) = (x – 2) (3x – 2x – 4 + 3) = (x – 2) (x – 1) Ví dụ 2: x2 + x – 6 Tương tự như vậy ở ví dụ 2 giáo viên cũng có thể hướng dẫn giải theo các cách tách 1 hạng, tách 2 hạng tử hoặc tách 3 hạng tử, theo các cách sau: * Cách 1: x2 + x – 6 = x2 + 3x – 2x – 6 = (x2 +3x) – (2x + 6) = x(x + 3) – 2(x + 3) = (x + 3) (x – 2) 1 25 * Cách 2: x2 + x – 6 = x2 + x + 4 4 = (x2 +x + 1 ) - 25 4 4 = (x + 1 )2 – ( 5 )2 2 2 = (x + 1 - 5 ) (x + 1 + 5 ) 2 2 2 2 = (x – 2) (x + 3) * Cách 3: x2 + x – 6 = x2 + x – 2 – 4 = (x2 – 4) + (x – 2) = (x – 2) (x + 2) + (x – 2) = (x – 2) (x + 2 + 1) = (x – 2) (x + 3) * Cách 4: x2 + x – 6 = x2 + x – 9 + 3 = (x2 – 9) + (x + 3) = (x – 3) (x + 3) + (x + 3) = (x + 3) (x –3 + 1) = (x – 2) (x + 3) * Cách 5: x2 + x – 6 = x2 - 4x + 4 + 5x – 10 = (x2 - 4x + 4) + (5x – 10) = (x – 2)2 + 5(x – 2) = (x – 2) (x – 2 + 5) = (x – 2) (x + 3) Ví dụ 3: x2 + 5x + 6 - ở bài tập này giáo viên cũng có thể hướng cho học sinh giải theo nhiều cách như sau: * Cách 1: x2 + 5x + 6= x2 + 3x + 2x + 6 = (x2 + 3x) + (2x + 6) = x (x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3) (x + 2) * Cách 2: x2 + 5x + 6= x2 + 5x + 10 – 4 = (x2 – 4) + (5x + 10) = (x + 2) (x – 2) + 5(x + 2) = (x + 2) (x – 2 + 5) = (x + 2) (x + 3) * Cách 3: x2 + 5x + 6= x2 + 5x – 9 + 15 4
5. Khai thác một bài tập trong sách giáo khoa Toán 8 = (x2 - 9) + (5x + 15) = (x – 3) (x + 3) + 5(x + 3) = (x + 3) (x – 3 + 5) = (x + 3) (x + 2) 25 1 * Cách 4: x2 + 5x + 6= x2 + 5x + 4 4 = (x2 + 5x + 25 ) - 1 4 4 = (x + 5 )2 – ( 1 )2 2 2 = (x + 5 - 1 ) (x + 5 + 1 ) 2 2 2 2 = (x + 2) (x + 3) * Cách 5: x2 + 5x + 6= x2 + 4x + x + 4 + 2 = (x2 + 4x + 4) + (x + 2) = (x + 2)2 + (x + 2) = (x + 2) (x + 2 + 1) = (x + 2) (x + 3) * Cách 6: x2 + 5x + 6= x2 + 6x – x + 9 – 3 = (x2 + 6x + 9) – (x + 3) = (x + 3)2 – (x + 3) = (x + 3) (x + 3 – 1) = (x + 3) (x + 2) Ví dụ 4: x2 - 4x + 3 * Cách 1: x2 - 4x + 3 = x2 - 3x – x + 3 = x(x – 3) – (x –3) = (x – 3) (x – 1) * Cách 2: x2 - 4x + 3 = x2 – 4x + 4 – 1 = (x2 – 1) – (4x – 4) = (x2 – 1) – 4(x – 1) = (x – 1) (x + 1) – 4(x – 1) = (x – 1) (x + 1- 4) = (x – 1) (x – 3) * Cách 3: x2 - 4x + 3 = x2 – 4x + 4 – 1 = (x – 2)2 - 12 = (x – 2 – 1) (x – 2 + 1) = (x – 3) (x – 1) * Cách 4: x2 - 4x + 3 = 4x2 – 3x2 – 4x + 3 = 4x(x – 1) –3(x – 1) (x + 1) = (x – 1) (4x – 3x – 3) = (x – 1) (x – 3) * Cách 5: x2 - 4x + 3 = x2 - 4x + 9 = x2 – 2x + 1 – 2x + 2 = (x – 1)2 – 2(x – 1) = (x – 1) (x – 1 – 2) = (x – 1) (x – 3) * Cách 6: x2 - 4x + 3 = x2 – 6x + 9 + 2x – 6 = (x – 3)2 + 2(x – 3) = (x – 3) (x – 3 + 2) 5
6. Khai thác một bài tập trong sách giáo khoa Toán 8 = (x – 3) (x – 1) Ví dụ 5: x2 + 5x + 4 * Cách 1: x2 + 5x + 4 = x2 + 4x + x + 4 = x(x + 4) + (x + 4) = (x + 4) (x + 1) * Cách 2: x2 + 5x + 4 = x2 + 5x + 5 – 1 = (x2 – 1) + (5x + 5) = (x – 1) (x + 1) + 5(x + 1) = (x + 1) (x – 1 + 5) = (x + 1) (x + 4) * Cách 3: x2 + 5x + 4 = x2 + 5x + 25 - 9 4 4 = (x + 5 )2 –( 3 )2 2 2 = (x + 5 – 3 ) (x + 5 + 3 ) 2 2 2 2 = (x + 1) (x + 4) * Cách 4: x2 + 5x + 4 = x2 + 5x + 5 – 1 = (x2 – 1) + 5(x + 1) = (x + 1) (x – 1 + 5) = (x + 1) (x + 4) * Cách 5: x2 + 5x + 4 = 5x2 – 4x2 + 5x + 4 = 5x(x + 1) – 4(x2 – 1) = 5x(x + 1) – 4(x – 1) (x – 1) = (x + 1) (5x – 4x + 4) = (x + 1) (x + 4) * Cách 6: x2 + 5x + 4 = x2 + 2x + 1 + 3x + 3 = (x + 1)2 + 3(x + 1) = (x + 1) (x + 1 + 3) = (x + 1) (x + 4) Ví dụ 6: x2 – 8x + 12 - ở bài toán này giáo viên sẽ hướng dẫn học sinh giải theo nhiều cách: * Cách 1: x2 – 8x + 12 = x2 – 2x – 6x + 12 = (x2 – 2x) – (6x – 12) = x(x – 2) – 6(x – 2) = (x – 2) (x – 6) * Cách 2: x2 – 8x + 12 = (x2 – 8x + 16) – 4 = (x – 4)2 – 22 = (x – 4 + 2) (x – 4 – 2) = (x – 2) (x – 6) * Cách 3: x2 – 8x + 12 = x2 – 36 – 8x + 48 = (x + 6) (x – 6) – 8(x – 6) = (x – 6) (x + 6 – 8) = (x – 6) (x – 2) * Cách 4: x2 – 8x + 12 = x2 - 4 – 8x + 16 = (x + 2) (x – 2) – 8(x – 2) = (x – 2) (x + 2 – 8) = (x – 2) (x – 6) 6
7. Khai thác một bài tập trong sách giáo khoa Toán 8 * Cách 5: x2 – 8x + 12 = x2 - 4x + 4 - 4x + 8 = (x – 2)2 – 4(x – 2) = (x – 2) (x – 2 – 4) = (x – 2) (x – 6) * Cách 6: x2 – 8x + 12 = x2 – 12x + 36 + 4x – 24 = (x – 6)2 + 4(x – 6) = (x – 6) (x – 6 + 4) = (x – 6) (x – 2) * Cách 7: x2 – 8x + 12 = 4x2 – 8x – 3x2 + 12 = 4x(x – 2) –3(x2 – 4) = 4x(x – 2) –3(x – 2) (x + 2) = (x – 2) 4x 3 x 2  = (x – 2) (x – 6) * Tổng quát: Để phân tích đa thức có dạng: x2 + px + q. Nếu ta tìm được 2 số a và b sao cho: a + b = p và ab = q thì ta có thể tách px = (a + b)x = ax + bx để có dạng hằng đẳng thức: x2 + px + q = x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b) Tóm lại: Tuỳ theo việc khai thác bài toán theo các góc độ khác nhau sẽ dẫn đến những cách giải khác nhau. Tuỳ thuộc vào trình độ kiến thức của từng khối lớp trong lớp học mà chúng ta vận dụng hướng dẫn học sinh giải bài tập cho phù hợp. Để phát huy năng lực tư duy sáng tạo của học sinh với những bài toán tương tự học sinh có thể giải bằng nhiều cách. B. Hiệu quả của SK và giải pháp thực hiện: Trong quá trình dạy học tôi luôn chú ý cho các em “Khai thác bài tập” để tìm nhiều lời giải cho một bài toán. Nhất là giờ luyện tập và giờ ôn tập. Đã có nhiều em học sinh tìm ra được những cách giải rất hay và độc đáo, các em chịu khó học hỏi hơn, chịu khó tìm tòi, khả năng tiếp thu và vận dụng của các em nhanh hơn, có kỹ năng trình bày toán học hơn. Kết quả cụ thể ở lớp 8 A: 37 học sinh. Giỏi Khá Trung bình Yếu Loại SL % SL % SL % SL % Đầu năm 4 10,8 10 27 17 46 6 16,2 Kỳ I 7 18,9 14 37,85 14 37,87 2 5,4 kỳ II 7