Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm khai thác kết quả của các bài toán

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm khai thác kết quả của các bài toán

1. “ Một số kinh nghiệm khai thác kết quả của Các bài toán” A. Đặt vấn đề : - Muốn nâng cao hiệu quả của các giờ lên lớp, người thầy giáo phải biết lựa chọn phương pháp thích hợp để kích thích tính tích cực, tư duy nâng cao nhận thức, thúc đẩy tính năng động sáng tạo và giải quyết tốt các vấn đề đặt ra. - Nhưng trong thực tế hiện nay, mỗi khi học xong một bài học giáo viên chỉ đưa ra các bài tập trong sách giáo khoa, học sinh biết giải các bài tập đó. Việc chỉ dừng lại và giải các bài tập đơn lẻ sẽ gây cho học sinh sự nhàm chán trong học toán đặc biệt là đối với môn đại số. Nếu áp dụng cách học này, học sinh không những không tiến bộ mà còn gây cho học sinh sự chán nản trong học toán, không kích thích được tính tò mò, tư duy sáng tạo cho học sinh, mỗi khi giáo viên đưa ra một bài toán mới thì học sinh không biết xuất phát từ đâu, cần vận dụng kiến thức nào nào để giải các bài tập đó. - Qua việc giảng dạy, dự giờ thăm lớp, bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm tôi nhận thấy rằng việc chọn các bài tập đưa ra cho học sinh làm phải xuất phát từ các bài tập đơn giản, hệ thống các bài tập đưa ra phải từ dễ đến khó , các bài tập phải có sự liên hệ kiến thức với nhau . Mỗi người giáo viên phải hướng dẫn học sinh cách tìm tòi, mở rộng, khai thác kết quả các bài toán đã học, đã giải sẽ giúp các em có cơ sở khoa học khi phân tích, phán đoán tìm tòi lời giải các bài toán khác một cách năng động hơn. Sau đây tôi xin nêu ra một số vấn đề mà tôi đã thực hiện trong các năm qua. B. Giải quyết vấn đề : I. Lí thuyết : - Trước khi tiến hành đề tài giáo viên cần nhắc lại cho học sinh một số kiến thức cơ bản cần nhớ để vận dụng vào làm các bài tập . 1. Học sinh phải nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ. a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 a2 b2 a b a b a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 1
2. a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 a b a2 ab b2 a3 b3 a b a2 ab b2 2. Học sinh phải nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 3. Học sinh phải nắm vững các tính chất sau a2 0 với  a R a b 2 0 với  a, b R II. Bài tập : Bài 1 : a/ Tìm x biết : x 1 2 0 b/ Tìm x; y biết : x 1 2 y 2 2 0 c/ Tìm x; y; z biết : x 1 2 y 2 2 z 3 2 0 d/ Tìm x; y; z biết : x2 2x y2 4y z2 6z 14 0 Bài giải : a/ Đối với câu a thì học sinh dễ dàng làm được Thông thường học sinh làm như sau : x 1 2 0 x 1 0 x 1 Nhưng giáo viên phải làm cho học sinh hiểu được cơ sở làm bài toán đó : Ta có : x 1 2 0 với mọi x R Dấu "=" xẩy ra x- 1 = 0 x = 1 Nếu ngay từ đầu người giáo viên rèn cho học sinh kỹ năng giải các bài toán này thì sẽ giúp cho học sinh giải quyết tốt các bài toán sau này 2 x 1 0 2 2 b/ Ta có : với mọi x, y R x 1 y 2 0 với mọi x, y R 2 y 2 0 2 x 1 0 x 1 0 x 1 Dấu "=" xẩy ra 2 y 2 0 y 2 y 2 0 c/ Tương tự ta có : x 1 2 y 2 2 z 3 2 0 với mọi x, y, z R 2
3. x 1 2 0 x 1 0 x 1 2 Dấu "=" xẩy ra y 2 0 y 2 0 y 2 z 3 2 0 z 3 0 z 3 d/ Đối với câu (d) thực chất là bài toán khai triển của câu (c) do đó giáo viên phải giúp học sinh nhận dạng và rèn cho học sinh kỹ năng biến đổi Ta có x2 2x y2 4y z2 6z 14 x 1 2 y 2 2 z 3 2 Do x 1 2 0 ; y 2 2 0 ; z 3 2 0 với x, y, z R x2 2x y2 4y z2 6z 14 x 1 2 y 2 2 z 3 2 0 x 1 2 0 x 1 0 x 1 2 Dấu “=” xẩy ra y 2 0 y 2 0 y 2 z 3 2 0 z 3 0 z 3 Bài 2: Cho đẳng thức : x2 y2 z2 xy yz xz 0 . Chứng minh rằng : x = y = z Bài giải : Ta có : 2(x2 y2 z2 xy yz xz) 0 2x2 2y2 2z2 2xy 2yz 2xz 0 (x2 2xy y2 ) (y2 2yz z2 ) (z2 2xz x2 ) 0 (x y)2 (y z)2 (z x)2 0 Do x y 2 0 ; y z 2 0 ; z x 2 0 với x, y, z R (x y)2 (y z)2 (z x)2 0 x y 2 0 x y 0 x y 2 Dấu “=” xẩy ra y z 0 y z 0 y z x y z z x 2 0 z x 0 z x Bài 3 : Cho x y z 2010 và x2 y2 z2 xy yz xz 0 ? Tìm x, y, z Bài giải : Theo Bài tập 2 ta có : x = y = z 2010 Mặt khác : x + y + z = 2010 x y z 670 3 Bài 4: Cho 3 số x, y, z thoả mãn : x2 2y 1 0 ; y2 2z 1 0 ; z2 2x 1 0 Tính : A = x2009 y2009 z2009 3
4. Bài giải : Ta có x2 2y 1 y2 2z 1 z2 2x 1 0 x 1 2 y 1 2 z 1 2 0 x 1 2 0 x 1 0 x 1 2 y 1 0 y 1 0 y 1 z 1 2 0 z 1 0 z 1 Thay x = -1 ; y = -1 ; z = -1 vào biểu thức A = x2009 y2009 z2009 Ta có A = 1 2009 1 2009 1 2009 3 Bài 5 : a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 y3 z3 3xyz b/ Cho x y z 0 . Hãy phân tích đa thức sau thành nhân tử x3 y3 z3 c/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a b 3 b c 3 c a 3 Bài giải : a/ ta có : x3 y3 z3 3xyz x3 3x2 y 3xy2 y3 z3 3x2 y 3xy2 3xyz (x y)3 z3 3xy(x y z) (x y z)[(x y)2 (x y)z z2 3xy] (x y z)(x2 y2 z2 xy xz yz) Từ câu a ta thấy nếu : x + y + z = 0 thì x3 y3 z3 3xyz =0 x3 y3 z3 3xyz Như vậy đối với câu b học sinh vận dụng kết quả của câu a sẽ làm được ngay b/ Do x y z 0 x3 y3 z3 3xyz =0 x3 y3 z3 3xyz c/ Đối với câu c nếu ta đặt : x = a - b ; y = b - c ; z = c - a x + y + z = 0 áp dụng kết quả của câu b ta có : x3 y3 z3 3xyz a b 3 b c 3 c a 3 3 a b b c c a Bài 6 : Giải phương trình : 4x 3 3 7x 5 3 3x 2 3 0 Bài giải : Ta sẽ hướng dẫn học sinh chuyễn phương trình đã cho về dạng: 4x 3 3 5 7x 3 3x 2 3 0 Nếu ta đặt : a = 4x - 3 ; b = 5 - 7x ; c = 3x - 2 thì ta có : a + b + c = 0 Do đó áp dụng kết quả câu (b) của bài tập 5 ta có 4
5. : a3 b3 c3 3abc 4x 3 3 5 7x 3 3x 2 3 3 4x 3 5 7x 3x 2 Mà 4x 3 3 5 7x 3 3x 2 3 0 3 4x 3 5 7x 3x 2 0 3 x 4 4x 3 0 4x 3 5 5 7x 0 7x 5 x 7 3x 2 0 3x 2 2 x 3 x y z 1 Bài 7 : Cho 3 3 3 . ? Tìm x, y, z x y z 3xyz 0 Bài giải : Ta có x3 y3 z3 3xyz 0 x3 3x2 y 3xy2 y3 z3 3x2 y 3xy2 3xyz 0 x y 3 z3 3xy x y z 0 x y z x y 2 x y z z2 3xy x y z 0 x y z x y 2 x y z z2 3xy 0 x y z x2 y2 z2 xy xz yz 0 x2 y2 z2 xy yz xz 0 x y 2 y z 2 x z 2 0 x y 2 0 x y 0 x y 2 y z 0 y z 0 y z x y z x z 2 0 x z 0 x z 1 Mà x y z 1 x y z 3 1 1 1 Bài 8 : Cho 0 . Tính giá trị của biểu thức a b c ab bc ac P = c2 a2 b2 abc abc abc 1 1 1 Bài giải : Ta có P 3 3 3 abc 3 3 3 c a b c a b 1 1 1 Đặt x ; y ; z x y z 0 a b c 5
6. 1 Khi đó P = x3 y3 z3 Do x y z 0 x3 y3 z3 3xyz xyz 1 P = .3xyz 3 xyz 3 3 3 a b c Bài 9 : a/ Cho a b c 3abc Tính : A = 1 1 1 b c a 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b c b/ Cho a b b c a c 3a b c Tính : B = 1 1 1 b c a Bài giải : a/ Ta có : a3 b3 c3 3abc a3 b3 c3 3abc 0 a b c 0 a b c a2 b2 c2 ab ac bc 0 2 2 2 a b c ab ac bc 0 Th1 : a + b + c = 0 a + b = - c ; b + c = - a ; a + c = - b a b c a b b c c a (a b)(b c)(c a) A = 1 1 1 b c a b c a abc ( c)( a)( b) abc A = 1 abc abc Th2 : a2 b2 c2 ab ac bc 0 (a b)2 (b c)2 (c a)2 áp dụng kết quả của bài tập 2 ta có : a = b = c a b c a b c A = 1 1 1 1 1 1 (1 1)(1 1)(1 1) 8 b c a a b c Vậy A = - 1 hoặc A = 8 b/ Nếu ta đặt : x = ab ; y = bc ; z = ac thì a3b3 b3c3 a3c3 3a2b2c2 x3 y3 z3 3xyz x y z 0 x y z x2 y2 z2 xy yz xz 0 2 2 2 x y z xy xz yz 0 a c c Th1 : x + y + z = 0 x + y = -z ab + bc = -ac a b b c b x + y + z = 0 x + z = -y ab + ac = - bc c a a b a x + y + z = 0 y + z = -x bc + ac = - ab b c 6
7. a b c a b b c c a a b c Tacó : B = 1 1 1 1 b c a b c a c a b Th2 : x2 y2 z2 xy xz yz 0 (x y)2 (y z)2 (x z)2 0 x = y = z ab = bc = ac a= b= c a b c a b c Ta có B = 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) (1 1)(1 1)(1 1) 8 b c a a b c Vậy B = -1 hoặc B = 8 a3 b3 c3 3abc Bài 10 : Cho a b c 2010 . Hãy tính A a b 2 b c 2 c a 2 Bài giải : áp dụng kết quả của các bài toán 5 đã làm trên ta có: a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ac) (a b c)[(a b)2 (b c)2 (c a)2 (a b c) a b 2 b c 2 c a 2 A a b c = 2010 a b 2 b c 2 c a 2 Vậy A = 2010 ax by c Bài 11 : Cho bx cy a Chứng minh rằng : a3 + b3 +c3 = 3abc cx ay b Bài giải : Ta có ax by bx cy cx ay c a b x(a b c) y(a b c) (a b c) 0 (a b c)(x y 1) 0 a b c 0 hoặc x + y - 1 =0 Th1 : a + b + c = 0 Theo kết quả bài toán 5 ta có : a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ac) Do a + b + c = 0 a3 + b3 +c3 - 3abc = 0 a3 + b3 +c3 = 3abc Th2 : x + y - 1 = 0 x = 1 - y Thay x = 1 - y vào phương trình ax + by = c ta có: a(1 - y) + by = c y(b - a) = c - a c a y = (1) b a Tương tự thay x = 1 - y vào phương trình bx + cy = a ta có : b(1 - y) + cy = a y ( c - b ) = a - b 7