Sáng kiến kinh nghiệm Hệ phương trình dành cho học sinh Trung học phổ thông không chuyên

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Hệ phương trình dành cho học sinh Trung học phổ thông không chuyên

1. hệ phương trỡnh dành cho học sinh Trung học phổ thụng khụng chuyờn A. ĐẶT VẤN ĐỀ I-Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong giỏo dục vấn đề đổi mới, cải cỏch nhằm nõng cao chất lượng dạy và học là một vấn đề được rất nhiều người quan tõm. Bản thõn tụi là một giỏo viờn dạy bộ mụn toỏn Trung học phổ thụng. Qua những năm cụng tỏc trực tiếp giảng dạy và đặc biệt trong những năm học vừa qua tụi được phõn cụng dạy luyện thi đại học, chương trỡnh đào tạo và bồi dưỡng học sinh giỏi, tụi luụn suy nghĩ làm thế nào để học sinh và giỏo viờn vừa học vừa nghiờn cứu thuận lợi nhất, để cải tiến phương phỏp giảng dạy sao cho học sinh tiếp thu bài học nhanh nhất và đạt hiệu quả cao nhất. Với đặc thự của bộ mụn, tụi nhận thấy rằng việc học tập và nghiờn cứu theo cỏc chuyờn đề tạo điều kiện rất thuận lợi cho học sinh tiếp thu kiến thức sõu sắc, nắm vấn đề logic và phõn dạng bài tập. Tuy nhiờn, việc sử dụng cỏc chuyờn đề hiện nay cũn gặp rất nhiều khú khăn như: Cỏc chuyờn đề cũn thiếu nhiều, chất lượng cỏc chuyờn đề chưa đỏp ứng được yờu cầu thực tế, tỉ lệ học sinh tiếp thu kiến thức theo chuyờn đề rất ớt. Trong quỏ trỡnh thực hiện cũn cú nhiều khú khăn cũng như thuận lợi vậy tụi mạnh dạn đưa ra ý kiến để đồng nghiệp tham khảo và gúp ý. II-MỤC ĐÍCH NGHIấN CỨU - Giỳp hỡnh thành cho học sinh kỹ năng ứng dụng giải bài tập về “ hệ phương trỡnh dành cho học sinh Trung học phổ thụng khụng chuyờn ” trong cỏc bài tập hệ phương trỡnh dành cho bậc Trung học phổ thụng. - Giỏo viờn tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi làm căn cứ nghiờn cứu. III-ĐỐI TƯỢNG VÀ KHÁCH THỂ NGHIấN CỨU - Đối tượng: hệ phương trỡnh dành cho học sinh Trung học phổ thụng khụng chuyờn, và cỏc đề tài liờn quan. - Khỏch thể: Học sinh Trung học phổ thụng khụng chuyờn toỏn. Người thực hiện: Ths Nguyễn Tấn Hòaà - 1 -
2. hệ phương trỡnh dành cho học sinh Trung học phổ thụng khụng chuyờn IV-NHIỆM VỤ NGHIấN CỨU - Trao đổi với giỏo viờn cựng chuyờn mụn để tỡm ra hướng nghiờn cứu và tiếp cận đề tài cú hiệu quả nhất - Tỡm hiểu thực trạng và khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh về chuyờn đề này. - Rỳt ra bài học kinh nghiệm gúp phần nõng cao chất lượng giảng dạy của giỏo viờn. V-GIỚI HẠN ĐỀ TÀI Do thời gian nghiờn cứu hạn hẹp nờn đề tài chỉ nghiờn cứu một vấn đề hệ phương trỡnh dành cho học sinh Trung học phổ thụng khụng chuyờn trong số rất nhiều vấn đề của toỏn học. Người thực hiện: Ths Nguyễn Tấn Hòaà - 2 -
3. hệ phương trỡnh dành cho học sinh Trung học phổ thụng khụng chuyờn B. NỘI DUNG I- THỰC TRẠNG VỀ TRèNH ĐỘ VÀ ĐIỀU KIỆN HỌC TẬP CỦA HỌC SINH 1. Thực trạng chung: Học sinh Trung học phổ thụng khụng chuyờn khi tiếp cận kiến thức chuyờn nội dung kiến thức khỏ trừu tượng nờn việc tiếp thu kiến thức cũn nhiều khú khăn. Bờn cạnh đú thời gian dành cho ụn luyện khỏ ớt, việc học tập nghiờn cứu ở nhà cũn hạn chế. Vỡ vậy, để cỏc em học tập, ụn luyện cú hiệu quả thỡ bờn cạnh sỏch giỏo khoa mà cỏc em cú sẵn thỡ hệ thống cỏc chuyờn đề mà giỏo viờn chuẩn bị là rất cần thiết. 2. Chuẩn bị thực hiện đề tài: - Thụng qua thực tiễn giảng dạy. - Sưu tầm tài liệu, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp. II- CƠ SƠ Lí LUẬN 1. Khỏi niệm: Lớ thuyết hệ phương trỡnh dành cho học sinh Trung học phổ thụng khụng chuyờn là một phần lớ thuyết được giảng dạy trong trường phổ thụng thuộc chương trỡnh cơ bản, chương trỡnh nõng cao và chuyờn ban của mụn toỏn. 2. í nghĩa của hệ phương trỡnh dành cho học sinh Trung học phổ thụng: Chuyờn đề này và một số chuyờn đề khỏc như: "phương trỡnh hàm", "lớ thuyết đồng dư trong số học", "bất đẳng thức", "giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất" của cựng tỏc giả là trợ thủ đắc lực cho việc ụn luyện thi đại học và luyện thi học sinh giỏi bộ mụn toỏn Trung học phổ thụng dành cho học sinh khụng học theo chương trỡnh chuyờn ban. Việc sử dụng cỏc chuyờn đề núi chung, chuyờn đề " hệ phương trỡnh dành cho học sinh Trung học phổ thụng khụng chuyờn" núi riờng vào Người thực hiện: Ths Nguyễn Tấn Hòaà - 3 -
4. hệ phương trỡnh dành cho học sinh Trung học phổ thụng khụng chuyờn việc ụn luyện thi đại học và luyện thi học sinh giỏi bộ mụn toỏn Trung học phổ thụng đặc biệt cú hiệu quả với học sinh khụng chuyờn. Vỡ lớ do học sinh khụng chuyờn thời gian ụn luyện ngắn, thời gian học chương trỡnh khụng chuyờn kộo dài nờn học sinh khụng đủ thời gian học ụn cả chương trỡnh nõng cao. Nhỡn về gúc độ phương phỏp ngoài việc thể hiện tớnh cụ thể, trừu tượng cỏc chuyờn đề toỏn cũn gúp phần giỳp cho học sinh khụng học theo chương trỡnh chuyờn ban tiếp cận với việc ụn luyện thi đại học và luyện thi học sinh giỏi dễ dàng hơn khi sử dụng chỳng đỳng lỳc, đỳng cỏch, xen kẽ vào quỏ trỡnh học chớnh khoỏ, để cập nhật, mở rộng kiến thức toỏn học, để giải quết vấn đề dạy học khỏm phỏ, Túm lại cỏc chuyờn đề toỏn học núi chung chuyờn đề "hệ phương trỡnh dành cho học sinh Trung học phổ thụng khụng chuyờn" núi riờng cú ý nghĩa quan trọng trong việc nõng cao hiệu quả của quỏ trỡnh dạy học. 3. Nguyờn tắc sử dụng chuyờn đề toỏn học: - Sử dụng đỳng lỳc, đỳng nội dung và phương phỏp dạy học đảm bảo học sinh ụn luyện tiếp cận được, đảm bảo khụng phõn tỏn tư tưởng của học sinh khi tiến hành cỏc hoạt động học tập tiếp theo. - Trỏnh sử dụng nhiều loại chuyờn đề cựng một lần. - Sử dụng đủ cường độ: nguyờn tắc này chủ yếu đề cập nội dung và phương phỏp dạy học sao cho thớch hợp với trỡnh độ tiếp thu và lứa tuổi của học sinh. Người thực hiện: Ths Nguyễn Tấn Hòaà - 4 -
5. hệ phương trỡnh dành cho học sinh Trung học phổ thụng khụng chuyờn III-NỘI DUNG VÀ CÁCH THỰC HIỆN Phần 1. Một số loại hệ phương trỡnh 1. Hệ phương trỡnh đối xứng: 1.1. Hệ phương trỡnh đối xứng loại I a. Định nghĩa: Đú là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trũ của x, y cho nhau thỡ hệ phương trỡnh khụng thay đổi. b. Cỏch giải Bước 1: Đặt x+y=S và xy=P với SP2 4 ta đưa hệ phương trỡnh về hệ mới chứa ẩn S, P Bước 2: Giải hệ mới tỡm ấn S, P. Chọn S, P thỏa món SP2 4 Bước 3: Với S, P tỡm được thỡ x, y là nghiệm của phương trỡnh X2 SX P 0 1.2. Hệ phương trỡnh đối xứng loại II: a.Định nghĩa: Đú là hệ phương trỡnh hai ẩn x,y mà khi thay đổi vai trũ x,y cho nhau thỡ phương trỡnh này trở thành phương trỡnh kia của hệ. b. Cỏch giải: Bước 1: Trừ vế với vế hai phương trỡnh và biến đổi về dạng phương trỡnh tớch. Bước2: Kết hợp phương trỡnh tớch với một phương trỡnh của hệ để suy ra nghiệm phương trỡnh của hệ. 2. Hệ phương trỡnh đẳng cấp bậc 2: a x2 b xy c y 2 d a. Daùng : 1 1 1 1 2 2 a2 x b 2 xy c 2 y d 2 b. Cỏch giải: x y x Đặt ẩn phụ t hoặc t . Giả sử ta chọn cỏch đặt t . y x y Khi đú ta cú thể giải như sau Bước 1:Kiểm tra xem (x;0) cú phải là nghiệm khụng? Bước 2: Với y 0 ta đặt x = ty. Thay vào hệ phương trỡnh 2 aồn t,y .Từ 2 phương trỡnh ta khử một ẩn để được một ẩn t. Bước 3: Giải phương trỡnh tỡm t rồi suy ra x,y. Phần 2. Một số phương phỏp giải hệ phương trỡnh I. Phương phỏp thế. * Cơ sở phương phỏp. Ta rỳt một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trỡnh trong hệ và thế vào phương trỡnh cũn lại. * Nhận dạng. Phương phỏp này thường hay sử dụng khi trong hệ cú một phương trỡnh là bậc nhất đối với một ẩn nào đú. Người thực hiện: Ths Nguyễn Tấn Hòaà - 5 -
6. hệ phương trỡnh dành cho học sinh Trung học phổ thụng khụng chuyờn 2x 3 y 5 (1) Bài 1. Giải hệ phương trỡnh 2 2 3x y 2 y 4 (2) Lời giải. 5 3y Từ (1) ta cú x thế vào (2) ta được 2 2 5 3y 2 3 y 2 y 4 0 2 59 3(25 30y 9 y2 ) 4 y 2 8 y 16 23 y 2 82 y 59 0 y 1, y 23 31 59  Vậy tập nghiệm của hệ phương trỡnh là S= 1;1 ; ;  23 23  3x3 (6 y ) x 2 2 xy 0 (1) Bài 2. Giải hệ phương trỡnh : 2 x x y 3 (2) Lời giải. Từ (2) ta cú y 3 x2 x thay vào (1). Vậy tập nghiệm của hệ phương trỡnh là S= 0; 3 ; 2;9  2 2 x y xy 1 4 y (1) Bài 3. Giải hệ phương trỡnh : 2 2 (2) y( x y ) 2 x 7 y 2 Lời giải. Từ (1) x2 1 4 y y 2 xy thay vào (2). Vậy tập nghiệm của hệ phương trỡnh là S= 1;2 ; 2;5  x4 2 x 3 y x 2 y 2 2 x 9 (1) Bài 4. Giải hệ phương trỡnh 2 x 2 xy 6 x 6 (2) Lời giải. Phõn tớch. Phương trỡnh (2) là bậc nhất đối với y nờn ta dựng phộp thế. TH 1 : x = 0 khụng thỏa món (2) 6x 6 x2 TH 2 : x 0, (2) y thế vào (1) ta được 2x 2 2 2 4 3 6x 6 x 2 6 x 6 x x 2 x x 2 x 9 2x 2 x Người thực hiện: Ths Nguyễn Tấn Hòaà - 6 -
7. hệ phương trỡnh dành cho học sinh Trung học phổ thụng khụng chuyờn 2 2 4 2 2(6x 6 x ) 3 x 0 x x(6 x 6 x ) 2 x 9 x ( x 4) 0 4 x 4 17 Do x 0 nờn hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất 4; 4 Chỳ ý.: Hệ phương trỡnh này cú thể thế theo phương phỏp sau: 2 2 2 2 x 6 x 6 x xy 2 x 9 2 x 9 2 - Hệ x2 6 x 6 x2 xy x 2 6 x 6 2 x2 xy 2 - Phương phỏp thế thường là cụng đoạn cuối cựng khi ta sử dụng cỏc phương phỏp khỏc x( x y 1) 3 0 (1) Bài 5. Giải hệ phương trỡnh : 5 . (x y )2 1 0 (2) x2 Lời giải. 3 3 Từ (1) thế x y 1 vào (2). Giải ra ta được nghiệm (1;1) và (2; ) . x 2 x2 y 2 2( x y ) 7 (1) Bài 6. Giải hệ phương trỡnh : y( y 2 x ) 2 x 10 (2) Lời giải. - Thế (1) vào (2) và rỳt gọn ta được x2 2 xy 4 x 2 y 3 0 ( x 1)( x 2 y 3) 0 - Giải ra ta được nghiệm: 565535 565535  S 1; 4 , 1;2 , ( ; ),( ; )  5 5 5 5  II. Phương phỏp cộng đại số. * Cơ sở phương phỏp. Kết hợp 2 phương trỡnh trong hệ bằng cỏc phộp toỏn: cộng, trừ, nhõn, chia ta thu được phương trỡnh hệ quả mà việc giải phương trỡnh này là khả thi hoặc cú lợi cho cỏc bước sau. * Nhận dạng. Phương phỏp này thường dựng cho cỏc hệ đối xứng loại II, hệ phương trỡnh cú vế trỏi đẳng cấp bậc k. x2 5 y 4 0 Bài 1. Giải hệ phương trỡnh 2 y 5 x 4 0 Người thực hiện: Ths Nguyễn Tấn Hòaà - 7 -
8. hệ phương trỡnh dành cho học sinh Trung học phổ thụng khụng chuyờn Lời giải. - ĐK: xy 0 3x2 y y 2 2 (1) - Hệ . Trừ vế hai phương trỡnh ta 2 2 3y x x 2 (2) được 2 2 2 2 x y 0 3xy 3 xy y x 3 xyxy ( ) ( xyxy )( ) 0 3xy x y 0 - TH 1. x y 0 y x thế vào (1) ta được 3x3 x 2 2 0 x 1 y2 2 - TH 2. 3xy x y 0. Từ 3y y 0 , x2 x2 2 3x x 0 y2 3xy x y 0 . Do đú TH 2 khụng xảy ra. - Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất (1 ; 1) 1 1 2 2 (1) x y Bài 2. Giải hệ phương trỡnh 1 1 2 2 (2) y x Lời giải. 1 1 - ĐK: x , y . 2 2 1 1 1 1 - Trừ vế hai pt ta được 2 2 0 x y y x 1 1 2 2 y x y x y x y x 0 0 xy 1 1 xy x y 1 1 2 2 xy 2 2 y x y x 1 1 - TH 1. y x 0 y x thế vào (1) ta được 2 2 x x 1 - Đặt t , t 0 ta được x Người thực hiện: Ths Nguyễn Tấn Hòaà - 8 -