Sáng kiến kinh nghiệm Hàm số và đồ thị hàm số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Hàm số và đồ thị hàm số

1. Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm số & đồ thị Mục Lục I. Mục Đích Và Yêu Cầu I.1. Đối với giáo viên I.2. Đối với học sinh II. Nội Dung II.1. Đặt vấn đề II.2. Bài toán xuất xứ II.3. Các khái niệm và tính chất cơ bản II.3.1. Định nghĩa ánh xạ II.3.2. Định nghĩa hàm số II.3.3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, giá trị tuyệt đối II.3.4.Sự biến thiên của hàm số II.3.5. Đồ thị của hàm số II.3.5.1. Đồ thị của hàm số chẵn, lẻ II.3.5.2. Các phép biến đổi đồ thị II.3.6. Chương trình đại số bậc THCS cần quan tâm II.3.6.1. Hàm số bậc nhất y=ax+b II.3.6.2. Hàm số bậc hai y=ax2 II.3.6.3. Vị trí tương đối giữa y=ax và y=mx +n II.4. Những sai lầm học sinh hay mắc phải và cách khắc phục II.4.1. Những sai lầm II.4.2. Cách khắc phục II.5. ứng dụng của hàm số và đồ thị II.6. Các dang bài tập II.7. Một số ví dụ II.8. Bài dạy minh họa II.8.1. Mục tiêu bài dạy II.8.2. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh II.8.3. Tổ chức day học III. Kết luận 1
2. Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm số & đồ thị I. Mục đích và yêu cầu I.1. Đối với giáo viên Người giáo viên có kiến thức sâu rộng về hàm số, đồ thị hàm số và các kiến thức có liên quan. Nắm được bản chất của từng khái niệm, các tính chất của hàm số, đồ thị. Biết phân loại các dạng bài tập đối với từng kiến thức, ứng dụng của các đơn vị kiến thức đó. Trước khi dạy người giáo viên phải lường được những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải, từ đó điều chỉnh kịp thời bằng cách đó thông tin đến cho học sinh hoặc đưa bài tập tình huống cho học sinh trao đổi nhóm rút ra kết luận tránh sai lầm, hoặc có thể bổ xung vào những ví dụ, những bài tập nêu bật bản chất của những đơn vị kiến thức đó. Tùy từng đối tượng học sinh giáo viên lựa chọn bài tập tình huống, câu hỏi, ví dụ cho phù hợp. I.2. Đối với học sinh. + Cần nắm vững khái niệm hàm số, cách cho một hàm số, biết xác định một ánh xạ nào đó có phải là hàm số hay không? Nắm được: tìm được chỉ ra được đâu là tập xác định của hàm số. Các tính chất cơ bản của các hàm số được học trong trường THCS . Cách cho một hàm số: lấy ví dụ về một hàm số. Xác định được một hàm số. Hiểu được khái niệm đồ thị hàm số y =f(x) là gì ? Khái niệm hàm số về hàm sốvề hệ tọa độ, vẽ hệ tọa độ chính xác, đẹp. Biết cách biểu diễn một cặp số hữu tỉ trên hệ tọa độ, biết xác định tọa độ của điểm trong mặt phẳng tọa độ và biết vẽ đồ thị hàm số đặc biệt là các hàm số y=ax+b ( a 0) và y=ax2 ( a 0) một cách chính xác, đẹp. + Biết vận dụng linh hoạt các đơn vị kiến thức trên trong từng dạng bài tập có liên quan. 2
3. Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm số & đồ thị II. Nội dung. II.1. Đặt vấn đề. Khái niệm hàm số là một trong những khái niệm khó đối với học sinh trong trương trình đại số của bậc THCS. Các khái niệm hàm số, đồ thị hàm số mới được bắt đầu hình thành ở lớp 7, từ đó phát triển đến các lớp tiếp theo. Các bài toán về hàm số, đồ thị hàm số học sinh thường gặp nhiều khó khăn đặc biệt là cách nhận ra một quy tắc cho tương ứng có phải là hàm số hay không? Cách xác định hàm số khi biết một số điều kiện, học sinh vẫn còn lúng túngvề dạng của hàm số. Vì vậy phải đòi hỏi người giáo viên phải có một kiến thức vững vàng cùng với phương pháp truyền thụ, cách dẫn dắt các em tiếp xúc, làm quen và tư duy tốt tiếp nhận kiến thức này một cách chủ động, tích cực. II.2. Bài toán xuất xứ. Xuất phát từ những bài toán thực tế, bài toán chuyển động, sự mua bán, , mối liên hệ giữa hai đại lượng, nhiều đại lượng. Đại lượng là một khái niệm tổng quát hóa một số khái niệm cụ thể: độ dài, diện tích, thể tích, trọng lương, , thời gian, Mỗi khái niệm độ dài, diện tích, thể tích, trọng lượng được biểu hiện bằng giá trị số. Độ dài có thể lấy những giá trị khác nhau, cũng vậy diện tích sẽ khác nhau. Từ đó toán học đã đưa đến khái niệm “Đại lượng biến thiên”. Chẳng hạn quan niệm độ dài là một đại lượng biến thiên theo dơn vị độ dài của cạnh và công thức tính diện tích S = a2 của hình vuông cạnh a nêu lên mối quan hệ (mối tương quan )giữa hai đại lượng biến thiên ấy. Theo quan niệm toán học cổ điển: Một hàm số biểu thị mối tương quan giữa hai đại lượng biến thiên x; y được viết dưới dạng y=f(x) trong đó f là một công thức cho phép chính xác với mỗi giá trị của x ta xác định được một giá trị tương ứng của y. Toán học ngày càng phát triển, các ứng dụng ngày càng nhiều hơn và đa dạng hơn, lý luận toán học càng sâu sắc hơn, thì người ta thấy cần phải định nghĩa khái niệm hàm số một cách chuẩn xác hơn, phản ánh đúng bản chất vấn đề. 3
4. Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm số & đồ thị II.3. Các khái niệm và tính chất cơ bản. * Hàm số: Để hiểu thêm về hàm số, trước hết ta hãy cho học sinh làm quen với khái niệm ánh xạ. II.3.1. Định nghĩa ánh xạ. a) Cho hai tập X, Y. Ta gọi ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y là một quy tắc cho tương ứng cứ mỗi phần tử x X với một và chỉ một phần tử y Y. Ký hiệu quy tắc đó f. Ta có kí hiệu ánh xạ đó như sau: f:X Y hay X fY x y=f(x) ; x y=f(x) X: tập nguồn. Y tập đích. X là tạo ảnh; y là ảnh của x qua ánh xạ f. b) Ví dụ: 1. Các cầu thủ An, Bách, Hà, Dũng theo thứ tự mang áo số 1; 2; 3; 4. Sự tương ứng giữa tên cầu thủ và số áo là một ánh xạ từ tập hợp tên các cầu thủ đến tập hợp số áo 1; 2; 3; 4. 2. Các phép toán cộng trừ nhân chia trong Q cũng là các ánh xạ Chẳng hạn 3, 1 và -5 thuộc Q cho ta tương ứng với số -1, 9 thuộc Q; ánh xạ này là quy tắc cộng hai số trong Q 3. Các phép đối xứng qua trục, qua tâm, cũng là những ánh xạ. 4. Các phép chiếu vuông góc các điểm của đường thẳng (d) xuống đường thẳng (a) là ánh xạ từ tập hợp các điểm của đường thẳng (d) đến các điểm thuộc (a). 5. Nếu ta biểu thị các phần tử của mỗi tập X và Y bởi các điểm, biểu thị các tập hợp ấy bởi các vòng tròn, sự tương ứng biểu thị bởi các mũi tên. Xét các quy tắc cho tương ứng thể hiện ở hình sau: Quy tắc nào cho một ánh xạ? Tại sao? Các quy tắc ở hình (e); (d); (g) là các ánh xạ. Chú ý: với mỗi phần tử thuộc X tương ứng với một và chỉ một phần tử y Y. 4
5. Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm số & đồ thị Quy tắc ở hình (a), (b) không phải là ánh xạ. Chú ý: + Một ánh xạ f: X Y sao cho x1, x2 X mà f(x1) +f(x2) thì f được gọi là đơn ánh hoặc ánh xạ ax –1.(ví dụ (c); (e); (f)). + Một ánh xạ f: X Y sao cho mọi y Yđều có tạo ảnh gọi là toàn ánh hoặc ánh xạ lên (d, e, f). + Một ánh xạ vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh gọi là song ánh (e, f) hoặc ánh xạ 1-1 lên. II.3.2. Định nghĩa hàm số. A) Nếu các tập hợp X và Y trong định nghĩa ánh xạ nói trên là các tập hợp số thì ánh xạ được gọi là hàm số. Như vậy một hàm số từ tập số X đến tập số Y là một quy tắc cho mỗi giá trị x X tương ứng với một và chỉ một giá trị y Y. Gọi hàm số này là f, ta viết: F: X Y x y =f(x) x: biến số; y=f(x) là giá trị của hàm số f tại x. X: tập nguồn hay còn gọi là tập xác định của hàm số Y: là tập đích hay còn gọi là tập giá trị. Chú ý: a) X; Y đều là tập số (ánh xạ (f) là một hàm số). b) Có thể tồn tại những giá trị của Y mà không có giá trị x tương ứng thuộc X, nhưng không thể có một giá trị của X mà có giá trị nào tương ứng thuộc Y. c) Quy tắc cho tương ứng trong định nghĩa hàm số có thể được thể hiện bằng ba cách: * Dùng bảng: Ví dụ: 5
6. Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm số & đồ thị x 1 2 3 4 y -2 -4 -6 -8 * Dùng đồ thị: d) Các ví dụ về hàm số: * Các quy tắc sau đây cho ta một hàm số. 1) f: R R – {0}. x y = 4/x 2) f: N R 3) x y 2x y 2 4) - -23 13 1 1 -12 0 1 * Các quy tắc khôg phải là hàm số 2 - 1 1) f : R R - 2 x y x- 2 2) f : R R - 21 x y x 4 3) 3 An B N 1 Bảo 9 3 Cường 2 10 4) 1 1 2 3 4 4 Xét hàm số f: X Y (X, Y  R) 6
7. Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm số & đồ thị * X được gọi là tập xác định của hàm số. Tập X có vai trò quan trọng, nó quy định biến số x được lấy những giá trị nào: do đó tập xác định là tập tất cả các giá trị của x sao cho có thể xác định được giá trị tương ứng của y. Chúng ta cần chú ý tập xác định của các hàm số có dạng sau đây: a y tập xác định là tập các giá trị x làm cho f(x) 0. f x y f x . tập xác định là tập các giá trị của x làm cho f(x) 0. Ví dụ: 4 1) Với hàm số y x 2 Tập xác định (TXĐ): tập tất cả các số x 2. Hoặc tập xác định:  x 2. 2) Với hàm số y 2x TXĐ: Tập tất cả các số x 0. Hay TXĐ:  x 0. 3) Với hàm số y = x - 3 TXĐ:  x 3. * Theo định nghĩa của hàm số thì với mỗi x X; giá trị y=f(x) tương ứng của hàm số phải là một phần tử của Y. Tập Y có thể thay bởi một tập số rộng lớn. Tập số rộng nhất ở cấp THCS là tập R. Vì thế người ta nói hàm số f: X R x y=f(x) tức là nhấn mạnh hai yếu tố: - TXĐ của hàm số - Quy tắc xác định hàm số. Còn tập rất quan trọng ít được sử dụng trong chương trình tính toán THCS đó là tập giá trị của hàm số. 7
8. Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm số & đồ thị Tập giá trị của hàm số f(x) là tập hợp gồm tất cả các phần tử f(x) khi x chạy khắp X. Đó là tập con của Y và được ký hiệu là f(x). f(x)= {y Y/y=f(x), x X} Ví dụ: 1) Tìm tập giá trị của hàm số y 3 x * TXĐ: x 3, hay là X=(- ; 3]. • Tập giá trị f(x)=R+ ={y R/ y 0}. II.3.3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm giá trị tuyệt đối. * Giả sử y=f(x) là một hàm số xác định trên tập số D. * Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu: f(x) = f(-x) x D và D = [-a; a]. VD: y = x là hàm số lẻ. Nhận xét: * Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. * Tổng đại số của hàm chẵn (hay lẻ) là một hàm chẵn (hay lẻ) là một hàm chẵn (hay lẻ). * Tích của hai hàm chẵn, hay hàm lẻ là một hàm chẵn. Còn tích của một hàm chẵn với một hàm lẻ là một hàm lẻ. II.3.4. Sự biến thiên của hàm số Giả sử y = f(x) là một hàm số xác định trên D. a) Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên D, nếu với mọi x1, x2 D ; x1 y2 = f(x2) Từ định nghĩa của hàm số đồng biến trên D, điều kiện tương đương sau : 8
9. Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm số & đồ thị Y= f(x) đồng biến trên D y 2 y1 0 x1,x 2 D ; x1 x 2 x 2 x1 y 2 y1 Y= f(x) nghịch biến trên D 0 x1,x 2 D ; x1 x 2 x 2 x1 Ví dụ : Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau : 1/ Hàm số y = ax + b với x1, x2 TXĐ ; a 0 y y ax b ax b 2 1 2 1 x 2 x1 x 2 x1 y y ax ax a x x 2 1 2 1 2 1 a x 2 x1 x 2 x1 x 2 x1 Với a > 0 hàm số đồng biến VD : y = 2x + 3 Với a 0 ; x1, x2 (0 ; + ) Hàm đồng biến. x1, x2 (- ; 0) Hàm nghịch biến. II.3.5. Đồ thị của hàm số Khi xét hàm số y – f(x), điều ta quan tâm là hàm số sẽ nhận giá trị như thế nào tương ứng với mỗi giá trị của biến số x. Điều đó sẽ được phản ánh trên tập hợp tất cả các cặp số (x; f(x). Đồ thị của hàm số f: X Y là tập con G = {(x; f(x)); x XƯ của tập tích đề các X.Y trong đó: x X; f(x)z Y. Để phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS, thay cho việc xét khái niệm tích đề các tổng quát ta chỉ xét các cặp số (x, y). x, y R; x X; y Y. 9