Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán về căn bậc hai

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán về căn bậc hai

1. GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA. A.ĐẶT VẤN ĐỀ. 1.Lý do khách quan: Toán học là môn khoa học, toán học có vai trò rất quan trọng, là chìa khóa cho các ngành khoa học khác, toán học đa dạng và phong phú, mỗi nội dung toán học đều có những đặc trưng và áp dụng của nó. Cùng với sự phát triển của đất nước, thời kì công nghiệp hóa hiện đại hóa, phát triển và hội nhập thì việc tiếp thu khoa học hiện đại của thế giới. Do sự phát triển vượt bậc của khoa học kĩ thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng, đòi hỏi ngay từ việc học của trò phải có kiến thức vững vàng, những lập luận chặt chẽ. Những người hướng dẫn các em tiếp thu kiến thức là những thày, cô giáo đang trực tiếp giảng dạy các em, nhà trường không thể luôn cung cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật được, điều quan trọng là phải trang bị cho các em năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thức cần thiết cho bài học, để vận dụng vào làm bài tập. Qua nhiều năm là giáo viên giảng dạy trên lớp tôi thấy rằng việc truyền thụ kiến thức cho các em mới chỉ là một chiều, là chỉ mới chỉ cho các em thấy cái đúng, lời giải đúng, mà chưa chỉ cho các em tìm cái sai trong khi làm toán mà các em hay gặp để các em suy nghĩ sâu sắc hơn cho học sinh, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo. Trong nội dung này tôi chú ý tới vấn đề đòi hỏi học sinh khắc phục những sai lầm mà các em hay mắc phải khi làm toán, cụ thể trong chương I Đại số 9. Từ đó các em làm tốt hơn cho các nội dung học sau, và các môn học khác. 2.Lý do chủ quan: Trong chương trình đại số lớp 9 THCS phần kiến thức về căn bậc hai, căn bậc ba, tôi thấy học sinh còn mắc rất nhiều sai sót khi trình bày một bài toán, có những 4
2. B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. I. Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu: Khi dạy học sinh về căn thức bậc hai, tôi thấy học sinh còn lúng túng khi trình bày bài toán về căn bậc hai, tôi rất băn khoăn làm thế nào để học sinh làm tốt được bài tập, không sai sót . Trước thời gian đó nhiều em học sinh đi thi về cho rằng mình làm tốt bài, xong điểm chưa được cao, chưa tối đa, lỗi vì đâu. Khi kiểm tra 15 phút của 32 em học sinh lớp 9A của trường THCS trong nội dung đầu năm học về căn thức bậc hai tôi thấy học sinh còn mắc khá nhiều lỗi sai mà lẽ ra các em không mắc phải, khi điều tra và thống kê tôi thấy kết quả không như mong muốn. Nội dung kiểm tra Câu 1. Tìm các căn bậc hai của các số sau. a) 49 b) 64 Câu 2. Tìm điều kiện để các căn thức sau có nghĩa. a) 2x 3 b) x 2 2x 1 Câu 3. Tính. 2 a) 3 5 b) 6 2 5 6
3. + Phương pháp điều tra. + Phương pháp thống kê. +Phương pháp so sánh đối chứng. + Phương pháp phân tích tổng hợp. - Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp. - Dạy học thực tế trên lớp để đúc rút kinh nghiệm. - Thông qua học tập bồi dưỡng các chu kì GDTX. - Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy của các giáo viên có kinh nghiệm của trường trong những năm học trước và vốn kinh nghiệm của bản thân trong những năm giảng dạy tại trường THCS . - Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy, nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải toán. 2. Đối với học sinh: -Làm bài tập giáo viên giao, các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập có liên quan đến nội dung đề tài. -Sau khi giáo viên hướng dẫn qua các ví dụ thì phải nắm chắc và biết vận dụng vào làm các bài toán cùng loại. V: NỘI DUNG KINH NGHIỆM" Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán về căn bậc hai" 1. Cơ sở lí thuyết: -Định nghĩa về căn bậc hai số học. Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0. 8
4. 1) a b 3 a 3 b . 2) 3 ab 3 a. 3 b a 3 a 3) Với b 0, ta có 3 b 3 b 2. NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI: Qua nhiều năm dạy học tôi thấy việc tiếp thu kiến thức theo hướng đưa bài tập, học sinh làm thì việc tư duy, tìm tòi, khắc sâu kiến thức của học sinh không cao, còn khi gặp bài toán ngược như tìm chỗ sai trong lời giải cho trước thì học sinh rất hướng thú bàn luận, cho ra nhiều hướng, nhiều kết quả ( có thể chưa đúng) xong hiệu quả tốt hơn trong quá trình học tập của các em. Từ bài tập 16(SGK-t12 đại số lớp 9 tập 1). Đố. Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh"Con muỗi nặng bằng con voi" dưới đây. Lời giải. Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có m2 +V2 =V2 +m2 Cộng cả hai vế với -2mV, ta có m2 -2mV +V2 =V2 -2mV +m2 hay (m-V)2 =(V-m)2 Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được m V 2 V m 2 Do đó m - V = V – m Từ đó ta có 2m =2V, suy ra m=V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!) Từ bài toán đó tôi thấy học sinh bàn luận hứng thú hơn và cũng từ đó tôi đã đưa các bài toán kiểu như vậy cho học sinh làm, nhằm gây hứng thú, đồng thời chỉ ra một số sai lầm khi làm bài của học sinh. 10
5. x 2 x 1 a) ( x 0 ) x 2 x 1 x 1 y 2 y 1 b) ( x 1, y 1 và y >0) y 1 x 1 4 Lời giải sai: 2 a) Vì x 0 nên ta có x x , từ đó ta có 2 2 x 2 x 1 x 1 và x 2 x 1 x 1 2 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 = 2 = x 2 x 1 x 1 x 1 2 x 1 2 b)Với y >0, ta có y 2 y 1 y 1 2 x 1 y 2 y 1 x 1 y 1 x 1 y 1 1 = . y 1 x 1 4 y 1 x 1 4 y 1 x 1 2 x 1 Phân tích sai lầm. Việc biến đổi của các em cơ bản là tốt, nhưng khi sử dụng hằng đẳng thức A2 A . Thì các em vẫn hay mắc phải, ở bài toán trên, đối 2 x 1 x 1 với câu a) học sinh sai ở bước x 1 2 x 1 2 x 1 y 1 x 1 y 1 Đối với câu b) học sinh sai ở bước . y 1 x 1 4 y 1 x 1 2 Khắc phục sai lầm. Phân tích sai như bài 1 và sửa lại cho học sinh Lời giải đúng. 2 a) Vì x 0 nên ta có x x , từ đó ta có 2 2 x 2 x 1 x 1 và x 2 x 1 x 1 12
6. Lời giải sai: x 4 0 x 4 x 4 x 4 x 2 Ta có 2 2 x 4 x 4x 4 x 3x 0 x(x 3) 0 x 4 x 0; x 3 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x1=0; x2=-3 Phân tích sai lầm. Sai ở chỗ với điều kiện x 4 thì vế phải chưa chắc đã không âm, vì vậy việc bình phương hai vế đã không đúng vì x2=-3 là bị loại. B 0 A B A B Khắc phục sai lầm. Khi giải dạng toán cần lưu ý 2 A B Lời giải đúng. x 2 0 x 2 x 2 x 2 x 4 x 2 2 2 x 4 x 4x 4 x 3x 0 x(x 3) 0 x 0; x 3 So sánh điều kiện x=-3 (bị loại) , x=0 (TM) Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x=0 Bài 3: Giải phương trình. x(x 1) x(x 2) 2 x(x 3) (1) Lời giải sai: + Khi x 3 Ta có (1) x. x 1 x. x 2 2 x. x 3 x 1 x 2 2 x 3 Với điều kiện x 3 khi đó ta có x 1 x 3 x 2 x 3 x 1 x 2 2 x 3 Phương trình đã cho vô nghiệm trong khoảng x 3 . + Khi x<0 (1) x. 1 x x. 2 x 2 x. 3 x 1 x 2 x 2 3 x Với điều kiện x<0 khi đó ta có 14
7. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x=0 Bài 4. Giải phương trình x 1 5x 1 3x 2 Lời giải sai: Điều kiện xác định của phương trình là x 1. x 1 5x 1 3x 2 x 1 5x 1 2 x 1 5x 1 3x 2 6x 2 2 x 1 5x 1 3x 2 3x 4 2 x 1 5x 1 9x2 24x 16 4 5x2 6x 1 9x2 24x 16 20x2 24x 4 12 11x2 12 x 11 12 So với điều kiện x 1thì x= là nghiệm phương trình 11 Phân tích sai lầm. Sai ở chỗ các em đã bình phương hai vế phương trình mà chưa chú ý đến điều kiện là hai vế phương trình phải cùng dấu .việc sử dụng kiến thức a b a2 b2 ( khi a,b cùng dấu ) Khắc phục sai lầm. Khi bình phương hai vế của một phương trình học sinh cần chú ý đến hai vế phải cùng dấu nghĩa là a b a2 b2 ( khi a,b cùng dấu ) Lời giải đúng. Điều kiện xác định của phương trình là x 1.(1) Chuyển vế, ta có x 1 5x 1 3x 2 x 1 5x 1 3x 2 Bình phương hai vế của phương trình được x 1 5x 1 3x 2 2 15x2 13x 2 Rút gọn thành 2-7x= 2 15x2 13x 2 ( *) Đến đây có hai cách giải. 2 Cách 1: Với điều kiện 2 7x 0 x (2) 7 16
8. Phân tích sai lầm. Tuy bài làm tưởng như là đúng, nhưng sai ở đây là học 2 x 2 x 2 x 2 sinh đã cho vào trong dấu căn biểu thức 4 x 2 4 , biểu x 2 x 2 thức (x-2) chưa thể khẳng định là biểu thức dương, nên kết quả bài toán là không đúng. Khắc phục sai lầm. Khi đưa một thừa số vào trong dấu căn phải vận dụng Với A 0 và B 0 ta có A B A2.B . Với A 0 và B 0 ta có A B A2.B . Lời giải đúng. x 2 0 x 2 0 Điều kiện: x 2 hoặc x 2 x 2 0 x 2 0 x 2 Đặt: x 2 y (2) x 2 Thì y2=(x-2)(x+2). (3) 2 Ta có y +4y+3=0 nên y1=-1, y2 =-3. Do y<0 nên từ (2) suy ra x<2 Với y=-1, thay vào (3) đượcx2-4=1. Do x<2 nên x= 5 Với y=-3, thay vào (3) đượcx2-4=9. Do x<2 nên x= 13 Vậy phương trình có hai nghiệm là 5 ; 13 Bài 6. Giải phương trình. 3 2x 1 3 x 1 (1) Lời giải sai. Lập phương hai vế, ta được 2x 1 x 33 x(2x 1). 3 2x 1 3 x 1 (2) Thay 3 2x 1 3 x 1 Vào (2) ta có 3x+1+3 3 x(2x 1) 1 (3) 3 3 2 x(2x 1) x x(2x 1) x x(2x 1 x ) 2 x(x 1) 0 x1 0; x2 1 Phân tích sai lầm. Các phương trình (1) và (2) tương đương, nhưng các phương trình (2) và (3) không tương đương. Từ (2) suy ra được (3), nhưng từ (3) 18
9. Bài 2. Tìm x để biểu thức sau x 1 x 3 có nghĩa. Lời giải sai. x 1 0 biểu thức x 1 x 3 có nghĩa khi(x-1)(x+3) 0 x 1 x 3 0 Phân tích sai lầm. Trong trường hợp này học sinh khi làm bài đã chỉ nghĩ đến trường hợp tích hai thừa số dương là một số dương, mà không nghĩ đến hai thừa số cùng âm thì tích cũng là một số dương. Khắc phục sai lầm. Khi dạy nội dung này cần chú ý đến A.B 0 khi và chỉ khi A;B cùng dấu, có hai trường hợp A;B cùng dương hoặc cùng âm. Lời giải đúng. x 1 0 Biểu thức x 1 x 3 có nghĩa khi(x-1)(x+3) 0 x 1 hoặc x 3 0 x 1 0 x 3 . Vậy biểu thức có nghĩa khi x 1 hoặc x -3 x 3 0 Đôi khi trong bài tập này còn có học sinh đã xét hai trường hợp như trên nhưng lại kết hợp nghiệm sai, vì vậy giáo viên phải lưu ý cho học sinh việc kết hợp nghiệm hệ bất phương trình. Bài 3. Tìm x, biết. x 1 0 Lời giải sai. Điều kiện : x 0 x 1 0 x 1 x 1 Phân tích sai lầm. Sai ở đây là x<1 có thể x<0, vi phạm điều kiện vừa tìm. Khắc phục sai lầm. Vì vậy khi dạy nội dung này cần lưu ý đến đối chiếu với điều kiện của bài toán đã cho hoặc điều kiện đã tìm, khi đã tìm được giá trị x rồi mới kết luận. Lời giải đúng. Điều kiện: x 0 20
10. 33 x 0 Bất phương trình có nghiệm khi (3x 19)(5x 27) 0 2 33 x 4(3x 19)(5x 27) 19 Giải hệ bất phương trình ta được x 9 3 19 Vậy nghiệm của bất phương trình là x 9 3 Dạng 4: sai lầm thường gặp trong giải bài toán cực trị . Bài1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 A x2 6x 17 Lời giải sai. Phân thức A có tử không đổi nênA có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Ta có x2 6x 17 x 3 2 8 2 2 min x2 6x 17 x 3 2 8 2 2 x 3 1 2 Vậy max A = x 3 2 2 4 Phân tích sai lầm. Tuy đáp số không sai nhưng lập luận sai khi khảng định ( A có tử số không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất) mà chưa nhận xét tử và mẫu là các số dương. 1 Chẳng hạn, xét biểu thức B= . Với lập luận (phân thức B có tử không đổi x2 4 nên có giá trị nhỏ nhất khi mẫu lớn nhất), do mẫu nhỏ nhất bằng -4 khi x=0, ta sẽ 1 1 đi đến max B= x 0 . Điều này không đúng vì không phải là giá trị lớn 4 4 1 1 nhất của B, chẳng hạn với x=3 thì B= . 5 4 Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức, đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên sang hai phân số 22
11. 2 P x 2 xy 3y 2 x 1 x y 1 2 x y 2 y 2y 2 1 1 2 1 2 1 x y 1 2y 2 y x y 1 2 y 1 2 2 2 2 1 1 9 Từ đó đánh giá được min p= y ; x 2 4 4 Phân tích sai lầm. Sai ngay từ khi đặt điều kiện nên tập xác định được mở rộng dẫn đến kết quả sai. Thật vậy nếu x=0 thì y tùy ý khi đó P=3y+1 không đạt giá trị nhỏ nhất vì y nhỏ tùy ý suy ra P nhỏ tùy ý. Do đặt sai điều kiện nên lời giải bài toán đã thiếu một trường hợp. Lời giải đúng. Điều kiện: x 0 ; xy 0 Xét hai trường hợp. Trường hợp 1: Điều kiện: x 0 ; y 0 2 P x 2 xy 3y 2 x 1 x y 1 2 x y 2 y 2y 2 1 1 2 1 2 1 x y 1 2y 2 y x y 1 2 y 1 2 2 2 2 1 1 9 Từ đó đánh giá được min p= y ; x 2 4 4 Trường hợp 2: x=0 ;y tùy ý suy ra P =3y+1 không có giá trị nhỏ nhất vì y nhỏ tùy ý suy ra P nhỏ tùy ý. Kết luận chung : Biểu thức P không đạt giá trị nhỏ nhất. 3. MỘT SỐ BÀI TẬP CÙNG LOẠI. Sau khi áp dụng chuyên đề tôi cho một số bài tập cùng loại cho học sinh làm và kiểm tra một số bài trong đó. Bài 1. Tính giá trị biểu thức. 2 2 5 2 6 5 2 6 a)A= 3 2 3 2 2 b) B 7 2 6 7 2 6 24
12. x2 4x 3 d) 0 25 x2 1 1 4 Bài 7. Cho x và y là hai số dương. Chứng minh rằng x y x y ( THI VÀO LỚP 10 LÊ HỒNG PHONG 1992-1993 BAN A-B) 1 1 2 Bài 8. Cho x 1 và y 1. Chứng minh rằng : 1 x2 1 y2 1 xy (THI HSG HẢI PHÒNG 28-12-1993 VÒNG I) Bài 9. Tìm giá trị nhỏ nhất 1 a) A 5 2 6 x2 b) B x x 2012 c)C x 2 x 1 x 2 x 1 d) M a 3 4 a 1 a 15 8 a 1 * Tìm điều kiện của a để M được xác định. * Tìm giá trị nhỏ nhất của M và giá trị của a tương ứng. (THI HSG TP HỒ CHÍ MINH 1991-1992 VÒNG 2) 4. NHỮNG KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC. Sau khi áp dụng nội dung kinh nghiệm " Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán về căn bậc hai", học sinh biết cách làm bài và trình bày bài tốt hơn, ít bị sai sót nhầm lẫn hơn mà trước đó học sinh không làm được hoặc làm được nhưng không được điểm tối đa của bài. Mặt khác thông qua laoij toán này các em còn có kĩ năng làm các bài tập ở nội dung khác, thậm trí môn học khác, các em cũng có cái nhìn đầy đủ hơn, hoàn thiện hơn. Sau khi bồi dưỡng học sinh lớp 9A tại trường theo chuyên đề trên đồng thời kiểm tra 32 em với nội dung trên thì thu được kết quả là. 26
13. C.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ. Kinh nghiệm " Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán về căn bậc hai", đã phần nào giúp học sinh biết được các lỗi trình bày khi làm toán, giúp các em trình bày lời giải cho bài toán hoàn thiện hơn. Để kinh nghiệm áp dụng có hiệu quả tôi xin đề nghị nhà trường tạo điều kiện cho học sinh lớp 9 được học bồi dưỡng, có thể chỉ đạo dạy trong các tiết tự chọn về chuyên đề này để các em năm chắc nội dung học và được làm nhiều bài tập trên lớp, giáo viên phát hiện các lỗi các em hay mắc phải từ đó sửa chữa cho học sinh có hiệu quả hơn. Kinh nghiệm có khả năng áp dụng được cho các nội dung học tiếp theo, với lòng say mê nghề, tôi viết kinh nghiệm này mong muốn được học hỏi đồng nghiệp. Rất mong nhận được những đóng góp quí báu của đồng nghiệp và hội đồng khoa học các cấp. Tôi xin chân thành cảm ơn! 28