Sáng kiến kinh nghiệm Giải toán bằng cách lập phương trình

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giải toán bằng cách lập phương trình

1. Sáng kiến kinh nghiệm I/ đặt vấn Đề 1- Phương trình là một nội dung quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Dạy học về vấn đề phương trình không dừng ở việc dạy giải phương trình mà vấn đề cần qua tâm là dạy học “ Giải toán bằng cách lập phương trình”. Việc dạy giải toán bằng cách lập phương trình giúp học sinh thấy được tác dụng thực tế của lý thuyết phương trình trong khoa học đời sống. 2- “Giải toán bằng cách lập phương trình”là một trong những nội dung của cấu trúc các đề thi tốt nghiệp THCS hàng năm. Không những thế, trong các đề thi chọn lọc học sinh giỏi những năm trước đậy thường xuất hiện nội dung này. Vậy mà, trong những năm gần đây, vai trò của dạng toán giải bằng cách lập phương trình bị giảm đi ít nhiều, do đó giáo viên phổ thông cũng ít chú ý tới rèn kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình. 3- Học sinh, nếu có kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình, nhất là đối với phương trình bậc nhất và bậc hai thì thông qua đó rèn luyện khả năng toán học hoá các tình huống thực tế và ý nghĩa thực tế ở những bài toán có nội dung vật lý, kỹ thuật, làm quen với bài toán tối ưu, đơn giản và ứng dụng kỹ thuật về giải phương trình. Học sinh được phát triển tư duy về thuật toán, rèn luyện tính quy củ, khoa học, tính kỹ thuật trong giải toán, giáo dục đức tính cẩn thận, chính xác, thói quen kỹ thuật .đó là những phẩm chất không thể thiếu được của người lao động mới đang tiếp cận thế kỷ XXI – thế kỷ bùng nổ thông tin và trí tuệ. 4- Mỗi giáo viên toán đều nhận thức vai trò của loại toán này, trong tình trạng hiện nay, học sinh coi loại toán này là những bài toán “ khó chơi”, ngay cả với các em khá giỏi ở trường chuyên lớp chọn. Những lý luận sơ bộ trên đầy đủ chứng tỏ vai trò quan trọng của việc dạy học giải toán bằng cách lập phương trình trong quá trình rèn luyện khả năng tư duy toán học cho học sinh. Sau đây là nội dung của một vài phương pháp, cách thức góp phần rèn luyện kỹ năng giải loại toán bằng cách lập phương trình II- Nội dung thực hiện 1- Giải toán bằng cách lập phương trình là bài toán dựa vào các điều kiện đã cho của đầu bài để lập phương trình bậc nhất một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và phương trình bậc 2 một ẩn, đi tìm đại lượng nào đó theo yêu cầu của đầu bài. 1 Năm học 2007 – 2008
2. Sáng kiến kinh nghiệm 2- Quy tắc giải toán bằng cách lập phương trình gồm các phần sau đây. a) Lập phương trình của bài toán gồm các việc: - Chọn ẩn - Dùng ẩn và các số đã biết để biểu thị các số liệu chưa biết khác trong bài toán. b) Giải phương trình c) Nhận xét kết quả và trả lời Như vậy, trong việc giải toán bằng cách lập phương trình thì khâu mấu chốt là dạy học sinh biết cách “ Lập phương trình” xuất phát từ tình huống thực tế của bài toán. Để làm được điều đó vấn đề quan trọng là dạy cho học sinh biết xem xét những đại lượng trong các mối quan hệ với nhau, phát hiện những mối quan hệ về lượng giữa chúng để trên cơ sở đó có thể biểu thị được các đại lượng này qua đại lượng khác và từ đó đi lập phương trình. III- Rèn luyện khả năng giải toán bằng cách lập phương trình Ta hãy xét một vài bài toán sau đây làm ví dụ: “ Một xí nghiệp dự định sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do thi đua nên xí nghiệp đó đã sản xuất tăng năng suất thêm 5 sản phẩm mỗi ngày và do đó hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 6 ngày . Tính năng suất dự kiến của xí nghiệp đó” ( Đại số 9) Trước hết hướng dẫn học sinh ký hiệu x là năng suất dự kiến của xí nghiệp. Bằng cách gợi ra mối quan hệ “ Năng suất dự kiến + 5 = năng suất thực tế” Ta có thể hướng dẫn học sinh đi đến biểu thị năng suất thực tế qua năng suất dự kiến là x + 5 . Trên cơ sở giúp học sinh phát hiện mối quan hệ: “ Tổng sản lượng = năng suất x thời gian sản xuất”. Có thể dẫn dẵt học sinh biểu thị thời gian dự kiến là: 600 600 và thời gian sản xuất thực tế là x x 5 Bằng cách gọi mối quan hệ về thời gian dự kiến bớt đi 6 ngày và thời gian sản xuất thực tế có thể giúp học sinh đi đến lập phương trình: 2 Năm học 2007 – 2008
3. Sáng kiến kinh nghiệm 600 600 - 6 = x x 5 Qua ví dụ minh họa trên ta thấy, trong việc dạy học giải toán bằng cách lập phương trình cần xoáy vào hai khâu mấu chốt sau đây: III.1: Rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện những hệ thức giữa các đại lượng trong bài toán: Thông qua các ví dụ ( có thể lấy ví dụ trong sgk) cần làm cho học sinh ý thức được rằng những mối liên hệ giữa các đại lượng trong bài toán có thể chia ra làm 2 loại. a) Những mối liên hệ cụ thể ở bài toán đó b) Những mối liên hệ tổng quát có tính chất quy luật Thuộc về loại thứ nhất có thể kể như sau: “lấy ví dụ trên làm cơ sở” - Năng suất dự kiến + 5 = Năng suất thực tế - Thời gian dự kiến - 6 = Thời gian thực tế Hoặc ở bài toán khác: “ Vận tốc của máy bay quân sự gấp 3 lần vận tốc máy bay dân dụng. Nếu một máy bay dân dụng và một máy bay quân sự cất cánh cùng một lúc từ 2 sân bay cách nhau 950 km và bay ngược chiều nhau. Sau nửa giờ 2 máy bay cách nhau 150 km. Tính vận tốc của mỗi máy bay”. Loại thứ nhất này là một yêu cầu quan trọng và quyết định sự thành hay bại của bài toán. Có thể nói điều này là thước đo năng lực năng học giải toán bằng cách lập phương trình . Thuộc về loại thứ hai có thể nêu như sau - Tổng sản lượng = Năng suất x thời gian sản xuất - Đường đi = Vận tốc x Thời gian ( trong chuyển động đều) - Nửa chu vi = Chiều dài x chiều rộng . Trong khi mối liên hệ thứ nhất được nêu ra trong bài toán thì mối liên hệ thứ hai được coi là kiến thức học sinh phải nắm vững, những mối liên hệ này không được nêu ra trong bài toán mà học sinh phải dựa vào vốn kiến thức của mình để phát hiện ra chúng . Muốn trang bị đầy đủ vốn kiến thức này cho học sinh, người giáo viên cần 3 Năm học 2007 – 2008
4. Sáng kiến kinh nghiệm khái quát hoá lại cho các em các kiến thức có liên quan đến các dạng toán thường gặp trong chương trình ( đặc biệt những bài toán khó thuộc dạng khó). Ví dụ như: 1- Toán chuyển động a- Chuyển động thẳng Bài toán về chuyển động đều ta cần chú ý các đặc điểm sau + Trên quãng đường đi ở mọi thời điểm vận tốc luôn không đổi => sử dụng công thức S = v.t + Sự quay lại của một vật chuyển động được xem là tức thời ( tức là xảy ra với thời lượng không đáng kể) , vận tốc khi đó cũng thay đổi tức thời + Nếu vật chuyển động xuôi dòng nước thì Vt = Vr + Vn Vật chuyển động ngược dòng thì Vt = Vr - Vn ( Vt : Vận tốc thực ; Vr : vận tốc riêng ; Vn: vận tốc dòng nước ) + Nếu bài toán cho vận tốc của Bè thì vận tốc của Bè là vận tốc của dòng nước + Trong bài toán chuyển động thẳng đều có thể gặp các điều kiện sau đây : - Hai vật chuyển động ngược chiều để gặp nhau => S là khoảng cách ban đầu. S v1, v2: Vận tốc các vật thì thời gian gặp nhau bằng : v1 v2 - Hai vật chuyển động đuổi nhau ( cùng chiều ) thì thời gian để vật thứ nhất S đuổi kịp vật thứ hai là: (v1 v2) v1 v2 b- Bài toán về chuyển động trên đường tròn: - Nếu hai vật chuyển động ngược chiều nhau thì khoảng thời gian cần gặp nhau là 2R v1 v2 4 Năm học 2007 – 2008
5. Sáng kiến kinh nghiệm - Nếu hai vật chuyển động cùng chiều thì khoảng thời gian giữa các lần 2R gặp nhau là : (v1 v2) v1 v2 Ví dụ 1: Hai người đi bộ khởi hành từ 2 địa điểm A và B cách nhau 54 km. Họ đi ngược chiều nhau sau 6 giờ thì gặp nhau. Để đi 1km người đi từ A tốn ít hơn người đi từ B là 3 phút. Tính vận tốc của mỗi người * Thuộc về loại thứ nhất có thể kể Tổng vận tốc 2 người là : 54km : 6 = 9km/h - Để đi 54km người đi từ A kém người đi từ B khoảng thời gian là : 27 54km : 3 phút/km = giờ 10 * Thuộc về loại thứ hai có thể nêu là: Quãng đường Thời gian = Vận tốc Trên cơ sở đó gọi x là vận tốc của người đi từ A ( 0< x < 9 )Ta có phương trình 54 54 27 9 x x 10 2- Loại bài toán tính công và hiệu suất lao động: Trong loại toán này ta thường gặp các đại lượng sau đây t : thời gian cần để thực hiện công N : Hiệu suất lao động là công thực hiện trong 1 đơn vị thời gian: A: Công thực hiện trong thời gian t Ta có công thức: A = N x t * Những bài toán bơm chất lỏng vào bể ta có thể coi là bài toán thuộc loại này, khi đó ta xác định được thể tích bơm nước được chính là công thực hiện . Ví dụ 2: Hai vòi nước cùng chảy vào bể sau 1 h 20 phút đầy bể. Nếu vòi 2 thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy bể. Hỏi 15 mỗi vòi chảy 1 mình sau bao lâu thì đầy bể. 5 Năm học 2007 – 2008
6. Sáng kiến kinh nghiệm Kiến thức thuộc về loại thứ nhất: 2 + Hiệu suất vòi 1 x 10 phút + hiệu suất vòi 2 x 12 phút = bể 15 + Hiệu suất vòi 1x 1giờ 20 phút + hiệu suất vòi 2 x1 giờ 20phút = 1 bể Kiến thức thuộc về loại thứ hai Công A Hiệu suất lao động = ( trong đó A = 1) Thời gian làm Trên cơ sở đó ta lập được hệ : 1 1 80 80 1 x y 1 1 2 10 12 x y 15 (x , y : thời gian vòi 1 và vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là 1 giờ 20 phút = 80 phút) 3- Loại toán về tỷ lệ %, việc giải loại toán này cần chú ý các điểm sau Một đại lượng nào đó lúc đầu có giá trị A0. Sau một khoảng thời gian nhất định t1 nào đó đại lượng này tăng p% thì giá trị của đại lượng lúc đó là P 1 A = A + A A 1 100 100 Sau một khoảng thời gian t1 tiếp theo nữa thì giá trị của đại lượng lúc này là : P 1 A = A + A A 1 100 100 Tổng quát sau một khoảng thời gian n x t1 thì giá trị của đại lượng đó là : P A= A ( 1+ ) 100 Ví dụ 3: Giả sử một thành phố hiện tại có 42436 người và hàng năm dân số tăng 3 %. Tính xem cách đây 2 năm dân số thành phố là bao nhiêu ? * Kiến thức này thuộc loại thứ nhất: 6 Năm học 2007 – 2008
7. Sáng kiến kinh nghiệm Sau 1 năm số dân gấp: 1+3/100 = 1,03 lần so với dân số ban đầu Sau 2 năm gấp: ( 1,03)2 lần Mà số dân sau 2 năm là 42.436 người * Kiến thức thuộc loại thứ hai Công thức : Từ đó ta xây dựng được phương trình 2 103 42436= x . 100 4- Các bài toán về nông độ và hàm lượng phần trăm * Giải bài toán thuộc loại này ta cần chú ý các điểm sau Giả sử có 3 chất khác nhau: A, B ,C với khối lượng lần lượt là MA, MB, Mc khối lượng của hỗn hợp hợp thành từ 3 chất đó là : MA + MB + Mc - Nồng độ khối lượng chất A trong hốn hợp đó là CA được tính theo công thức: M A CA= M A M B M C Tương tự M B CB = M A M B M C M C CC = M A M B M C Hiển nhiên: CA + CB + CC= 1 - Hàm lượng phần trăm của các chất A, B, C trong hốn hợp đã cho là các lượng PA% , PB%, PC% tương ứng theo công thức: PA% = CA. 100%, PB% = CB.100%, PC% = CC. 100% - Nồng độ thể tích của các chất trong hốn hợp được rút theo công thức giống như nồng độ khối lượng nhưng thay các khối lượng M A, MB, Mc bằng thể tích VA, VB, VC . Thể tích của hốn hợp bằng tổng thể tích của các chất trong hốn hợp. 7 Năm học 2007 – 2008