Sáng kiến kinh nghiệm Gây hứng thú, rèn luyện khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua việc vẽ thêm đường phụ

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Gây hứng thú, rèn luyện khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua việc vẽ thêm đường phụ

1. A) ĐẬT VẤN ĐỀ Trong quá trình dạy học ở trường phổ thông, việc nâng cao hứng thú học tập của học sinh nhằm nâng cao chất lượng dạy học là hết sức cần thiết. Trong học tập, hứng thú có vai trò rất quan trọng, có hứng thú trong học tập, học sinh sẽ có động lực vượt qua các rào cản tâm lý, có sự tập trung chú ý vào đối tượng nhận thức, nhờ đó việc ghi nhớ dễ dàng và sâu sắc hơn, quá trình tư duy sẽ tích cực hơn, sự tưởng tượng sẽ phong phú hơn Điều này đã được đại văn hào Macxim Goocki khái quát: “Tài năng, nói cho cùng là tình yêu đối với công việc”. Rõ ràng, việc tạo hứng thú học tập cho học sinh là điều hết sức cần thiết và rất có ý nghĩa khoa học về giáo dục. Các nhà tâm lí học nghiên cứu và chỉ ra rằng hứng thú có một vai trò quan trọng trong quá trình hoạt động của con người. Nó là động cơ thúc đẩy con người tham gia tích cực vào hoạt động đó. Khi được làm việc phù hợp với hứng thú dù phải khó khăn con người cũng vẫn cảm thấy thoải mái và đạt được hiệu quả cao. Trong hoạt động học tập, hứng thú có vai trò hết sức quan trọng, thực tế cho thấy hứng thú đối với các bộ môn của học sinh tỉ lệ thuận với kết quả học tập của các em. Sự hứng thú thể hiện trước hết ở sự tập trung chú ý cao độ, sự say mê của chủ thể hoạt động. Sự hứng thú gắn liền với tình cảm của con người, nó là động cơ thúc đẩy con người tham gia tích cực vào hoạt động đó. Trong bất cứ công việc gì, nếu có hứng thú làm việc con người sẽ có cảm giác dễ chịu với hoạt động, nó là động cơ thúc đẩy con người tham gia tích cực và sáng tạo hơn vào hành động đó. Ngược lại nếu không có hứng thú, dù là hành động gì cũng sẽ không đem lại kết quả cao. Đối với các hoạt động nhận thức, sáng tạo, hoạt động học tập, khi không có hứng thú sẽ làm mất đi động cơ học, kết quả học tập sẽ không cao, thậm chí xuất hiện cảm xúc tiêu cực. Thực tế, có nhiều biện pháp có thể nâng cao hứng thú học tập cho học sinh, nhưng việc tạo thêm yếu tố phụ, vẽ thêm đường phụ từ một bài tập nào đó để học sinh phát hiện vấn đề mới nãy sinh và giải quyết được vấn đề đó đã tạo được hứng thú cao độ đối với học sinh khá, giỏi. Thông qua việc tạo thêm yếu tố phụ, vẽ thêm đường phụ đã rèn luyện được khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh, giúp học sinh không chỉ nắm được kiến thức, kỹ năng cần thiết mà còn rèn luyện ở học sinh thái độ tích cực chủ động trong học tập và cao hơn nữa là học sinh học được cả cách để có được kiến thức và kỹ năng đó. Trong 35 năm làm công tác giảng dạy, nhiều năm làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, bản thân tôi đã sử dụng nhiều biện pháp để làm cho học sinh hứng thú học tập, học tập tích cực và sáng tạo. Sử dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong các buổi dạy nâng cao, các buổi bồi dưỡng học sinh giỏi, các buổi ôn thi. Trong bài viết này tôi xin được trình bày một kinh nghiệm của bản thân với tựa đề “ Gây hứng thú, rèn luyện khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua việc vẽ thêm đường phụ” .Vì thời gian và khuôn khổ của bài viết tôi chỉ tập trung nêu lên những việc đã làm thông qua một số ví dụ điển hình, tôi rất mong có được sự đón nhận của các đồng nghiệp và hội đồng khoa học. 1
2. các kiến thức đã học, vận dụng được các kiến thức đó một cách lô gic. Trong các buổi ôn thi vào lớp 10 phổ thông trung học đưa ra các bài tập có xuất xứ từ sách giáo khoa, trên cơ sở hình vẽ để giải bài tập đó đặt vấn đề tạo ra yếu tố phụ, vẽ thêm đường phụ làm xuất hiện một hệ thống các bài tập khác nhau, nêu ra nhứng định hướng cơ bản nhất ở những thời điểm thích hợp để học sinh phát hiện và giải được các bài tập đó. Thông qua việc tổ chức chuyên đề bộ môn, chọn một số bài tập có vẽ thêm đường phụ thì mới giải được, xây dựng các định hướng chính để học sinh biết vẽ thêm đường phụ theo các cách khác nhau, tổ chức cho học sinh khá giỏi rèn luyện kỹ năng vẽ thêm đường phụ. Ví dụ 1: (Bài tập 30 trang 116 , SGK hình học lớp 9) Bài tập 1: Cho nữa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nữa mặt phẳng bờ AB chứa nữa đường tròn đó vẽ các tia tiếp tuyến Ax , By. Trên nữa đường tròn lấy điểm M, vẽ tiếp tuyến của nữa đường tròn tại M cắt Ax và By lần lượt tại C và D. Chứng minh rằng : a) C· OD = 900 b) CD = AC + BD c) AC. BD không đổi khi M di chuyển trên nữa đường tròn. Từ hình vẽ để giải bài tập 30 trang 116, SGK hình học lớp 9(Tôi xem là bài tập 1) tổ chức cho học sinh các hoạt động sau đây: HĐ1: Gọi giao điểm của BC và AD là N, cho học sinh nhận xét vị trí của MN với AC và BD. Cho HS chứng minh MN //AC//BD. CN AC Hướng dẫn: Vì AC//BD nên theo định lý Ta Lét ta có: NB BD CN CM Vì AC =CM, BD = MD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên NB MD MN//BD//AC HĐ 2: Kéo dài MN cắt AB tại H, cho học sinh so sánh độ dài của NM và NH. Hướng dẫn: y x MN CN Vì MN//BD nên theo định lý TaLét ta có: (1) BD CB D M NH AN Vì NH //BD nên theo định lý TaLét ta có: (2) BD AD C N Vì AC//BD nên theo định lý TaLét ta có: A B H O CN AN CN AN AN AN (3) NB ND CN NB AN ND CB AD 3
3. M, vẽ tiếp tuyến của nữa đường tròn tại M cắt Ax và By lần lượt tại C và D. Gọi giao của BM và Ax là F, Giao của DC với BA tại Q, giao của QF với By là P. a) So sánh AC và CF; BD và DP. Có nhận xét gì về vị trí của 3 điểm A; M; P CM DM b) Chứng minh: CQ DQ HĐ 5: Gọi giao điểm của OC và AM là I; giao điểm của OD và MB là K, có nhận xét gì về IK và AB? Gọi G là trọng tâm của tam giác AMB. Khi M di chuyển trên nữa đường tròn thì điểm G và điểm K di chuyển trên đường nào? y Hướng dẫn: Ta có: CM = CA (tính chất hai tiếp tuyến cắt x nhau) ; OA = OM (= R) OC là trung trực của AM OC  D AM tại trung điểm I của AM Tương tự có OD  BM tại trung điểm K của BM M C 1 K IK là đường trung bình của AMB IK//AB và IK = AB I G 2 A B O Vì OD  BM tại K nên O· KB = 900 Khi M di chuyển trên nữa đường tròn (O) thì K chuyển động trên nữa đường tròn đường kính OB cố định. Vì G là trọng tâm của tam giác AMB, MO là trung tuyến nên G MO và GO = 1 OM = 1 R ( Với R là bán kính đường tròn (O) ) 3 3 Khi M di chuyển trên nữa đường tròn (O) thì G chuyển động 1 y trên nữa đường tròn tâm O, bán kính R x 3 D HĐ 6: Vẽ MH vuông góc với AB, Xác định vị trí của M để chu vi tam giác MHO có giá trị lớn nhất. M Hướng dẫn: C Đặt chu vi tam giác MHO là p. Ta có p = OH + MH + OM A B H O = OH + MH + R Lại có: (OH + MH)2 2 ( OH2 + MH2 ) = 2 MO2 = 2 R2 OH + MH R 2 p R 2 + R = (1 + 2 ) R Chu vi tam giác MHO lớn nhất bằng (1 + 2 ) R khi OH = MH M· OH = 450 Vậy chu vi tam giác MHO lớn nhất bằng (1 + 2 ) R khi M sao cho M· OA = 450 hoặc M· OB = 450 5
4. là E và F ( E nằm giữa M và O) AE và ND có phải là phân giác của các góc MAN và ANB không? Hướng dẫn: + Chứng minh ∆ MND = ∆MNC (c.g.c) + Chứng minh ∆ MOD = ∆MOC (c.c.c) M· DO M· CO mà M· DO 900 nên N· CO 900 MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) + Vì AEFB nội tiếp đường tròn (O) nên: M· AE O· FB , mà ∆ OBE cân tại O, góc NOB 1 1 là góc ngoài của ∆ OBE nên N· OB 2O· FB O· FB N· OB M· AE N· OB (1) 2 2 + Tứ giác ANOB nội tiếp đường tròn nên M· AN N· OB (2) 1 + Từ (1) và (2) M· AE M· AN AE là phân giác của góc MAN 2 + Tứ giác ANOB nội tiếp đường tròn nên ·ANE O· BA và O· AB O· NB (3) mà ∆ OAB cân tại O nên O· AB O· BA O· AB ·ANE (4) + Từ (3) và (4) O· NB ·ANE , mà ·ANE ·AND O· NB B· ND 900 nên: ·AND B· ND ND là phân giác của các góc ANB Ta có thêm bài tập nào? Hãy phát biểu nội dung bài tập đó? Bài tập 2.2: Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M ở ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MD và cát tuyến MAB. Vẽ DN vuông góc với OM (N MO). Gọi giao của DN với đường tròn (O) là C. Gọi giao của tia MO với đường tròn (O) là E và F ( E nằm giữa M và O). Chứng minh rằng: a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) b) AE là phân giác của góc MAN c) ND là phân giác của các góc ANB HĐ 3: Vẽ lại hình bài tập 2, kẻ thêm tiếp tuyến MC với đường tròn (O), gọi giao của OM với CD là N. ∆ MCO là tam giác gì? CN đóng vai trò gì C E của ∆ MCO? MC2 bằng tích của hai đoạn thẳng nào? O Hướng dẫn: Ta có MC = MD (tính chất hai tiếp tuyến cắt N nhau); OC = OD(=R) nên OM là trung trực của CD OM  B I CD tại N A K M D Ta có OC  MC (tính chất tt) ∆ MCO vuông tại C, có CN là đường cao nên MC2 = MN. MO (hệ thức lượng trong tam giác vuông) HĐ 4: Kẻ dây CE song song với AB, nối E với D cắt AB tại I. Nêu nhận xét vị trí của đường thẳng OI và đường thẳng AB. So sánh độ dài của IA và IB. Chứng minh OI  AB và IA =IB Hướng dẫn: Vì CE//AB nênC· ED M· ID (1) ( Hai góc đồng vị) 7
5. R 2 Lại có MO.ON = OD2 = R2 FO = (không đôi) F cố định; CD đi qua điểm cố OI định là F Ta có thêm bài tập nào? Bài tập 2.4: Cho đường tròn (O; R). Một đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm A và B. M là điểm di chuyển trên tia đối của tia AB. Qua M vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn (O;R) là MC và MD. Chứng minh rằng đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định. HĐ 7: Từ A kẻ một đường thẳng vuông góc với OD cắt CD và DB tại P, Q. So sánh PA và PQ. Hướng dẫn: Do 5 điểm M, C, O, I, D đường tròn đường kính MO DMˆI = DCˆI (1). Lại có AQ // MD ( vì cùng  OD ) DMˆI = PAˆI (2) (đồng vị) Từ (1) và (2) PAˆI = DCˆI tứ giác ACIP nội C ˆ ˆ tiếp ACD = AIP (3). E ACˆD ABˆD Mà = (4) ( hai goác nội tiếp cùng chắn O cung AD) N ˆ ˆ I Từ (3) và (4) AIP = ABD IP // BD IP // A M P B BQ mà IA = IB nên PA = PQ. Q Ta có thêm bài tập nào? Hãy phát biểu nội dung D bài tập đó? Bài tập 2.5: Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến MCvà MD (C và D là các tiếp điểm) vẽ cát tuyến MAB. Từ A kẻ một đường thẳng vuông góc với OD cắt CD và DB lần lượt tại P và Q. So sánh PA và PQ. F HĐ 8: Kẻ thêm dây CE song song với MD, nối ME cắt đường tròn (O) tại F; nối CF cắt MD tại N. So sánh NM và ND. Hướng dẫn: C +) Chứng minh ∆ NDF : ∆NCD (g-g) E O ND NF 2 ND = NC.NF (1) F NC ND A +) Chứng minh ∆ NMF : ∆NCM (g-g) M B N 2 NM = NC.NF (2) D Từ (1) và (2) ND = NM 9
6. AD lấy điểm C, tại C vẽ tiếp tuyến của đường tròn, từ P vẽ đường thẳng vuông góc với OP cắt tiếp tuyến ở C tại B. Nối CH cắt OB tại N, có nhận xét gì vị trí của CN và OB? OH OC Hướng dẫn: Có OH. OP = OA2 = OC2 OC OP OHC : OCP (c.g.c) C· PO N· CO (1) Tứ giác BPCO nội tiếp đường tròn đường kính OB nên C· PO C· BO (2) Từ (1) và (2) C· BO N· CO mà C· BO C· ON 900 Nên N· CO C· ON 900 CNO vuông tại N CN  OB Ta có thêm bài tập nào? Hãy phát biểu nội dung bài tập đó. Bài tập 2.8: Từ điểm P ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến PA. Nối OP cắt đường tròn (O) tại D, vẽ AH vuông góc với OP ( H OP). Trên cung nhỏ AD lấy điểm C, tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng vuông góc với OP tại P ở B. Chứng minh CH  OB HĐ 11: Vẽ đường tròn (O), từ điểm M ở ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến MA và MB, Gọi giao của MO với đườn tròn là B ( O nằm giữa M và D). Nối AB cắt MO tại G, có nhận xét gì vị trí của MO với AB? điểm G có phải là trung điểm của đoạn AB không? Vẽ AE vuông góc với BD, gọi F là trung điểm của AE, DF cắt đường tròn (O) tại C, nối AC, nối CG có nhận xét gì số các đo góc ACG ? MCB? Hướng dẫn: A *) Ta có GF là đường trung bình của ABE C F GF//BD, mà BD  AE nên GF  AE D G G· FA 900 M O E Ta có: ·AGF ·ABD(soletrong)(1) ; ·ABD ·ACF (2) B ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) Từ (1) và (2) ·ACF ·AGE Tứ giác ACGF nội tiếp ·ACG G· FA 1800 Mà G· FA 900 nên ·ACG 900 *) Tứ giác ACGF nội tiếp G· CD B· AE B· AE G· DB ( cùng phụ với ·ABE ) nên G· CD G· DB C· GM G· CD C· DG ( Góc ngoài của tam giác CGD) C· GM G· DB C· DG C· DB C· BM Từ C· GM C· BM MCGB nội tiếp M· CB M· GB , mà M· GB 900 nên M· CB 900 Ta có thêm bài tập nào? Hãy phát biểu nội dung bài tập đó. 11
7. (O) và (O’) lần lượt tại E và F (B nằm giữa E và F). Xác định vị trí của d để EF có độ dài lớn nhất. HĐ3: Nối AE, nối AF có nhận xét gì về quan hệ của AEF và ACD? hãy dự đoán xem khi d ở vị trí nào thì chu vi AEF đạt GTLN ? A Hướng dẫn: Kẻ đường thẳng đi qua B vuông góc với AB. d O O' Theo bài 3.1 thi AC và AD lần lượt là các đường kính của E (O) và (O’). Đặt p = chu vi ACD ta có p không đổi. D C B F Chuvi AEF Dễ dàng cm được AEF : ACD (g-g) = Chuvi ACD AE AE AC Chuvi AEF mà AE AC = 2R nên = 1 1 AC AC AC Chuvi ACD Chu vi AEF p không đổi Chu vi AEF lớn nhất bằng p AE = AC = 2R hay khi và chỉ khi d  AB . Vậy khi d ở vị trí vuông góc với AB thi chu vi tam giác AEF lớn nhất. Ta có thể có thêm bài tập nào? Hãy phát biểu nội dung bài tập đó? Bài tập 3.3. Hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B. (O và O’ thuôc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB) Đường thẳng d đi qua B lần lượt cắt (O) và (O’) tại E và F. Xác định vị trí d để chu vi tam giác AEF lớn nhất. HĐ 4: Từ hình vẽ bài 3.3 đường thẳng d đi qua G B không vuông góc với AB; cắt (O) và (O’) lần A lượt tại C và D, kẻ thêm các đường kính DO’G và E COF. Ba điểm B; G; F có thẳng hàng không? Gọi d F O' ’ O giao của DO’ với CO là E, các điểm O, A, E, O C có cùng thuộc một đường tròn không? B D Hướng dẫn: a/ Ta có CBˆF GBˆD 900 FB  CD,GB  CD Ba điểm F,G,B thẳng hàng. b/ Ta có FOˆA 2.FCˆA 2.FBˆA;GOˆ ' A 2FBˆA suy ra EOˆA EOˆ ' A. Do đó bốn điểm E, O, O’, A cùng thuộc một đường tròn Ta có thể có thêm bài tập nào? Hãy phát biểu nội dung bài tập đó. Bài tập 3.4. Hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B. (O và O’ thuôc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Qua B kẻ đường thẳng d không vuông góc với AB, lần lượt cắt (O) và (O’) tại C và D. Kẻ các đường kính DO’G và COF. Tia CO cắt tia DO’ tại E. Chứng minh a/ Ba điểm B; G; F thẳng hàng b/ Bốn điểm O, E, A, O’ cùng thuộc một đường tròn. 13
8. a/ Chứng minh tứ giác OMBO’ nội tiếp đường tròn. b/ Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B phải có thêm điều kiện gì thì 5 điểm A, O, M, B, O’ cùng thuộc một đường tròn. HĐ 7: Từ hình vẽ giải bài 3.6, gọi giao của tia MO với (O) là P; giao của tia MO’ với (O’) là Q. Có nhận P A xét gì về tam giác MPQ ? Ba điểm P; A; Q có thẳng Q hàng không? O O' Hướng dẫn: Ta có AOMO’ là hình bình hành nên OM =AO’ = QO’ = R’; MO’ = OA = OP = R C M B D MP = MO + OP = R +R’; MQ = MO’ + O’Q = R + R’ MP = MQ MPQ là tam giác cân. 1800 O· MO ' 1800 ·AOP Ta có O· M O' ·AOP (Đồng vị); M· PQ ; M· PA 2 2 M· PQ M· PA Tia PA và tia PQ trùng nhau P; A; Q thẳng hàng. Ta có thể có thêm bài tập nào? Hãy phát biểu nội dung bài tập đó. Bài tập 3.7 Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B. (O và O’ thuôc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Lần lượt kẻ các đường kính AC và AD của (O) và (O’), gọi M là trung điểm của CD. Gọi giao của tia MO với (O) là P; giao của tia MO’ với (O’) là Q. Chứng minh tam giác MPQ là tam giác cân và ba điểm P;A;Q thẳng hàng. HĐ 8: Vẽ đường thẳng d vuông góc với AM tại A cắt (O) và (O’) lần lượt tại P và Q. Có nhận xét gì về AP và AQ? Kéo dài AM cắt (O) tại G so sánh CG và AQ? Hướng dẫn: Gọi giao của d và (O) là P, do G· AP C· PA C· GA 900 AGCP là hình chữ nhật P CG = AP (1) A Q C· PA D· QA 900 CPQD là hình thang vuông. O O' d Có MA//CP//QD (cùng vuông góc với QP) mà M là M C trung điểm của CD nên A là trung điểm của CQ hay B D AP = AQ (2) G Từ (1) và (2) CG = AQ Ta có thể có thêm bài tập nào? Hãy phát biểu nội dung bài tập đó. Bài tập 3.8 Hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuôc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Lần lượt kẻ các đường kính AC và AD của (O) và (O’). Gọi M là trung điểm của CD. AM cắt (O) tại G. Đường thẳng d qua A vuông góc với AM cắt đường tròn (O’) tại Q. Chứng minh CG = AQ 15