Sáng kiến kinh nghiệm Duy trì bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Duy trì bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán

1. Duy trì bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán I. đặt vấn đề “ Hiền tài là nguyên khí Quốc gia’’, nguyên khí vượng thì Quốc gia vượng. . Đánh giá sự phát triển của một Quốc gia trước hết là đánh giá sự phát triển của ngành giáo dục của Quốc gia đó. Bất kỳ một Quốc gia nào có nền giáo dục hiện đại, phát triển đều có sự tăng trưởng kinh tế vững mạnh. Vì vậy phát triển giáo dục và đào tạo là một trong những động lực quan trọng thúc đẩy sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá,là điều kiện để phát huy nguồn lực con người, là yếu tố cơ bản để phát triển xã hội, và tăng trưởng kinh tế bền vững. Những năm gần đây nền GD Việt Nam đã và đang chuyển mình theo su thế phát triển của nền GD thế giới, đó là cuộc cánh mạng đổi mới chương trình, nội dung sách giáo khoa và đổi mới phương pháp giảng dạy trong các cấp học: Tiểu học, THCS, THPT. Gần đây nhất một cuộc cánh mạng mới đang bừng sáng trong lĩnh vực giáo dục đó là cuộc vận động hai không : “ Nói không với tiêu cực trong thi cử và bệnh thành tích trong giáo dục ” của Bộ Trưởng bộ GD-ĐT Nguyễn Thiện Nhân. Tất cả những sự thay đổi đó đều nhằm mục đích phục vụ cho sự phát triển bền vững của đất nước, để góp phần vào sự phát triển của nền giáo dục Việt Nam. Mỗi thày cô giáo là một yếu tố không thể thiếu, bằng lương tâm, khối óc và trách nhiệm trước sự trường tồn của cả một dân tộc cần phải phấn đấu hết sức mình, cống hiến hết sức lực và trí tuệ của mình nhằm dìu dắt thế hệ trẻ Việt Nam vững bước xây dựng thiên niên kỷ mới với một hành trang tri thức vững vàng. Trong nội dung sáng kiến này tôi chỉ xin đề cập đến một phần rất nhỏ của hành trang tri thức ấy đó là: “Biện pháp duy trì bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9 ở trường THCS ”. II. Nội dung A. Cơ sở khoa học. 1. Cơ sở lý luận: Bồi dường học sinh giỏi là một hoạt động không thể thiếu của ngành GD nói chung và của các trường THCS nói riêng. Đánh giá chất lượng một ngành học ngoài việc nhìn vào chất lượng đại trà thì chất lượng mũi nhọn cũng góp phần không nhỏ Làm thế nào để vừa duy trì chất lượng GD toàn diện vừa làm tốt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Đòi hỏi người thay phải đổi mới phương pháp dạy và trò phải đổi mới phương pháp học phù hợp với su thế phát triển chung của nền GD thế giới. Nếu chỉ trang bị cho HS các kiến thức đơn thuần sách giáo khoa thì tầm nhìn học sinh bị hạn chế. Nếu nền tảng kiến thức từ cấp THCS của học sinh không vững, không sâu, khả năng tư duy kém phát triển thì thế hệ trẻ Việt Nam thì sẽ khó bắt nhịp được với tốc độ phát triển đến chóng mặt của khu vực và thế giới. Vì vậy việc giáo dục toàn diện cũng như bồi dưỡng HSG ở trường THCS là việc làm không thể thiếu, là điều kiện giúp các em thực hiện được lời dặn dò đau đáu của Bác Hồ vị cha già kính yêu lúc sinh thời đã dạy: “ Non sông Việ Nam có trở nên tươi đẹp hay không dân tộc Việt nam có bước tới Trang 1
2. đài vinh quang để sánh vai với các cường quốc năm châu hay không chính là nhờ 1 phần lớn ở công học tập của các em ”. 2. Cơ sở thực tiễn: Hệ thống bài toán THCS rất đa dạng phong phú. Nếu không có phương pháp học tập tốt thì học sinh khó nắm bắt được tư duy thuật giải cho mỗi dạng bài tập. Để trở thành một học sinh giỏi bộ môn toán việc tìm tòi phân dạng bài tập theo từng chuyên đề rất cần thiết. Có như vậy các em mới tự mình rèn luyện kỹ năng giải toán, biến kỹ năng thành kỹ sảo và xây dựng cho mình khả năng tư duy độc lập, sáng tạo, tự tìm kiếm kho tàng kiến thức để chiếm lĩnh. Với chút kinh nghiệm trong một số năm làm công tác bồi dưỡng HSG ở trường , tôi nhận thấy ngoài chương trình chính khoá SGK và sách bài tập đã cung cấp thì để bồi dưỡng được HSG môn toán 9. Giáo viên có thể định hướng cho học sinh tìm hiểu sâu hơn một số chuyên đề đối với cả 3 bộ môn: Số học, Đại số, Hình học như sau: 2.1. Đối với môn số học cần tìm hiểu thêm một số chuyên đề: - Số nguyên tố, hợp số, số chính phương chia hết trong tập số nguyên và phương trình nghiệm nguyên. 2.2. Đối với môn đại số cần tìm hiểu thêm một số chuyên đề: - Hằng đẳng thức và 1 số phép biến đổi hằng đẳng thức. - Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng. - Bất đẳng thức, bất phương trình và ứng dụng. - Phương trình, hệ phương trình. - Tính giá trị biểu thức có điều kiện. - Bài tập cực trị đại số ( có điều kiện hoặc không có điều kiện). 2.3. Đối với môn hình học cần tìm hiểu thêm một số chuyên đề: - Định lý Talét trong tam giác và ứng dụng. - Các dạng của tứ giác, tứ giác nội tiếp. - Bài tập cực trị độ dài, diện tích. - Bài tập quỹ tích. B. Nội dung cụ thể: Để khai thác được các bất đẳng thức trong quá trình bồi dưỡng HSG giáo viên cần giới thiệu để học sinh nắm chắc và hiểu rõ cơ sở lí thuyết về bất đẳng thức. 1. Cơ sở lí thuyết I.1 Định nghĩa cho bất đẳng thức: Cho 2 số a, b. ta có: - a lớn hơn b ( a > b ) nếu a-b > 0 - a nhỏ hơn b ( a < b ) nếu a-b < 0 - a lớn hơn hoặc bằng b ( a b ) nếu a -b 0 - a nhỏ hơn hoặc bằng b ( a b ) nếu a-b 0 1.2 Các tính chất của bất đẳng thức: Trang 2
3. a c 1.2.1 a > b b b => a + c > b + c 1.2.9 a > b > 0 => an > bn a > b an > bn ( n lẻ) a b 1.2.4  a c b d a > b an > bn ( n chẵn) c d a b 1.2.5  a c b d 1.2.10. m > n > 0 thì a > 1 => am > an c d a = 1 => am = an 0 am > an a b  1 1 1.2.6  ab 0 a b 1.3 Các hằng bất đẳng thức. 1.3.1 a2 0: - a2 0 a 1.3.2 a 0 dấu “=” xảy ra : a = 0 1.3.3 - a a a dấu “=” xảy ra : a = 0 1.3.4 a b a b dấu “=” xảy ra : ab 0 1.3.5 a b a b dấu “=” xảy ra : ab 0 và a b 1.4 Một số bất đẳng thức thường sử dụng 1.4.1 Bất đẳng thức côsi. a + b 2 ab (với a 0 ; b 0 ) dấu “=” xảy ra: a = b. 1 1 4 * Hệ quả 1: ( ab > 0) a b a b a b * Hệ quả 2: + 2 ( ab > 0) b a 1.4.2 Bất đẳng thức Bunhia Cốpxki. ( ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) dấu “=” xảy ra: ay = bx. 1.5 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Trang 3
4. Có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức lựa chọn phương pháp nào là tuỳ thuộc vào tính chất, yêu cầu của mỗi bài tập và căn cứ vào kĩ năng nhận biết của học sinh. Để tạo điều kiện cho học sinh tiếp thu tốt, luyện các kĩ năng toán và các thao tác trí tuệ tôi đã hướng dẫn học sinh nghiên cứu 7 phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1.5.1 Dùng định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức. - Để chứng minh : A > B ta xét hiệu A - B và chứng minh A - B > 0 1/ Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức ( ax + by)2 ≤ (a2 + b2 )( x2 + y2) ( với a, b, x, y R ) Xét hiệu: ( ax + by)2 - (a2 + b2 )( x2 + y2) = (ax)2 + 2axby + (by)2 - (ax)2 - (ay)2 - (bx)2 - (by)2 2 2 2 = - [ (ay) - 2axby + (bx) ] = - (ay - bx) ≤ 0 Dấu “=” xảy ra : ay = bx. Vậy: ( ax + by)2 ≤ (a2 + b2 )( x2 + y2) ( với a, b, x, y R ) Dấu “=” xảy ra ay = bx (điều phải chứng minh) 1.5.2. Dùng phép biến đổi tương đương. Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức a/ a b a b (1) a b 2 ( a b )2 ( vì 2 vế không âm nên bình phương 2 vế) a2 + 2ab + b 2 a2 + 2 ab + b2 ab ab (2) Bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) luôn đúng. Vậy a b a b , dấu “=” xảy ra : ab 0 . b/ Chứng minh bất đẳng thức: a b a b (3) Nếu a 1 chứng minh rằng a4 + b4 > 8 Ta có: a + b > 1 > 0 (a + b)2 > 1 (bình phương 2 vế không âm) a2 + 2ab + b 2 > 1 (1) Mặt khác: (a - b)2 0 a2 - 2ab + b 2 0 (2) Trang 4
5. 1 Từ (1)(2): 2(a2+ b2) > 1 a2+ b2 > (3) 2 1 (a2+ b2) > (bình phương 2 vế (3)) 4 1 a4 + 2a2 b2 + b 4 > (4) 4 Mà (a2- b2)2 0 a4 - 2a2 b2 + b 4 0 (5) 1 1 Từ (4)(5): 2(a4+ b4) > a4+ b4 > 4 8 1 Vậy: a + b > 1 => a4+ b4 > (*) 8 1.5.4 Phương pháp làm trội: muốn chứng minh A 0. M = a c b c c a Chứng minh: 1 0. Ta có: a a   a b a b c b b a b c a b c   > = 1 b c a b c a c b c c a a b c c c  a c a b c  Vậy M > 1. (1) Ta có: a, b, c > 0 a a c a c 0) 1.5.5 Dùng Phương pháp phản chứng: Ví dụ: Cho a2+ b2 2 Chứng minh rằng a + b 2 Giả sử: a + b > 2 (bình phương 2 vế) (a + b)2 > 4 a2 + 2ab + b 2 > 4 (1) Mặt khác: (a - b)2 0 a2 - 2ab + b 2 0 Trang 5
6. a2+ b2 2ab => 2(a2+ b2 ) a2 + 2ab + b 2 a2+ b2 2 (giả thiết) => 2(a2+ b2 ) 4 => a2 + 2ab + b 2 4` (2) Bất đẳng thức (1) và (2) mâu thuẫn => giả sử sai. Vậy a2+ b2 2 thì a + b 2 1.5.6 Phương pháp quy nạp toán học: Ví dụ: Chứng minh rằng với x > -1 thì (1 + x)n 1 + nx (với n Z, n > 0) * Với n = l ta có: 1 + x l + x * Giả sử đúng với n = k (k nguyên dương) (l + x)k l + kx (1) * PhảI chứng minh đúng với n = k + l. (l + x)k+1 l + (k + 1)x Thật vậy: (1+x) >0 (gt) (1 + x)(l + x)k ( l +kx)(1 + x) ( nhân 2 vế với (1)) (l + x)k 1 + x(k + l) + kx2 Vì kx2 0 => l + (k + l)k + kx2 l + (k + l)x => (1 + x)k+l l + (k + l)x Dấu “=” xảy ra: x = 0 1.5.7 Dùng phương pháp hình học Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức sau: (a2 c2 )(b2 c2 ) + (a2 d 2 )(b2 d 2 ) (a + b) (c + d ), trong đó a, b, c, d là các số thực dương. B b Giải: Xét tứ giác ABCD có AC  BD, O là A a c C giao điểm hai đường chéo, OA = a, OB = b, O OC = c, OD = d với a, b, c, d là các số dương Theo định lí Py-ta-go: d AB = a2 c2 ; BC = b2 c2 ; 2 2 2 2 AD = a d ; CD = b d ; D AC = a + b ; BD = c + d Ta có: AB . BC 2 S ABC ; AD . CD 2 S ADC AB . BC + AD . CD 2 S ABCD = AC . BD Vậy (a2 c2 )(b2 c2 ) + (a2 d 2 )(b2 d 2 ) (a + b) (c + d ) với a, b, c, d 0 Có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhicốp xki để chứng minh bất đẳng thức trên. 2. Nội dung bàI tập: Bước phân loại, chọn lọc hệ thống bài tập theo từng dạng phù hợp với trình độ học sinh, giúp học sinh hình thành được cách giải bài tập và đưa ra được nhiều phương án giải, phát triển khả năng tư duy lô gíc, hỗ trợ việc tự học, tự nghiên cứu của học Trang 6