Sáng kiến kinh nghiệm Dùng phương pháp quy nạp để giải một số bài tập không mẫu mực

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Dùng phương pháp quy nạp để giải một số bài tập không mẫu mực

1. 1 sử dụng p2 qui nạp để giải một số bài toán không mẫu mực Trường THCS Xuân Lam - Thọ xuân - thanh hoá A. đặt vấn đề I/ Lời mở đầu : Ngày nay sự phát triển của tất cả các nghành khoa học cơ bản cũng như ứng dụng và tất cả các nghành công nghiệp then chốt như dầu khí viễn thông, hàng không đều không thể thiếu toán học và càng gắn bó mật thiết với toán học. sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin thực sự đã dẫn đến hiện tượng "Bùng nổ" các ứng dụng của toán học đem lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội. Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí. Toán học không chỉ cung cấp cho người học toán những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu để phát triển và rèn luyện khả năng tư duy lo gic, phương pháp suy luận khoa học. Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học, phương pháp giải bài tập cho từng dạng, từng bài tập khác nhau, góp phần hình thành và phát triển tư duy học sinh. Đồng thời qua việc học toán người học còn được bồi dưỡng rèn luyện về tính kiên trì, tinh thần vượt khó và các thao tác tư duy để giải các bài tập toán đặc biệt là các bài toán khó, các bài toán không mẫu mực. Trong một số năm dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi tôi đã tích luỹ được một số kinh nghiệm , kiến thức về giải các bài toán không mẫu mực bằng ph- ương pháp qui nạp nên xin được trao đổi chút ít kinh nghiệm của mình để có thể giúp các bạn tham khảo. Đồng thời mong muốn được trưng cầu ý kiến đóng góp bổ sung của các đồng nghiệp để ngày càng hoàn thiện hơn giúp chúng ta đạt đư- ợc kết quả ngày càng cao hơn trong công tác bồi dưỡng học sinh khá giỏi. II/ Thực trạng của vấn đề nghiên cứu : ở cấp trung học cơ sở khi hướng dẫn bồi dưỡng học sinh giỏi, đa số giáo viên chỉ dừng ở mức độ thông báo về cách giải bài tập bằng phương pháp qui nạp, các
2. 2 sử dụng p2 qui nạp để giải một số bài toán không mẫu mực bước của giải bài toán bằng phương pháp qui nạp, các dạng bài tập chỉ ở mức độ đơn giản ít khai thác, phân tích mở rộng bài toán dẫn đến khi người học gặp bài toán dưới dạng khác hay gặp một số bài toán không mẫu mực thì việc áp dụng phương pháp qui nạp là rất khó khăn. Vả lại học sinh thường ngại học cách giải toán này vì kiến thức liên quan ít lại không liền mạch, phương pháp giải hạn chế lại áp dụng cho đa số các bài toán khó, không mâũ mực, chính vì vậy phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua cách giải bài toán bằng qui nạp là rất cần thiết đó cũng là lí do mà tôi chọn đề tài này để có thể. -Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải các bài toán không mẫu mực nói riêng một cách chủ động và sáng tạo hơn, nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em chủ động trong việc tiếp thu các kiến thức mơí đặc biệt là kiến thức khó. -Gây hứng thú cho học sinh trong việc tìm ra lời giải của bài toán khó bằng phương pháp độc đáo qua đó vun đắp lòng say mê học toán của học sinh. -Rèn luyện tính cần cù, năng động sáng tạo trong giải toán của học sinh.
3. 3 sử dụng p2 qui nạp để giải một số bài toán không mẫu mực B. Giải quyết vấn đề: I/ Các giải pháp thực hiện : - Thông qua bài toán cụ thể giúp học sinh hiểu rõ bản chất của phương pháp giải bài toán bằng qui nạp, các bước giải bài toán bằng qui nạp và cách giải bài toán bằng qui nạp -Giải một số bài toán mẫu để giúp học sinh áp dụng dễ dàng hơn phương pháp này vào việc giải các bài toán khó đặc biệt chỉ rõ cho học sinh thấy và nhận biết được từng bước cụ thể trong phương pháp giải bài toán bằng qui nạp. II/ Các biện pháp để tổ chức thực hiện: 1/ Hướng dẫn học sinh giải một bái toán cụ thể bằng phương pháp qui nạp. -Xét đẳng thức 1 + 8 + 27 + 64 = 100. -Ta có thể nhận xét gì về vế trái của đẳng thức này ? +Vế trái của đẳng thức này là lập phương của những số nguyên liên tiếp còn vế phải là một bình phương. -Vậy ta có thể viết đẳng thức trên ở dạng nào? + 13 + 23 + 33 + 43 = 102 *Vậy vấn đề đặt ra là tổng những lập phương của những số tự nhiên liên tiếp có luôn là một bình phương không? -Xét tổng các lập phương liên tiếp. 13 +23 + 33 + + n3 -Như vậy chúng ta đã đi từ trường hợp riêng n=4 mà đi tới bài toán tổng quát . -Hãy giải bài toán tổng quát đó ? +Xét những trường hợp riêng khác ta có bảng sau. 1 = 1 = 12 1 + 8 = 9 = 32 1 + 8 + 27 = 36 =62 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102 1 + 8 + 27 + 64 +125 = 225 = 152
4. 4 sử dụng p2 qui nạp để giải một số bài toán không mẫu mực -Như vậy ta có thể suy ra tính chất nào ? "Tổng của lập phương n số tự nhiên khác 0 đầu tiên là một bình phương" -Vậy tại sao tổng các lập phương liên tiếp lại là một bình phương? - Ta xét thêm những trường hợp mới n = 6 ; 7 kết quả cũng nhận được tương tự. Quay về những trường hợp n = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 mà ta đã sắp xếp thành một bảng. -Tại sao tất cả những tổng đó đều là những bình phương? -Ta có thể nói gì về những bình phương đó? +Căn bậc hai của chúng theo thứ tự bằng : 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15. -Ta có nhận xét gì về những căn bậc hai đó? +Chúng tăng dần và theo một qui luật nhất định . Đó là hiệu giữa hai căn liên tiếp của chuỗi đó cũng tăng dần: 3 - 1 = 2 6 - 3 = 3 10 - 6 = 4 15 - 10 = 5 -Những hiệu đó tăng theo qui luật nào? +Ta có thể nhận thấy qui luật của dãy số 1 , 3 , 6 , 10 , 15 như sau 1 = 1 3 = 1 + 2 6 = 1 + 2 + 3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 -Nếu sự đều đặn đó là tổng quát thì tính chất trên chúng ta vẫn chưa chắc chắn rằng với n bất kì thì định lí trên vẫn đúng. Vậy để khẳng định tính chất đó ta xét thêm một trường hợp nữa chính xác hơn. Với n = 1 , 2 , 3 , ta có 13 +23 + 33 + + n3 = (1 + 2 + 3 + + n)2 -Hãy chứng minh kết quả này là đúng ? +Ta đã biết rằng: n(n 1) 1 +2 + 3 + + n = 2 +Như vậy có thể biến đổi kết quả trên như sau:
5. 5 sử dụng p2 qui nạp để giải một số bài toán không mẫu mực 2 13 +23 + 33 + + n3 = n(n 1) (1) 2 +Thử cho trường hợp đầu tiên chưa xét tức là với n=6 với giá trị này công thức cho ta. 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 = ( 6.7 )2 2 +Đẳng thức này đúng vì cả hai vế đều bằng 441 ta có thể tiếp tục thử nhiều nữa. Công thức có thể là tổng quát tức là đúng với mọi giá trị của n. -Nhưng nó còn đúng không khi ta đi từ một giá trị n bất kì tới giá trị tiếp theo là n+1? +áp dụng công thức trên ta phải có. 2 13 +23 + 33 + + n3 + (n + 1)3 = (n 1)(n 2) 2 -Hãy kiểm tra xem công thức này có đúng không? +Trừ đẳng thức này với đẳng thức (1) ở trên ta có: 2 2 (n 1)(n 2) n(n 1) (n+1)3 = 2 2 2 n 1 (n 1) 2 Vế phải = (n 2) 2 n 2  (4n 4) (n 1)3 = Vế trái 2 4 +Như vậy công thức ta tìm được bằng thực nghiệm đã được thử lại chặt chẽ. -Vậy đẳng thức sau đây có đúng không ? 2 13 +23 + 33 + + n3 = n(n 1) 2 -Nếu công thức này đúng thì bằng cách thêm vào đẳng thức đã thiết lập được ở trên suy ra đẳng thức sau đây cũng đúng. 2 13 +23 + 33 + + n3 + (n + 1)3 = (n 1)(n 2) 2 -Đây chính là biểu thức (1) chỉ khác là thay n bằng n+1, nhưng ta đã biết rằng điều giả định của ta đã đúng với n= 1 , 2, 3, 4 , 5 , 6. theo công thức trên đã đúng với n=6 thì phải đúng với n=7, đúng với n=7 cũng sẽ đúng với n=8 và cứ như thế mà tiếp tục. Công thức đúng với mọi giá trị của n vậy nó là tổng quát.
6. 6 sử dụng p2 qui nạp để giải một số bài toán không mẫu mực -Chứng minh trên có thể áp dụng cho rất nhiều trường hợp tương tự. -Vậy những nét cơ bản của nó là gì? + Điều khẳng định mà ta cần chứng minh phải được phát biểu rõ ràng , chính xác trước. + Nó phụ thuộc một số tự nhiên n. + Điều khẳng định đó phải được xác định đến mức khiến ta có thể thử được là nó còn đúng không khi đi từ số tự nhiên n sang số tự nhiên n+1 +Nếu ta thử được điều đó thì ta có thể kết luận rằng điều khẳng định phải đúng với n+1 nếu như nó đã đúng với n, có được điều đó rồi thì nếu điều khẳng định đúng với n=1 , khi đó nó sẽ đúng với n=2, n=3 , và cứ thế tiếp tục. Bằng cách đi từ một số nguyên bất kì tới một số nguyên liền sau nó, ta đã chứng minh tính chất tổng quát của điều khẳng định . -Phương pháp chứng minh này có thể gọi là phép chứng minh từ n tới n+1 hay là phép chuyển tới một số nguyên tiếp sau trong toán học gọi chung lại là "qui nạp toán học". -Như vậy nguyên lí qui nạp là: -Nếu khẳng định S(n) thoã mãn hai điều kiện sau. 1) Đúng với n=k0 (số tự nhiên nhỏ nhất mà S(n) xác định) . 2) Từ tính đúng đắn của S(n) đối với n=t suy ra tính đúng đắn của S(n) đối với n=t+1 , thì S(n) đúng đối với mọi n k0 +Phương pháp chứng minh bằng qui nạp là -Giả sử khẳng định T(n) xác định với mọi n to . Để chứng minh T(n) đúng với mọi n t0 bằng qui nạp, ta cần thực hiện hai bước. a) Cơ sở qui nạp +Thực hiện bước này tức là ta thử xem sự đúng đắn của T(n) với n=t0 nghĩa là xét T(t0) có đúng hay không? b) Qui nạp +Giả sử khẳng định T(n) đã đúng đối với n=t .Trên cơ sở giả thiết này mà suy ra tính đúng đắn của T(n) đối với n=t+1, tức T(t+1) đúng. -Nếu cả hai bước trên đều thoã mãn, thì theo nguyên lí qui nạp T(n) đúng với mọi n t0
7. 7 sử dụng p2 qui nạp để giải một số bài toán không mẫu mực Chú ý: Trong quá trình qui nạp nếu không thựchiện đầy đủ cả hai bước : cơ sở qui nạp và qui nạp thì có thể dẫn đến kết luận sai lầm, chẳng hạn. -Do bỏ bứơc cơ sở qui nạp, ta đưa ra kết luận không đúng: "Mọi số tự nhiên đều bằng nhau" Bằng cách qui nạp như sau. +Giả sử các số tự nhiên không vượt quá k + 1 đã bằng nhau. Khi đó ta có: k = k + 1 Thêm vào mỗi vế của đẳng thức trên một đơn vị ta sẽ có: k + 1 = k + 1 +1 = k + 2 Cứ như vậy suy ra mọi số tự nhiên không nhỏ hơn k đều bằng nhau. Kết hợp với giả thiết qui nạp : Mọi số tự nhiên không vượt quá k đều bằng nhau, đi đến kết luận sai lầm : Tất cả các số tự nhiên đều bằng nhau! -Một ví dụ rất thực tế là do bỏ qua khâu qui nạp nên nhà toán học Pháp P.Fermat n (1601-1665) đã cho rằng các số có dạng 22 + 1 đều là số nguyên tố. P.Fermat xét 5 số đầu tiên: 0 Với n = 0 cho 22 + 1 = 21 + 1 = 3 là số nguyên tố 1 n = 1 cho 22 + 1 = 22 + 1 = 5 là số nguyên tố 2 n = 2 cho 22 + 1 = 24 + 1 = 17 là số nguyên tố 3 n = 3 cho 22 + 1 = 28 + 1 = 257 là số nguyên tố 4 n = 4 cho 22 + 1 = 216+ 1 = 65537 là số nguyên tố. Nhưng vào thế kỉ 18 Euler đã phát hiện với n = 5 khẳng định trên không đúng bởi vì: 5 22 1 = 4294967297 = 641 x 6700417 là hợp số. 2/ áp dụng phương pháp qui nạp để giải một số bài toán không mẫu mực a/ Giải một số bài toán logic bằng qui nạp Bài 1: Chứng minh rằng : Nếu trong túi có một số tiền nguyên (nghìn) không ít hơn 8000đ, thì luôn luôn có thể tiêu hết bẳng cách mua vé sổ số loại 5000đ và 3000đ. Giải: 1) Cơ sở qui nạp: