Sáng kiến kinh nghiệm Dựng hình bằng phương pháp tương giao

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Dựng hình bằng phương pháp tương giao

1. Phần thứ nhất: ĐặT VấN Đề Các bài toán dựng hình nói chung có vai trò quan trọng trong hệ thống kiến thức của môn hình học ở trường THCS. Đặc biệt khi giải bài toán quỹ tích, muốn xác định hình dạng, vị trí và độ lớn của quỹ tích ta phải vẽ được quỹ tích đó. Đây là vấn đề khó của bài toán quỹ tích nếu học sinh không nắm rõ được phương pháp dựng hình. Như vậy phép dựng hình giúp ta giải được bài toán quỹ tích tốt hơn. Thông thường phép dựng hình thường đưa về phép dựng hình một điểm tức là tìm giao điểm của 2 quỹ tích điểm đó phải thoả mãn 2 điều kiện của 2 quỹ tích . Phép dựng hình này còn gọi là dựng hình bằng phương pháp tương giao. Qua thực tế khi giảng dạy môn hình học lớp 9 ở trường THCS Xuất Hoá - Lạc Sơn trong liên tục nhiều năm tôi thấy có nhiều học sinh yếu, ngại và lo sợ khi giải bài toán dựng hình , khi giải bài toán quỹ tích lúng túng khi vẽ hình do không nắm vững phương pháp giải giải bài toán dựng hình.Để giải các bài toán dựng hình có rất nhiều phương pháp ( Dựng hình bằng phương pháp đại số, dựng hình bằng phương pháp biến hình , dựng hình bằng phương pháp tương giao ). Vậy sử dụng phương pháp dựng hình nào cho phù hợp với khả năng tư duy và suy luận đối với các em học sinh THCS để nâng cao chất lượng bộ môn. Theo tôi có nhiều phương pháp dựng hình nhưng giúp học sinh nắm vững phương pháp dựng hình bằng phương pháp tương giao là dễ hiểu và có hiệu quả hơn cả. Giúp các em hiểu và nắm vững phương pháp dựng hình này sẽ là cơ sở để các em giải tốt các bài toán dựng hình, vẽ quỹ tích Từ đó khơi dậy cho các em lòng ham học ham hiểu biết để học sinh không còn ngại và lo sợ khi làm bài tập về quỹ tích , dựng hình nhằm nâng cao chất lượng bô môn .Góp phần không nhỏ đối với công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán. 1
2. Phần thứ hai: Nội Dung A :Cơ sở khoa học 1: Thế nào là giải bài toán dựng bằng phương pháp tương giao. Giải bài toán dựng hình là tìm tất cả các nghiệm của nó ( nghiệm của một bài toán dựng hình là hình thoả mãn tất cả các điều kiện của bài toán) Giải bài toán dựng hình bằng phương pháp tương giao dựa trên cơ sở: Mọi hình học đều xác định bởi một số hữu hạn điểm nhất định nên mọi bài toán dựng hình đều có thể quy về một số điểm nhất định nào đó (điểm chốt) Mọi điểm chốt ví dụ điểm M phụ thuộc vào hai điều kiện độc lập và  vậy {M}=F  F trong đó F và F lần lượt là hình có tính chất ,  Để dựng điểm M ta sẽ dựng 2 hình là F và F Mọi phép dựng hình khác bằng thước và compa đều phải quy về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản. 2: Các phép dựng hình cơ bản. Trong lí thuyết dựng hình bằng thước và compa người ta thừa nhận 5 phép dựng hình cơ bản là : a, Những hình đã cho b, Đường thẳng đi qua 2điểm dựng được c, Đường tròn có tâm dựng được và bán kính bằng đoạn dựng được d, Giao điểm (nếu có) của 2 hình dựng được e, Những điểm tuỳ ý trên mặt phẳng (thuộc hay không thuộc hình đã dụng) là đã dựng được Trong thực hành trình bày lời giải để cho đơn giản,người ta thêm ngoài các phép dựng hình cơ bản,là các bài toán dựng hình cơ bản sau đây: a, Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng đã cho trước b, Dựng một góc bằng một góc đã cho trước c, Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước,dựng trung điểm của một đoạn thẳng cho trước. 2
3. d, Dựng tia phân giác của một góc cho trước e, Qua một điểm cho trước dựng đường vuông góc với một đường thẳng cho trước g, Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước h, Dựng tam giác biết ba cạnh,hoặc biết hai cạnh va góc xen giữa, hoặc biết một cạnh và hai góc kề. i , Dựng một đoạn thẳng bằng tổng (hiệu) hai đoạn thẳng đã cho k Dựng 1 góc bằng tổng (hiệu) của hai góc đã cho. 3: Các bước giải bài toán dựng hình . Các bước giải bài toán dựng hình bằng phương pháp tương giao: Bước 1: Phân tích Là thiết lập được mối quan hệ giữa những yếu tố phải tìm và yếu tố đã cho trên cơ sở tiến hành các bước dựng. Bước 2: Cách dựng Là chỉ ra các phép dựng hình cơ bản hoặc các bài toán dựng hình cơ bản cần thực hiện để có hình phải dựng ( số các bước dựng phải hữu hạn ) Bước 3: Chứng minh Bằng lập luận đó với cách dựng như trên hình đã dựng thoã mãn cắc điều kiện của đề bài. Bước 4 : biện luận xét xem khi nào thì bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thoả mãn đề bài. *Theo chương trình quy định, không yêu cầu học sinh viết các phân tích và biện luận trong bài làm. B. các giải pháp 1: Dạy học lí thuyết dựng hình bằng phương pháp tương giao: trong chương trình hình học lớp 9 các bài toán dựng hình không nhiều nhưng để học sinh giải được các bài tập đó giáo viên phải làm cho học sinh 3
4. nắm vững các bước giải ? Từng bước yêu cầu các em phải làm gì? Trong các bước đó bước nào là quan trọng nhất? Bước phân tích - Bước này tuy không yêu cầu trình bày trong lời giải nhưng lại là bước quan trọng nhất trong toàn bộ lời giải vì nó cho ta biết phải dựng như thế nào mới có hình thoả mãn các điều kiện của đề bài . Nắm vững phương pháp phân tích là cơ sở để học sinh giải toán các bài toán dựng hình. Chính vì thế tôi đã hướng dẫn cho học sinh nắm chắc phương pháp phân tích dựng hình bằng phương pháp tương giao mà tôi cho là có hiệu quả cao như sau : - Trước hết các em phải đọc kĩ đầu bài xem bài toán cho biết điều gì? yêu cầu dựng hình gì nó phải thoả mãn điều nào? Sau đó các em giả sử đã có hình thoả mãn các điều kiện của đề bài bằng cách vẽ phác một hình tương tự hình cần tìm. Hình này tuy không được chính xác lắm nhưng vẫn có ích dựa vào hình đó các em có thể biết rõ vị trí của các điểm với các đường và những mối tương quan giữa chúng. Còn nếu không vẽ phác hoạ thì khó tưởng tượng khó nhìn thấy các mối quan hệ trên. - Sau đó dựa vào hình vẽ này các em hãy quan sát hình vẽ xem những điểm nào, bộ phận nào trong hình vẽ có thể dựng được ngay ,và còn phải dựng những điểm nào nữa. Nếu mỗi điểm phải dựng phụ thuộc phụ thuộc vào 2 tính chất nào đó : Chẳng hạn : + Điểm M phụ thuộc 2 tính chất độc lập nào đó và . + Chỉ ra các tập hợp điểm F có tính chất và F có tính chất - Thì điểm M là giao của 2 tập hợp F và F Bước dựng hình Đây là bước quan trọng trong lời giải bài toán dựng hình và học sinh phải trình bày trong lời giải. Cho nên tôi luôn nhắc học sinh phải căn cứ vào bước phân tích nên xem dựng yếu tố nào trước, yếu tố nào sau và phải theo một thứ tự xác định, tránh lộn xộn các bước dựng phải dựa vào các phép dựng hình cơ bản, các bài toán dựng hình cơ bản, số các bước dựng phải hữu hạn. 4
5. Bước chứng minh Đây là bước quan trọng học sinh phải trình bày trong lời giải của bài toán dựng hình để chứng minh xác định hình đã dựng thoả mãn đầy đủ các điều kiện của bài toán phải dựa vào các bước dựng và các định lý đã học, điều kiện dễ chứng minh trước, điều kiện khó chứng minh sau. bước biện luận bước biện luận tuy không có trong trình bày lời giải nhưng là bước giúp học sinh phát triển khả năng suy luận rất tốt nên sau khi chứng minh song tôi luôn hỏi học sinh: theo em sẽ dựng được bao nhiêu hình thoả mãn điều kiện đề bài? Tôi thấy có rất nhiều học sinh tìm câu trả lời. từ đó giúp cho học sinh nắm vững cách giải bài toán dựng hình . ví dụ : Dựng ABC thoả mãn các điều kiện của bài toán BC = a , góc Â= 90o, ah= h. A Phân tích: Giả sử đã dựng được tam giác ABC thoả mãn các điều kiện của bài toán : B H C BC= a , Â = 90o , AH = h - Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích như sau: - Quan sát hình vẽ yếu tố nào trong bài toán các em dựng được luôn ? - Đỉnh B,C coi như dựng được luôn và thoả mãn BC= a - BAC = 900 ,đoạn thẳng BC đã biết thì ta suy ra được điểm A nằm ở đâu? - BAC = 900 => Â ( O ; ) . * Đường tròn tâm O,đường kính BC là hình F (O là trung điểm của đoạn thẳng BC) - AH = h nên A nằm trên đường nào? - AH = h nên A nằm trên đường thẳng d // BC và cách BC một khoảng bằng h. * Đường thẳng d là hình F -Vậy điểm A là giao điểm của 2 đường nào?- Do đó A là giao điểm của 2 quỹ tích : Quỹ tích những điểm nhìn đoạn BC cố định 1 góc vuông và quỹ tích những điểm cách BC cố định 1 đoạn không đổi bằng h. 5
6. Nói cách khác A là giao điểm của đường tròn ( O ; a/2 ) và đường thẳng d// BC và cách BC một khoảng bằng h. Cách dựng: - Từ kết quả phân tích em hãy nêu các bước dựng ? - Dựng đoạn thẳng BC = a d A - Dựng đường tròn ( O ; ) . - Dựng đường thẳng d song song với BC C và cách BC một khoảng bằng h B O H - Gọi A là giao điểm của ( O ; ) và d . - Nối A với B, A với C ta được tam giác ABC cần dựng. Chứng minh: -Từ cách dựng giáo viên yêu cầu học sinh nêu cách chứng minh tam giác ABC là tam giác thoả mãn các yêu cầu của bài toán . -Vì sao BC= a, Â=900 , AH = h ? -Theo cách dựng BC =a, A ( O ; ) => BAC = 900 (vì là góc nội tiếp chắn nủa đường tròn )  -Lại có A d ; d// BC và cách BC một khoảng bằng a nên từ A kẻ AH  BC thì AH= a - Vậy ABC thoả mãn các yêu cầu của đề bài. Biện luận : Ta vẽ được 2 đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng h -Nếu h thì đường thẳng d không cắt ( O ; ) sẽ không vẽ được tam giác thoả mãn yêu cầu bài toán. 2: Dạy học giải bài tập dựng hình Ví dụ 1: dựng cung chứa góc 55o trên đoạn AB= 3cm a/ Phân tích Giả sử bài toán đã dựng xong ta được đường tròn đi qua AB và chứa góc 55o . Tâm O của đường tròn này nằm trên đường trung trực d của AB và nằm trên đường vuông góc với tiếp tuyến At tại A của đường tròn này . Tiếp tuyến At này hợp với AB một góc bằng 55o hay BAt = 55o Như thế OA  At  6 d M m x O A B O' t n
7. b/ Cách dựng - Dựng đoạn thẳng AB=3cm -Dựng tia At hợp với AB một góc = 55o -Dựng tia Ax  At tại A -Dựng đường trung trực d của AB . - Gọi O là giao điểm của d và Ax. -Dựng (O;OA) thì cung AmB nằm trên nửa mặt phẳng chứa tia At có bờ AB là cung chứa góc 55ophải dựng Tương tự ta có cung AnB chứa góc 550 c/ chứng minh Ta có At  AO ( do At  A x) nên At là tiếp tuyến của (O; OA) tại A Ta có BAt là góc tạo bởi  tia tiếp tuyến At và dây AB nên BAt = sđ AB sđ AB = 2.55o = 110o    Vậy AmB là cung chứa góc 55o d/ Biện luận Từ A ta có thể vẽ được 2 tia At và At' hợp với AB một góc bằng 55o nên ta xác định được 2 tâm O và O' đối xứng với nhau qua AB. Vậy có 2 cung chứa góc 55o là AmB ; AnB đối xứng với nhau qua AB.   Ví dụ 2 : Dựng ABC biết AC = 6cm; Â =50o ; đường cao AH = 4cm a/ Phân tích Giả sử bài toán đã dựng xong ta được ABC có BC= 6cm, Â=50 o và đường cao AH=4cm. như thế B và C dựng được ngay. - BAC =50o nên A nằm trên cung chứa góc 50o vẽ trên đoạn BC -AH  BC và AH = 4cm như thế A cách BC cho trước 1 khoảng bằng 4cm nên A nằm trên đường thẳng d ( hoặc d')// với BC cách BC 1 khoảng bằng 4cm. Do đó A là giao điểm của 2 quỹ tích . 1. Quỹ tích những điểm nhìn đoạn BC cố định dưới 1 góc bằng 50 o (không đổi) 2. Quỹ tích những điểm cách BC cố định 1 khoảng không đổi bằng 4cm Nói cách khác A là giao điểm của cung chứa góc 500 vẽ trên đoạn BC và đường thẳng d// BC và cách BC một khoảng bằng 4cm. b/ Cách dựng -Dựng đoạn BC=6cm -Dựng cung tròn BmC chứa góc 50o vẽ trên đoạn BC A -Dựng đường thẳng d // BC và cách d x 7 O B C H O' t