Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải một số bài toán có chứa căn thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải một số bài toán có chứa căn thức

1. PHẦN THỨ NHẤT ĐẶT VẤN ĐỀ I/ LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM : Việc nâng cao chất lượng dạy học nĩi chung , tăng tỉ lệ học sinh khá , giỏi về mơn tốn và gây hứng thú học tập cho học sinh là một vấn đề đặc biệt quan trọng của người thầy cơ giáo . Ở trường phổ thơng dạy tốn là dạy các hoạt động tư duy cho học sinh trong đĩ quá trình giải tốn là hình thức chủ yếu , cĩ một vị trí quan trọng trong dạy tốn nhằm : + Củng cố rèn luyện kỹ năng , kỹ xảo , tái hiện những vấn đề lý thuyết đã học , biết vận dụng kiến thức đã học vào các tình huống cụ thể . + Cĩ khi bài tập lại là một định lý , cho nên việc giải các bài tập nầy là rất cần thiết giúp học sinh mở rộng , hệ thống hố kiến thức . + Bài tập phát triển năng lực tư duy cho học sinh đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất tư duy khoa học . Chẳng hạn qua những bài tập cĩ nội dung biến đổi , bài tập biện luận , bởi lẽ đĩ tơi đã chọn phương pháp giải tốn “ Dùng ẩn phụ để giải một số bài tốn cĩ chứa căn thức ” làm sáng kiến nghiên cứu trong năm học nầy . II/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : 1/ Đối tượng nghiên cứu : Dùng ẩn phụ để giải một số bài tốn cĩ chứa căn thức 2/ Phạm vi nghiên cứu : Học sinh khá , giỏi ở cấp THCS mà trọng tâm là học sinh THCS An Hải . III/ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : 1. Tìm hiểu cơ sở lý luận của hoạt động dạy tốn và các vấn đề lý luận cĩ liên quan đến việc nâng cao chất lượng giải tốn . 2. Tìm hiểu thực trạng học sinh cĩ hứng thú trong việc tìm lời giải hay cho một bài tốn bằng cách đặt ẩn phụ. 3. Đề xuất một số bài tốn và cáh giải đặt ẩn phụ 4. IV/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU . 1/ Dùng phương pháp nghiên cứu bài giải cuả giáo viên,sản phẩm học tập của học sinh , các bài tập trong sách giáo khoa , giáo viên , sách bài tập , tốn học tuổi trẻ . 2/ Dùng phương pháp điều tra thực tiễn để tìm hiểu nhu cầu học tập của học sinh, trình độ nhận thức ,để xây dựng phương pháp đặt ẩn phụ để tìm lời giải hay cho một bài tốn . 1 Trang Người thực hiện : Bùi Văn Tiến
2. PHẦN THỨ HAI I/ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Do vị trí và nhiệm vụ của việc giải bài tập trong việc tiếp thu kiến thức của học sinh nên việc giải bài tập tốn khơng thể xem nhẹ . Là một giáo viên dạy tốn chúng ta luơn luơn chú ý đến quy trình giải một bài tốn theo lượt đồ bốn bước của Polia . Bước 1 : Phải tìm hiểu kỹ nội dung bài tập . Bước 2 : Xây dựng chương trình giải ( đặt ẩn phụ cho phù hợp ) Bước 3 : Thực hiện chương trình giải Bước 4 : Nghiên cứu lời giải . • Đối với mỗi giáo viên chúng ta việc soạn một giáo án giải bài tập tốn ( luyện tập ) làm thế nào cĩ thể “ Chế biến ” những lời giải phù hợp với các loại học sinh khác nhau. • Lời giải mới cĩ thể là lời giải mới hồn tồn , cũng cĩ thể là sự mở rộng , đào sâu những lời giải đã biết . *Giải phương trình hoặc một bài tốn cĩ chứa dấu căn thường là dạng tốn khĩ hay gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp cơ sở và tuyển sinh vào lớp 10. Với các dạng tốn nầy địi hỏi người giải phải cĩ khả năng tư duy và khả năng sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học để sử dụng ẩn phụ vào giải các bài tốn một cách hợp lý và hiệu quả thì bài giải sẽ ngắn gọn và đơn giản hơn . Với mỗi phương trình vơ tỉ cĩ nhiều cách giải khác nhau . Một số phương trình nếu nâng lên luỹ thừa để làm mất căn thức thì thường dẫn đến một phương trình bậc cao rất khĩ khăn tìm nghiệm . Trong sáng kiến kinh nghiệm nầy bản thân xin trình bày một số cách giải bằng cách đạt ẩn phụ. 2 Trang Người thực hiện : Bùi Văn Tiến
3. II/ MỘT SỐ MINH HOẠ “ DÙNG ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ CHỨA CĂN THỨC ” Bài 1: Rút gọn biểu thức 1 7 2 6 7 A 4 7 7 4 4 7 4 1 1 3 4 3 7 7 4 7 7 7 Lời giải: Đặt : a 4 7 a4 7,a2 7 nên ta cĩ: 2 1 a 4 2 a 2 6 a A a 3 a 1 2 1 a a a a a a a 4 1 6 2 2 a a 1 a 2 2 a a 1 2 a 1 a a a 2 a 4 1 6 a a a a a a 2 1 a 2 a 2 1 2 a 2 1 6 a a a a a a 2 1 1 a 2 6 a a a 2 1 1 a 4 6 7 a 4 a 4 a 4 0 a a 2 1 a a 2 1 a a 2 1 Bài 2: Rút gọn biểu thức: 2 B 4 3 4 5 2 4 2 5 4 1 2 5 3 Trang Người thực hiện : Bùi Văn Tiến
4. Lời giai: Đặt: b = 4 5 b4 5,b2 5 b6 5b2 ,b5 5b 2 1 B 2 4 3b 2b2 b3 4 3b 2b2 b3 1 B2 4 4 3b 2b2 b3 Ta cĩ: Vậy: 1 1 4 3b 2b2 b3 b3 3b 2b2 4 b3 3b 2b2 4 b6 6b4 9b2 4b4 16b2 16 b3 3b 2b2 4 b3 3b 2b2 4 b6 2b4 7b2 16 (2b2 6) 3 2 b 3b 2b 4 b5 2b4 3b3 4b2 3b3 6b2 9b 12 2 b2 3 2 b4 9 b5 2b4 2b2 9b 12 8 5b 10 2b2 9b 12 8 2 2 2 b 2b 1 b 1 8 2 2 2 b 1 2 B 4 b 1 2 B b 1 4 5 1 4 Trang Người thực hiện : Bùi Văn Tiến
5. Bài 3: Rút gọn : 2 1 2 1 4 4 4 2 1 2 2 2 C 4 4 1 2 2 1 2 Lời giải : Đặt: 4 2 a a 4 2 , a 2 2 2 1 2 1 a 2 a 1 a 2 a 2 a 4 C 2 1 a a 1 a 1 2 2 (1 ) a 1 a 1 a 2 a 2 2 1 a a 1 a 1 2 2 2 1 a 1 a a 2 2 a 1 a 1 a 2 1 a 2 a 2 1 a 2 1 1 0 a 2 a 2 Bài 4 : Rút gọn biểu thức. 8 4 7 8 4 7 D 3 6 3 6 2 7 2 7 Lời giải: Đặt : 5 Trang Người thực hiện : Bùi Văn Tiến
6. 8 4 7 u 3 6 2 7 8 4 7 v 3 6 2 7 8 4 7 u 3 6 2 7 8 4 7 v 3 6 2 7 u 3 v 3 1 2 8 4 7 1 2 5 5 u .v 3 3 6 3 2 7 2 7 3 Do đĩ : D u v 3 5 D3 u v u3 v3 3uv u v 12 3. .D 3 D3 12 5D D3 5D 12 0 D 3 D2 3D 4 0 D 3 0 D 3 Bài 5 : Rút gọn : x3 3x x2 1 x2 4 x3 3x x2 1 x2 4 E 3 3 2 2 ; với x 2 Lời giải : 6 Trang Người thực hiện : Bùi Văn Tiến
7. Đặt : x 3 3 x x 2 1 x 2 4 u 3 2 x 3 3 x x 2 1 x 2 4 v 3 2 2 x 3 3 x u 3 v 3 x 3 3 x 2 2 x 3 3 x x 2 1 x 2 4 u.v 3 4 x 6 6 x 4 9 x 2 ( x 4 2 x 2 1)( x 2 4) 3 4 x 6 6 x 4 9 x 2 x 6 4 x 4 2 x 4 8 x 2 x 2 4 3 4 Do đĩ : E u v E 3 u v 3 u 3 v3 3uv u v x3 3x 3E E 3 3E x3 3x 0 E x E 2 Ex+x 2 3 0 Vì x 2 E 2 E x x 2 3 0 E x 0 E x 7 Trang Người thực hiện : Bùi Văn Tiến
8. Bài 6 : Chứng minh rằng : 2 3 4 2 2 3 4 2 Nếu : x x y y x y a (*) 3 2 3 2 3 2 Thì : x y a Lơì giải : 3 2 3 2 Đặt: x b , y c 3 2 3 2 Điều kiện : b 0 ; c 0 b x ; c y Thay x2 ,y2 vào (*) ta được : b 3 3 b 6 c 3 c 3 3 b 3 c 6 a b 3 b 2 c c 3 b c 2 a b b c c b c a b c b c a b c 3 a b c 3 a 2 3 x 2 3 y 2 3 a 2 Bài 7 : Chứng minh rằng : 1 1 1 Nếu : ax3 = by3 = cz3 và 1 ; x 0 , y 0 , z 0 x y z 3 2 2 2 3 3 3 Thì : ax by cz a b c Lời giải : 3 2 2 2 Đặt : E ax by cz thì : 8 Trang Người thực hiện : Bùi Văn Tiến
9. ax 3 by 3 cz 3 E 3 3 3 3 x y z (vì: ax = by = cz ) 3 1 1 1 3 1 1 1 3 ax x a (vì : 1) x y z x y z Tương tự : E y 3 b E z 3 c E 3 a x E 3 b y E 3 c z 1 1 1 3 3 3 E a b c x y z E 3 a 3 b 3 c 3 2 2 2 3 3 3 Vậy : ax by cz a b c 1 1 3 x x 1 Bài 8 : Giải phương trình : 2 2 Lời giải : Đặt : 9 Trang Người thực hiện : Bùi Văn Tiến
10. 1 u 3 x 2 1 v x , v 0 2 u v 1 3 2 u v 1 u v 1 Từ đĩ ta được : 1 v 3 v2 1 1 v 3 1 v2 0 2 1 v 1 v 1 v 0 1 v 1 2v2 v2 1 v 0 1 v v2 3v 0 v 1 v v 3 0 v 0 , v 1 , v 3 (thoa man  0) Với : 1 1 v 0 x 0 x 2 2 1 1 v 1 x 1 x 2 2 1 1 1 17 v 3 x 3 x 9 x 9 x 2 2 2 2 10 Trang Người thực hiện : Bùi Văn Tiến
11. Bài 9 : Giải hệ phương trình: x y 5 1 I y x 2 x y 5 0 2 Lời giải: x y 1 Đặt : t thì: t 0 y x t 1 5 1 t t 2 t 2 2 2 t 5 t 2 0 1 t 2 x x 2 4 x 4 y * Với : t = 2 thì : y y x 4y x 4y x 4 Ta cĩ : x y 5 4y y 5 y 1 1 x 1 t y 4x * Với : 2 thì : y 4 y 4x y 4x x 1 Ta cĩ : x y 5 x 4x 5 y 4 11 Trang Người thực hiện : Bùi Văn Tiến
12. Bài 10 : Giải phương trình : 1 1 x2 x 1 2 1 x2 Điều kiện: 1 x 1 Lời giải : Đặt : y 1 x2 ; với y 0 y2 1 x2 Từ đĩ trở thành : 1 y x 1 2 y 2 2 x 1 y 2 2 1 y x 1 2 y 1 2 2 x 1 y 2 Từ (1) và (2) suy ra : 1 y 1 y2 1 2y 2 1 y 1 y2 1 4y 4y2 1 y 1 4y 4y2 y2 4y3 4y4 4y4 4y3 3y2 3y 0 4y3 y 1 3y y 1 0 y y 1 4y2 3 0 3 Vì : y 0 nên phương trình cĩ nghiệm : y1 0; y2 2 Thay vào (2) ta được : 2 x 1 x 1 1 (vì 0 x 1 ) 2 3 2 1 1 x 1 x x 0 x 1 và 4 4 2 (vì ) 12 Trang Người thực hiện : Bùi Văn Tiến
13. Vậy phương trình cĩ nghiệm : 1 x 1 ; x 1 2 2 Bài 11 : Giải phương trình : 3 x 3 35 x 5 * Lời giải : Đặt : 3 x a ; 3 35 x b a 3 x ; b 3 35 x (*) trở thành a b 5 1 3 3 a b 3 5 2 3 Từ phương trình (2) a b 3ab a b 35 125 15ab 35 15ab 90 ab 6 Giải hệ phương trình : a b 5 ab 6 Ta được : a1 3 , b1 2 a2 2 , b2 3 Từ đĩ suy ra : x1 8 , x2 27 Bài 12 : Giải phương trình. 13 Trang Người thực hiện : Bùi Văn Tiến
14. 3 x 2 x 1 3 (12) ( Điều kiện x 1) Lời giải : Đặt : a 3 x 2 , b x 1 b 0 Thì phương trình (12) trở thành : a b 3 3 2 a b 3 / b 3 a 12 3 2 / / a 3 a 3 12 12 / / a 3 9 6a a 2 3 a 3 9 6a a 2 3 a 3 a 2 6a 6 0 a 2 a 1 6 a 1 0 a 1 6 a 2 0 a 1 0 a 1 Từ đĩ suy ra : x 3 (thỏa mản điều kiện) Bài 13 : Giải phương trình : x 2 x 1 1 13 Lời giải : ĐK : x 1 Đặt : 14 Trang Người thực hiện : Bùi Văn Tiến