Sáng kiến kinh nghiệm Dạy học giải quyết vấn đề

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Dạy học giải quyết vấn đề

1. A. đặt vấn đề I. Lời nói đầu: Với tư tưởng dạy học sinh không chỉ dạy kiến thức cho các em, mà cần dạy cả phương pháp suy luận, khả năng vận dụng, khả năng kết nối các môn khoa học, hướng tư duy khái quát và cả sự phát minh khoa học. Người thầy phải thực hiện điều đó và hướng dẫn hoc sinh thực hiên ngay trong mỗi tiết học . Tất nhiên để làm được chính người thầy phải có những khả năng trên, cùng với sự yêu nghề và đam mê khoa học, đồng thời phải có phương pháp tạo ra tình huống có vấn đề cho hoc sinh, và từ đó đưa tư tưởng phát minh vào trong tiết học, với những xuất phát điểm phải từ trong SGK. Sau đây là mội ví dụ: Khi dạy bài 1a tiết 2-Hệ phương trình bậc hai SGK 10 . II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu + ở các kì thi toán quốc tế, học sinh phổ thông Việt Nam đạt kết quả rất cao. Đó là một điều đáng tự hào cho dân tộc, nhưng hãy khoan, ta hãy suy nghĩ lại xem, đến bây giờ đã bao nhiêu người trong số đó đã trở thành các nhà phát minh khoa học. + Đơn giản hơn ở bậc đại học, đã có không ít học sinh thi vào đại học đạt kết quả rất cao, nhưng khi học tập thì có kết quả yếu, thậm chí không thể học tiếp, lí do tại sao? phải chăng họ không chú ý học?. Đó không phải là lí do chính, quan trọng là ở chổ họ chỉ là những thợ giải toán sơ cấp mà khả năng tư duy trừu tượng, khái quát, củng như khả năng tư duy theo hướng xây dựng lý thuyết là rất yếu. + Vậy vấn đề đổi mới đặt ra cho nền giáo dục : • Cần giúp học sinh phái triển tư duy trừu tượng và tư duy sáng tạo . • Biết cách nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc độ . • Giúp học sinh có khả năng tổng quát hoá các vấn đề (lối tư duy xây dựng ). Nhìn lại kết quả hoc tập của học sinh trường Lê Lai thông qua các kì thi đại học và học sinh giỏi, kết quả còn rất khiêm tốn vì vây việc đổi mới lại càng cấp thiết hơn , không những đổi mới về phương pháp mà còn phải đổi mới về cả nội dung kiến thức, truyền đạt cho hoc sinh (không chỉ truyền đạt những kiến thức trong sách giáo khoa mà cả những kiến thức nâng cao). 1
2. B. Giải quyết vấn đề 1.Giải pháp thực hiện Để giải quyết vấn đề đó tôi đề xuất ý tưởng sau: Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đăt kiến thức nâng cao). 2. Các biện pháp thực hiện Trong các tiết học thông qua các vấn đề hoặc các bài tập trong sách giáo khoa, người thầy phải hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng bài toán,biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ. Để cụ thể hoá điều trên, tôi đã trình bày trong đề tài này : Xuất phát từ môt bài toán rất đơn giản trong SGK dành cho hoc sinh trung bình yếu, với cách giải là áp dụng thuật toán có sẵn. Nhưng nếu suy nghĩ ta sẽ: * Tìm thấy nhiều cách giải thú vị. * Đồng thời từ bài này đặt ra nhiều bài toán nâng cao, tổng quát thành nhiều bài toán mới. *Qua đó đưa ra và giải quyết những vấn đề mới, có liên quan trưc tiếp đến thi đại hoc và thi hoc sinh giỏi. 3. Bài 1a-SGK lớp 10 -2000-trang 110: x 2 4y 2 8 (1) Giải hệ phương trình : a) x 2y 4 (2) GV: Gọi học sinh lên bảng làm bài, sau đó gọi một em khác lên kiểm tra bài cũ với câu hỏi: “nêu cách giải hệ phương trình gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất hai ẩn” Khi học sinh hoàn thành lời giải trên bảng ta bắt đầu sửa lời giải : Từ (2) rút ra x =4-2y (3) thế vào (1) (GV: Nên rút x vì khi đó biểu thức sau khi rút sẽ gọn hơn) Ta được : (4 2y) 2 4y 2 8 16 16y 4y 2 4y 2 8 y 2 2y 1 0 (*) y1 y2 1 thay vào biểu thức (3) ta có : x=2 x 2 Vây hệ có nghiệm duy nhất : y 1 GV:còn cách giải nào khác để giải hệ trên không? GV:Yêu cầu học sinh nhận xét về các số hạng tương ứng ở hai phương trình(1) và (2). Rõ ràng đây không phải là hệ đối xứng với hai ẩn x,y, nhưng hãy tìm ẩn mới để hệ đối xứng. Từ đó ta có cách 2: 2
3. x 2 (2y) 2 8 Cách 2: Hệ (1.2) Đặt : 2y=t khi đó hệ trở thành x 2y 4 x 2 t 2 8 x t 4 (Đây là hệ đối xứng với hai ẩn x và t ) x 2 t 2 8 (x t) 2 2xt 8 x t 4 Hệ x t 4 x t 4 xt 4 Vậy x, t là nghiệm của phương trình x 2 4x 4 0 ( ) x 2 x1 x2 2 nên hệ có nghiệm x=t=2 . Suy ra nghiêm của hệ (1.2) là : y 1 Để rèn luyện tư duy cho học sinh GV đặt câu hỏi : Nếu ta thay 8 bằng 0 ai trả x 2 4y 2 0 lời nhanh nghiệm của phương trình : ? x 2y 4 TL: Ta thấy x 2 0; y 2 0 . Suy ra x 2 y 2 0 vậy PT trên có nghiệm x=y=0 nhưng khi đó : x 2y 4 nên hệ VN GV:Từ PT(*) ở cách 1và( ) ở cách 2 ta thấy chúng đều có nghiệm kép hay hai PT đó đều là “danh giới của sự vô ngiệm”. Vì vây ta phán đoán thêm một cách giải nữa của hệ, đó là phương pháp đánh giá. Vấn đề bây giờ là phải đánh giá như thế nào ? Ta để ý : Hạng tử thứ nhất của PT thứ nhất là x 2 Hạng tử thứ nhất của PT thứ hai là x Hạng tử thứ hai của PT thứ nhất là 4y 2 (2y) 2 Hạng tử thứ hai của PT thứ hai là 2y Ta nghĩ ngay đến bất đẳng thức liên hệ giữa các số a,b và a 2 , b 2 Ta nhớ lại (BT 8.a - Trang 77-SGK) a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd 2 (bất đẳng thức này chính là bất đẳng thức bunhiacôxki cho 4 số) Ta có cách 3 Cách 3: áp dụng bất đẳng thức này cho 4 số : x; 2y; 1; 1 ta có: 12 12 x 2 y 2 x.1 2y.1 2 2 x 2 4y 2 x 2y 2 (4) Vậy theo (2) ta có : 2 x 2 4y 2 42 x 2 4y 2 8 x 2y Để có (1) cần có x 2y , thay vào (2) ta được : y=1 ; x=2. 1 1 GV: Vẫn với phân tích để tìm ra cách 3 , ta còn thấy một phép toán hình học có liên quan đến mối liên hệ giữa 2 cặp số (a,b) và a 2 ,b 2 .Đó là : u a,b , u a 2 b 2 3
4. Vậy nếu chọn v 1,1 u . v a b . Từ đó gợi cho ta cách giải 4. Cách 4: Đặt u x,2y ; v 1,1 u x 2 2 y 2 ; v 2 ; u . v x 2 y Mặt khác : u . v u . v .cos u, v u v u v GV:lưu ý cho hoc sinh: ở bên trái là trị tuyệt đối của một số ở bên phải là độ lớn của một véc tơ. 2 Vậy ta được : x 2y 2. x 2 2y x 2y 2 2. x 2 4.y 2 (5) . (Trở lại bất đẳng thức (4)), dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi cos 1 0o hoặc 180o u; v cùng phương hay tồn tại x k.1 k R để : u k. v x 2y x 2; y 1. 2y k.1 GV: Ta để ý bất đẳng thức (4)ở cánh 3 và bất đẳng thức (5) ở cách 4 là giống nhau mặc dù hai cách dẫn đến là khác nhau. Vì vậy mà gợi cho ta nghĩ đến việcđặt vấn đề ngược lại, tìm cách chứng minh bài tập 8.a - Trang 77 bằng cách sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ . Nếu bắt trước cách làm 4 của bài 1.a ta có cách chứng minh bài 8.a như sau: Xét u a,b ; v c,d u a 2 b 2 ; v c 2 d 2 ,và u . v a.c b.d do: u . v u . v nên a.c b.d a 2 b 2 . c 2 d 2 a.c b.d 2 a 2 b 2 . c 2 d 2 . a k.b u k. v a b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi c k.d a.d b.b;(hay : ) v 0 c d b d 0 GV:Cũng với việc phân tích để dẫn đến cách 3 gợi cho ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức quen thuộc khác: a b 2. a 2 b 2 ;(hay : a b 2 2. a 2 b 2 ) ( ) (bài 2-trang 77) từ đó ta có cách 5: 4
5. Cách 5: áp dụng BĐT ( ) với a = x và b = 2.y ta sẽ trở về BĐT(4) GV:Nếu để ý đến phương trình (1) ta thấy VT có dạng : x2+(2y)2 . Điều đó lại gợi cho ta liên tưởng đến một công thức trong hình học sin 2 cos 2 1 (0o 180o ) (SGK hình học 10) Nhưng vấn đề vế trái của công thức là 1 , đế được điều đó ta chia hai vế của phương trình (1) cho 8 khi đó: 2 2 x y (1) 1. 2 2 2 x y x Vậy nếu có góc α để sin thì cos . Nhưng để có : sin cần có 2 2 2 2 2 x điều kiện 0. Ta quay lại xét hệ (1.2). Ta thấy : 2 2 x 2 8 x 4 ( ) Từ PT(1) 2 . 4 y 8 2 y 4 Nếu có một trong hai số x hoặc 2y nhỏ hơn không thì từ PT(2):x+2y=4 dẩn đến x số còn lại phải lớn hơn 4, điều này mâu thuẩn với (*). Vậy ta được 0 1 ; 2 2 y 0 1. 2 Từ đây ta có cách 6: Cách 6: x Theo lý luận trên thì có góc α để sin (0o 90o ) 2 2 Thay vào PT(1) suyra: 2 2 y x 2 2 y 2 1 1 sin cos cos cos 2 2 2 2 x 2 2 sin Ta được 2y 2 2 cos ; thay vào phương trình (2) ta được : sin cos 2 GV: Ta đã có bài tập: Với 0o 180o thì sin cos 2.cos 45o (Bài tập này có thể ra cho hoc sinh làm ở phần tích vô hướng của hai véc tơ). Vậy .cos 45o 1 45o 0o 45o x 2 2 sin 45o 2 Suy ra y 2 cos 45o 1; 5
6. GV:Ta thấy từ việc giải BT1.a đã đẫn đến việc tìm thêm được một cách giải BT8- Trang 77.(BĐT Bunhiacoxki cho 4số ).Ta đặt vấn đề ngược lại từ các cách chứng minh BĐT Bunhiacoxki ta thử tìm cách giải phương trình 1.a . Ta đã biết BĐT Bunhiacoxki có một cách chứng minh dựa vào viêc xét phương trình bậc hai rất đặc biệt . Ta thử bắt trước cách đó để làm BT1.a. Cách 7: 2 2 x0 4y0 8 Gọi (xo,yo) là nghiệm của hệ phương trình, tức x0 2y0 4 2 2 Ta xét phương trình bậc hai ẩn α : x0 2y0 0 ( ) Rõ ràng PTđã cho nếu có nghiệm thì nghiệm đó là : α = x0= 2y0 Mặt khác ta thấy 2 2 2 2 phương trình ( ) 2 2 x0 2y0 x0 4y0 0 2 2 .4 8 0 2 Vậy xo = 2 ; yo =1 . Thử lại kết quả ta thấy thoả mãn. GV: Ta đã có cách giải rất mới và thú vị. x 2 t 2 8 GV: Mặt khác nếu để ý khi đặt : 2y = t ta được hệ phương trình : x t 4 thì phương trình x 2 t 2 8 là phương trình đường tròn tâm O(0,0) và bán kính R = 2 2 (ở lớp 10 đăc biệt là các lớp mũi nhọn ta nên giới thiệu cho hoc sinh biết phương trình đường tròn tâm O(0,0) và bán kính a có dạng x 2 t 2 a 2 . Thông 2 2 2 qua các bài toán như :CMR điểm M(x 0;y0) thoả mản : xo yo a là cách gốc toạ độ một khoảng a (a>0) . hoặc bài toán :cho điểm M(x,y) nằm trên đường tròn tâm O(0,0) bán kính a>0 hãy tìm mối liên hệ giữa x và y . Hai bài này làm không khó, chỉ cần học sinh học song phần toạ độ của một điểm là làm được ) Còn phương trình thứ hai của hệ : x+t = 4 là phương trình đường thẳng cắt trục Ox tại điểm A(4,0) cắt trục Ot tại điểm B(0,4) . Khi thử biểu diễn hình học của hai đường, trên hệ trục toạ độ Oxt ta thấy đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, vậy ta có cách giải thứ 8 : Cách 8: Đường thẳng x+t=4 cắt Ox tại điểm A và Ot tại điểm B , khi đó ∆OAB là tam giác vuông cân, suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng có phương trình : 1 x+t =4 là độ dài đường cao OH = 8 2 2 và bằng bán kính của 2 2 1 1 4 4 đường tròn có phương trình x 2 t 2 8 , vậy đường thẳng tiếp xúc với đường tròn 6