Sáng kiến kinh nghiệm Chứng minh các bài toán về bất đẳng thức THPT

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Chứng minh các bài toán về bất đẳng thức THPT

1. I. Đặt vấn đề Trong chương trình toán ở trường phổ thông việc chứng minh bất đẳng thức là một vấn đề có thể nói là phức tạp nhất, nó rèn cho người làm toán trí thông minh, sự sáng tạo, ngoài ra còn có cả sự khéo léo, mỗi kết quả của nó là một công cụ sắc bén của toán học. Nhưng để chứng minh bất đẳng thức thì không đơn giản chút nào, nhất là đối với học sinh, các em tỏ ra lúng túng khi chọn cho mình một công cụ để chứng minh hiệu quả nhất. Đã có rất nhiều tài liệu đưa ra một số phương pháp rất tốt để chứng minh bất đẳng thức chẳng hạn: - Phương pháp sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. - Phương pháp sử dụng tam thức bậc 2. - Phương pháp sử dụng những bất đẳng thức kinh điển. - Phương pháp sử dụng phản chứng. - Phương pháp sử dụng quy nạp. - Phương pháp sử dụng đạo hàm. - Phương pháp sử dụng hình học. - Phương pháp sử dụng hàm lồi. Mặc dù vậy song vẫn là chưa đủ bởi sáng tạo của mỗi người làm toán là vô hạn. Chính vì vậy trong bài viết này tôi muốn đề cập về "Một số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số " nhằm trang bị thêm cho học sinh một số công cụ hữu hiệu để chứng minh các bất đẳng thức đại số. Phương pháp lượng giác hoá đã được một số sách của các tác giả đề cập như giáo sư Phan Đức Chính, giáo sư Phan Huy Khải, phó tiến sĩ Vũ Thế Hựu viết. Nhưng do cấu trúc mục tiêu của các cuốn sách đó mà các tác giả đều không đi sâu vào phương pháp này hay nói cách khác là chưa thật cụ thể hoá, hệ thống hoá nó. Là một giáo viên gần 20 năm giảng dạy với các đối tượng học sinh khá giỏi của các lớp chọn tôi đã phân chia phương pháp này thành 5 dạng bài tập. Nhằm cung cấp cho học sinh nhận ra các dấu hiệu ban đầu để thực hiện các bước lượng giác hoá bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số, để rồi dùng các kết quả của bất đẳng thức lượng giác chứng minh bất đẳng thức đại số. Qua thực tế giảng dạy ở các lớp chọn khối 11 trường THPT tôi nhận thấy việc phân chia dạng của tôi là hợp lý, lôgíc cụ thể, có thể nhanh chóng tìm ra phương pháp chứng minh được bất đẳng thức bằng cách áp dụng các phương pháp tư duy này của tôi. Tôi sẽ trình bày về hiệu quả của phương pháp này đối với học sinh ở phần 4 kết quả trắc nghiệm thực tế của sáng kiến. Các tài liệu tham khảo 1. Bất đẳng thức của giáo sư Phan Đức Chính - NXB Giáo dục 1995. 2. Các bài toán chọn lọc về bất đẳng thức 2 tập của giáo sư Phan Huy Khải - NXB Giáo dục Hà Nội 2000. 3. Phương pháp lượng giác hoá của PTS Vũ Thế Hựu - NXB Giáo dục 2002. 1
2. II. giải quyết vấn đề 1. Các kiến thức cần nắm 1.1. Các hệ thức cơ bản 1 + cos2 sin 2 1 + 1 + tg2 = ( k ) cos2 2 k 1 + tg . cotg = 1 ( ) + 1 + cotg2 = ( k ) 2 sin 2 1.2. Công thức cộng góc + cos( ) = cos cos  sin sin + sin( ) = sin cos cos sin tg tg + tg ( ) = ( ; k ) 1 tg tg 2 cot g .cot g 1 + cotg( ) = ( ; k ) cot g cot g 1.3. Công thức nhân + sin2 = 2 sin cos + cos2 = cos2 - sin2 = 2cos2 - 1 = 1 - 2sin2 2tg + tg2 = ( k ) 1 tg2 4 2 cot g2 1 k + cotg2 = ( ) 2cot g 2 + sin3 = 3sin - 4sin3 + cos3 = 4cos3 - 3cos 3tg tg3 + tg3 = ( k ) 1 3tg3 6 3 1.4. Công thức hạ bậc 1 cos 2 1 cos2 + cos2 = + sin2 = 2 2 1 cos 2 + tg2 = ( k ) 1 cos 2 2 1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích:   + cos + cos = 2cos cos 2 2 +  + cos - cos = - 2sin sin 2 2 +   + sin + sin = 2sin cos 2 2 2
3.   + sin - sin = = - 2cos sin 2 2 sin( ) + tg tg = ( ; k ) cos .cos 2 1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 + cos .cos = [cos( ) cos( )] 2 1 + sin .sin = [cos( ) cos( )] 2 1 + sin .cos = [sin( ) sin( )] 2 2. Nội dung của sáng kiến Qua một quá trình nghiên cứu tham khảo bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp lượng giác ở nhiều sách đều đưa ra các phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp lượng giác rất mơ hồ chưa có hệ thống, chưa phân chia thành các dạng bài tập. Với các kiến thức về chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp lượng giác mà tôi được biết tôi đã phân chia thành 5 dạng bài tập cơ bản mà tôi sẽ giới thiệu sau đây. Trong mỗi dạng bài tập tôi đều đưa ra phương pháp chọn cách đặt để học sinh nhanh chóng chuyển 1 vế của bất đẳng thức đại số phải chứng minh về biểu thức lượng giác sau đó biến đổi để đánh giá bất đẳng thức lượng giác bằng các bất đẳng thức lượng giác đơn giản như: | sin | 1;| cos | 1; sin2n 1; cos2n 1 (n N*) * Để học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống tôi đã lập bảng một số dấu hiệu nhận biết sau:( Giả sử các hàm số lượng giác sau đều có nghĩa) Biểu thức lượng giác Biểu thức đại số Công thức lượng giác tương tự 1 1 + x2 1 + tg2t 1+tg2t = cos2 t 4x3 - 3x 4cos3t - 3cost 4cos3t - 3cost = cos3t 2x2 - 1 2cos2t - 1 2cos2t - 1 = cos2t 2x 2tgt 2tgt = tg2t 1 x 2 1 tg2t 1 tg2t 2x 2tgt 2tgt = sin2t 1 x 2 1 tg2t 1 tg2t x y tg tg tg tg = tg( +) 1 xy 1 tg tg 1 tg tg 1 1 x2 - 1 1 1 = tg2 cos2 cos2 3
4. một số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin2 + cos2 = 1 1) Phương pháp: x sin a) Nếu thấy x2 + y2 = 1 thì đặt với [0, 2 ] y cos x a sin b) Nếu thấy x2 + y2 = a2 (a > 0) thì đặt với [0, 2 ] y a cos 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a2 + b2 = c2 + d2 = 1 Chứng minh rằng: 2 S = a(c+d) + b(c-d) 2 Giải: a sin u c sin v Đặt và S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) b cos u d cos v S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v) S 2sin (u v) [ 2, 2] 2 S a(c d) b(c d) 2 (đpcm) 4 2 2 1 1 25 VD2: Cho a2 + b2 = 1. Chứng minh rằng: a 2 b2 a 2 b2 2 Giải: Đặt a = cos và b = sin với 0 2 . Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi. 2 2 2 2 1 1 1 1 a 2 b2 cos2 sin2 a 2 b2 cos2 sin2 1 1 cos4 sin 4 = cos4 + sin4 + 4 cos4 sin 4 4 cos4 sin 4 cos4 .sin 4 1 = cos4 sin4 1 4 cos4 .sin4 1 =  cos2 sin2 2cos2 sin2  1 4 cos4 .sin4 1 16 1 17 25 = 1 sin2 2 1 4 1 (1 16) 4 4 (đpcm) 2 sin4 2 2 2 2 Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bước nữa để xuất hiện a2+b2=1 4
5. VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng: A = a 2 b2 2 3ab 2(1 2 3)a (4 2 3)b 4 3 3 2 Giải: Biến đổi điều kiện: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0 (a-1)2 + (b-2)2 = 1 a 1 sin a 1 sin 2 2 Đặt A sin cos 2 3sin cos b 2 cos b 2 cos 3 1 A 3sin 2 cos2 2 sin 2 cos2 2sin(2 ) 2 (đpcm) 2 2 6 VD4: Cho a, b thoả mãn : 5a 12b 7 = 13 Chứng minh rằng: a2 + b2 + 2(b-a) - 1 Giải: Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a) - 1 (a-1)2 + (b + 1)2 1 a 1 R sin a R sin 1 2 2 2 Đặt với R 0 (a 1) (b 1) R b 1 R cos b R cos 1 Ta có: 5a 12b 7 13 5(R sin 1) 12(R cos 1) 7 13 5 12 5 5R sin 12R cos 13 1 R sin cos R sin arccos R 13 13 13 Từ đó (a-1)2 + (b+1)2 = R2 1 a2 + b2 + 2(b - a) - 1 (đpcm) II. Dạng 2: Sử dụng tập giá trị | sin | 1 ; | cos | 1 1. Phương pháp: x sin khi ; 2 2 a) Nếu thấy |x| 1 thì đặt x cos khi 0;  x msin khi ; 2 2 b) Nếu thấy |x| m ( m 0 ) thì đặt x mcos khi 0;  2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: (1+x)p + (1-x)p 2p  |x| 1 ;  P 1. Giải: Đặt x = cos với [0, ], khi đó (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cos )p + (1-cos )p 5
6. p p = 2cos2 2sin 2 2p cos2p sin 2p 2p cos2 sin 2 2p 2 2 2 2 2 2 (đpcm) VD2: Chứng minh rằng: 3 2 A 2 3a2 2a 1 a2 3 2 Giải: Từ đk 1 - a2 0 |a| 1 nên Đặt a = cos với 0 1 a 2 = sin . Khi đó ta có: A=2 3a 2 2a 1 a 2 2 3 cos2 2cos sin 3(1 cos2 ) sin 2 3 1 =2 cos2 sin2 3 2sin 2 3 3 2 A 3 2(đpcm) 2 2 3 VD3: Chứng minh rằng: 1 1 a2  (1 a)3 (1 a)3  2 2 2 2a2 (1) Giải: Từ đk |a| 1 nên Đặt a=cos với [0, ] 1 a 2 sin ; 1 a 2 cos ; 1 a 2 sin 2 2 (1) 1 2sin cos .2 2 cos3 sin3 2 2 2 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin cos2 sin cos sin 2 1 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin cos2 sin 2 cos 1 đúng (đpcm) 2 2 2 2 2 2 VD4: Chứng minh rằng: S = 4 (1 a2 )3 a3 3 a 1 a2 2 Giải: Từ đk |a| 1 nên: Đặt a = cos với [0, ] 1 a2 = sin . Khi đó biến đổi S ta có: S= 4(sin3 cos3 ) 3(cos sin ) (3sin 4sin3 ) (4cos3 3cos ) = sin 3 cos3 2 sin 3 2 (đpcm) 4 VD5: Chứng minh rằng A = a 1 b2 b 1 a2 3 ab (1 a2 )(1 b2 ) 2 6
7. Giải: Từ điều kiện: 1 - a2 0 ; 1 - b2 0 |a| 1 ; |b| 1 nên. Đặt a = sin , b = sin  với ,  ; 2 2 Khi đó A = sin cos cos sin 3 cos( ) = 1 3 = sin( ) 3cos( ) 2 sin( ) cos( ) 2sin ( ) 2 2 2 3 (đpcm) VD6: Chứng minh rằng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| 1 a [1; 3] Giải: Do a [1, 3] nên a-2 1 nên ta đặt a - 2 = cos a = 2 + cos . Ta có: A = 4(2 cos )3 24(2 cos )2 45(2 cos ) 26 4cos3 3cos cos3 1 (đpcm) VD7: Chứng minh rằng: A = 2a a2 3a 3 2  a [0,2] Giải: Do a [0, 2] nên a-1 1 nên ta đặt a - 1 = cos với [0, ]. Ta có: A = 2(1 cos ) (1 cos )2 3(1 cos ) 3 1 cos2 3 cos 1 3 = sin 3 cos 2 sin cos 2sin 2 (đpcm) 2 2 3 1 1 III. Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg2 = tg2 1 ( k ) cos2 cos2 2 1) Phương pháp: a) Nếu |x| 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức x 2 1 1 3 thì đặt x = với 0;  , cos 2 2 b) Nếu |x| m hoặc bài toán có chứa biểu thức x 2 m2 m 3 thì đặt x = với 0;  , cos 2 2 2. Các ví dụ minh hoạ: a2 1 3 VD1: Chứng minh rằng A = 2  a 1 a 7