Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp giải bài tập về lũy thừa của một số hữu tỉ

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp giải bài tập về lũy thừa của một số hữu tỉ

1. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ A. ĐẶT VẤN ĐỀ Phải nói rằng: Toán học là một môn khoa học tự nhiên lý thú. Nó cuốn hút con người ngay từ khi còn rất nhỏ. Chính vì vậy, mong muốn nắm vững kiến thức về toán học để học khá và học giỏi môn toán là nguyện vọng của rất nhiều học sinh. Trong giảng dạy môn toán, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, biết khai thác và mở rộng kiến thức, áp dụng vào giải được nhiều dạng bài tập là điều hết sức quan trọng. Từ đó giáo viên giúp cho học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, sự nhanh nhạy khi giải toán ngay từ khi học môn đại số lớp 7. Đó là tiền đề để các em học tốt môn đại số sau này. Trong toán học, “Toán luỹ thừa” là một mảng kiến thức khá rộng lớn, chứa đựng rất nhiều các bài toán hay và khó. Để làm được các bài toán về luỹ thừa không phải là việc dễ dàng kể cả đối với học sinh khá và giỏi, nhất là đối với học sinh lớp 7 các em mới được làm quen với môn đại số và mới được tiếp cận với toán luỹ thừa nên chưa có công cụ phổ biến để thực hiện các phép biến đổi đại số, ít phương pháp, kĩ năng tính toán Qua quá trình công tác giảng dạy bộ môn toán lớp 7 nhiều năm, tôi nhân thấy các em rất “sợ” dạng toán lũy thừa. Đứng trước những khó khăn đó của học sinh tôi không khỏi băn khoăn, trăn trở làm thế nào để các em có phương pháp giải và mạnh dạn giải dạng toán lũy thừa này. Từ đó tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Các phương pháp giải bài tập về lũy thừa của một số hữu tỉ” với mong muốn giúp các em học sinh giải quyết được các bài toán về lũy thừa cơ bản và nâng cao. Bên cạnh đó đề tài này còn nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản, cần thiết và những kinh nghiệm cụ thể về phương pháp giải toán luỹ thừa cho các đối tượng học sinh, giúp các em học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic tạo sự say mê cho các em học sinh yêu toán nói chung và toán luỹ thừa nói riêng. Người thực hiện: Trần Công Cảnh Năm học 2014 - 2015 1
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. TÌNH HÌNH CHUNG 1. Thuận lợi Nhà trường được trang bị đầy đủ phòng học thoáng mát, đầy đủ bàn ghế, máy vi tính. Bên cạnh đó bản thân tôi còn nhận được sự quan tâm chỉ đạo kịp thời của ban giám hiệu, sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của các đồng nghiệp trong công tác giảng dạy. 2. Khó khăn Địa bàn dân cư nằm rải rác, kinh tế địa phương còn nhiều khó khăn. Trình độ dân trí còn hạn chế, sự quan tâm đến việc học của phụ huynh còn chưa đúng mức, từ đó ảnh hưởng đến chất lượng học tập nói chung và chất lượng học tập môn toán nói riêng. Tận dụng những thuận lợi và vượt qua những khó khăn trên, tôi nghiên cứu chuyên đề này với mong muốn giúp học sinh học tốt hơn phần toán luỹ thừa, giúp các em không còn thấy sợ khi gặp một bài toán luỹ thừa, từ đó giúp các em học toán lũy thừa nói riêng và môn toán nói chung tốt hơn. Hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho các học sinh lớp 7 khi học và đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dưới các dạng bài tập. II. NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC GIẢI QUYẾT 1. Hệ thống hóa kiến thức cơ bản 2. Kiến thức mở rộng, nâng cao 3. Một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải 3.1. Dạng1: Tìm số chưa biết 3.1.1. Tìm cơ số, thành phần trong cơ số của luỹ thừa 3.1.2. Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của luỹ thừa 3.1.3. Một số trường hợp khác 3.2. Dạng 2. Tìm chữ số tận cùng của giá trị luỹ thừa 3.2.1. Tìm một chữ số tận cùng Người thực hiện: Trần Công Cảnh Năm học 2014 - 2015 2
3. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 3.2.2. Tìm hai chữ số tận cùng 3.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên 3.3. Dạng 3. So sánh hai luỹ thừa 3.4. Dạng 4. Tính toán trên các luỹ thừa 3.5. Dạng 5. Toán đố với luỹ thừ III. PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Hệ thống hóa kiến thức cơ bản Muốn học tốt kiến thức toán lũy thừa, các em học sinh cần phải hiểu, nhớ các công thức lũy thừa cơ bản, rồi từ đó vận dụng để giải quyết các bài tập từ cơ bản đến nâng cao. a) Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên: n * a = a.a a (n N ) n thừa số b) Một số tính chất: Với a, b, m, n N ▪a m. an = am+n, ▪a m : an = am-n (a ≠ 0, m > n) ▪ (a.b)m = am. bm (m ≠ 0) ▪ (am)n = am.n (m,n ≠ 0) ▪a m. an . ap = am+n+p (p N) Quy ước: ▪a 1 = a ▪a 0 = 1 (a ≠ 0) Với : x, y Q; m, n N; a, b Z n * •x = x.x x (x N ) n thừa số Người thực hiện: Trần Công Cảnh Năm học 2014 - 2015 3
4. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ n a a n • (b ≠ 0, n ≠ 0) b b n •x o = 1 •x m . xn = xm+n xm • xm n (x ≠ 0) xn •x -n = 1 (x ≠ 0) x n • (xm)n = xm.n • (x.y)m = xm. ym n n x x • n (y ≠ 0) y y 2. Kiến thức mở rộng, nâng cao Đây là các kiến thức không được giới thiệu trong sách giáo khoa toán 7 nhưng khi giải các bài tập nâng cao thì cần phải có những kiến thức này. Với mọi x, y, z Q: • x x + z 0 thì: x x . z x . z > y . z Với x Q, n N: • (-x)2n = x2n; (-x)2n+1 = - x2n+1 Với a, b Q: • a > b > 0 => an > bn • a > b a2n +1 > b2n + 1 • a > 1, m > n > 0 => am > an • 0 n > 0 => am < an Người thực hiện: Trần Công Cảnh Năm học 2014 - 2015 4
5. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 3. Một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải 3.1. Dạng 1: Tìm số chưa biết 3.1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa Phương pháp chung: Đưa về hai lũy thừa cùng số mũ. Bài 1. Tìm x biết rằng: a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 = 8 c) (x – 2)2 = 16 d) (2x – 3)2 = 9 Phương pháp giải Đối với những bài toán dạng này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản là có thể dễ dàng làm được, lưu ý đối câu a) và câu b), biểu thức có số mũ lẻ thì ta áp dụng công thức tổng quát: A2n + 1 = B2n + 1  A = B a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 = 8  x3 = (-3)3  (2x – 1)3 = 23  x = -3  2x – 1 = 2 Vậy x = - 3  2x = 2 + 1  2x = 3 3  x = 2 3 Vậy x = 2 Còn đối với câu c) và câu d) thì biểu thức có số mũ chẵn nên ta áp dụng công thức tổng quát: A2n = B2n  A = B hoặc A = -B c) (2x – 3)2 = 9 => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32 Người thực hiện: Trần Công Cảnh Năm học 2014 - 2015 5
6. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 2x 3 3 x 3 . Vậy x = 3 hoặc x = 0. 2x 3 3 x 0 d) (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42 x 2 4 x 2 . Vậy x = -2 hoặc x = 6 x 2 4 x 6 Bài 2. Tìm số hữu tỉ x biết: x2 = x5 Phương pháp giải Nếu ở bài 1 học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến bài 2 này không tránh khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa đã cùng cơ số chưa biết, số mũ đã biết lại khác nhau. Vậy phải làm cách nào đây? Nhiều học sinh sẽ “tìm mò” được x = 0 hoặc x = 1, nhưng cách này sẽ không thuyết phục lắm bởi biết đâu còn số x thỏa mãn đề bài thì sao ? Giáo viên có thể gợi ý: x 2 0 x 0 x 0 x2 = x5  x5 – x2 = 0  x2.(x3 - 1) = 0 => => => 3 3 x 1 0 x 1 x 1 Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau: Bài 3. Tìm số hữu tỉ y biết: (3y - 1)10 = (3y - 1)20 (*) Phương pháp giải Hướng dẫn: Đặt 3y – 1 = x. Khi đó (*) trở thành: x10 = x20 x 0 x10 0 x 0 Giải tương tự bài 2 ở trên ta được: => => x 1 10 10 x 1 0 x 1 x 1 Rất có thể học sinh dừng lại ở đây, vì đã tìm được x. Nhưng đề bài yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y. • Với x = 0 ta có : 3y -1 = 0  3y = 1  y = 1 3 Người thực hiện: Trần Công Cảnh Năm học 2014 - 2015 6
7. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ • Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1  3y = 2  y = 2 3 • Với x = -1 ta có : 3y – 1 = -1  3y = 0  y = 0 Vậy y = 1 ; 2 ; 0 3 3 Bài 3. Tìm x biết: (x - 5)2 = (1 – 3x)2 Phương pháp giải Bài này ngược với bài trên, hai lũy thừa đã có số mũ đã biết giống nhau nhưng cơ số chưa biết lại khác nhau. Lúc này ta cần sử dụng tính chất: bình phương của hai lũy thừa bằng nhau khi hai cơ số bằng nhau hoặc đối nhau. 3 x 5 1 3x x 2 2 Ta có: (x - 5) = (1 – 3x) 2 x 5 3x 1 x 2 Bài 4. Tìm x và y biết: (3x - 5)100 + (2y + 1)200 0 (*) Phương pháp giải Với bài toán này, cơ số và số mũ của hai lũy thừa không giống nhau, lại phải tìm hai số x và y bên cạnh đó là dấu “ ”, thật là khó! Lúc này chỉ cần gợi ý nhỏ của giáo viên là các em có thể giải quyết được vấn đề: hãy so sánh (3x - 5) 100 và (2y +1)200 với 0. Ta thấy: (3x - 5)100 0, x Q (2y +1)200 0, x Q => Biểu thức (*) chỉ có thể bằng 0, không thể nhỏ hơn 0. Vậy: (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = 0 khi (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0 => 3x – 5 = 2y + 1 = 0  x = 5 và y = 1 3 2 Người thực hiện: Trần Công Cảnh Năm học 2014 - 2015 7
8. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Bài 5. Tìm các số nguyên x và y sao cho: (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 3 Phương pháp giải Theo bài 3, học sinh sẽ nhận ra ngay: (x + 2)2 0,  x Z (1) 2(y – 3)2 0,  x Z (2) Nhưng nảy sinh vấn đề ở “ < 3 ”, học sinh không biết làm thế nào. Giáo viên có thể gợi ý: Từ (1) và (2) suy ra, để: (x + 2) 2 + 2(y – 3)2 < 3 thì chỉ có thể xảy ra những trường hợp sau: x 2 •Trường hợp 1: (x + 2) 2 = 0 và (y – 3)2 = 0 y 3 x 2 •Trường hợp 2: (x + 2) 2 = 0 và (y – 3)2 = 1 y 4 y 2 x 1 2 2 •Trường hợp 3: (x + 2) = 1 và (y – 3) = 0 x 3 y 3 x 1 x 3 •Trường hợp 4: (x + 2) 2 = 1 và (y – 3)2 = 1 y 4 y 2 Vậy ta có bảng giá trị tương ứng của x và y thỏa mãn đề bài là : x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 y 3 4 2 3 3 4 2 Thật là một bài toán phức tạp! Nếu không cẩn thận sẽ xét thiếu trường hợp, bỏ sót những cặp giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện đề bài. Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tương tự sau: 1) Tìm x biết: a) (2x – 1)4 = 81 b) (x -2)2 = 1 Người thực hiện: Trần Công Cảnh Năm học 2014 - 2015 8
9. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ c) (x - 1)5 = - 32 d) (4x - 3)3 = -125 2) Tìm y biết : a) y200 = y b) y2008 = y2010 c) (2y - 1)50 = 2y – 1 d) ( y -5 )2000 = ( y -5 )2008 3 3 3) Tìm a, b, c biết : a) (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 0 b) (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 0 c) (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 0 d) (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 0 3.1.2 Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa. Phương pháp chung: đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số Bài 1. Tìm n N, biết: a) 2008n = 1 c) 32-n. 16n = 1024 b) 5n + 5n+2 = 650 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Phương pháp giải Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a. a) 2008n = 1  2008n = 20080  n = 0 Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn: tổng của hai lũy thừa có cùng cơ số nhưng không cùng số mũ. Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên: b) 5n + 5n+2 = 650  5n + 5n.52 = 650  5n.(1 + 25) = 650  5n = 650 : 26  5n = 25 = 52  n = 2 Theo hướng làm câu b) học sinh biết ngay cách làm câu c) và d). c) 32-n. 16n = 1024  (25)-n. (24)n = 1024 Người thực hiện: Trần Công Cảnh Năm học 2014 - 2015 9