Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

1. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2010-2011 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUY NHƠN TRƯỜNG THCS TRẦN QUANG DIỆU   SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 9 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Giáo viên:Đỗ Hoàng Chương Tổ:Toán,lí,hóa,sinh,công nghệ,tin NĂM HỌC 2010-2011 GV:Đỗ Hoàng Chương 1 Sáng kiến kinh nghiệm toán 9
2. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2010-2011 MỤC LỤC I/ ĐẶT VẤN ĐỀ (Lý do chọn đề tài) trang 3 II/GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm) trang 4 1)Cơ sở lý luận của vấn đề trang 4 2)Thực trạng của vấn đề trang 4 3)Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề trang 5 4)Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm trang 19 III/KẾT LUẬN trang 20 GV:Đỗ Hoàng Chương 2 Sáng kiến kinh nghiệm toán 9
3. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2010-2011 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC   I. ĐẶT VẤN ĐỀ (Lý do chọn đề tài) -Để rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản, người thầy giáo cần giúp các em tổng hợp phân loại các phương pháp giải và các dạng thường gặp để các em dễ nhớ, dễ vận dụng. - Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó và rộng của bộ môn Toán nhưng nhờ các bài tập về bất đẳng thức mà học sinh có thể hiểu kĩ hơn, sâu hơn về giải và biện luận phương trình, bất phương trình; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức, về mối liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác và trong quá trình giải toán khả năng tư duy sáng tạo của người học được phát triển mạnh. Thực tế khi giải các bài tập về bất đẳng thức học sinh thường gặp nhiều khó khăn vì cách giải chúng không hoàn toàn có một mẫu quy tắc nào như ở một số mảng kiến thức khác. -Qua nhiều năm giảng dạy toán ở trường phổ thông, là người thầy, tôi thường trăn trở suy nghĩ, thu thập tài liệu, cố gắng sắp xếp hợp lý một số phương pháp và bài tập về chứng minh bất đẳng thức với mong muốn giúp học sinh tự tin hơn khi đứng trước một số bài toán về bất đẳng thức cụ thể là các bài toán chứng minh bất đẳng thức. - Phạm vi và giới hạn bài viết. Khuôn khổ bài viết có hạn nên tôi muốn tổng hợp phân loại các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và các ví dụ áp dụng dành cho học sinh THCS đặc biệt là học sinh khá giỏi lớp 8; 9. GV:Đỗ Hoàng Chương 3 Sáng kiến kinh nghiệm toán 9
4. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2010-2011 II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm) 1)Cơ sở lý luận của vấn đề - Vận dụng tốt phương pháp phù hợp để giải các bất đẳng thức, Học Sinh sẽ tiết kiệm được thời gian, bài giải gọn . - Bất đẳng thức là một kiến thức khó nhưng không thể thiếu trong vốn kiến thức của Học Sinh phổ thông, nhất là học sinh khá giỏi. -Khi vận dụng phương pháp phù hợp , Học Sinh sẽ biến đổi nhanh gọn bất ngờ, đầy hứng thú, kích thích và phát triển tinh thần say mê , thích thú học toán. 2)Thực trạng của vấn đề. - Học Sinh thường gặp những bài toán về bất đẳng thức mà không biết phải sử dụng phương pháp nào để chứng minh nên lúng túng trong biến đổi,tính toán - Để có cơ sở vận dụng tốt phương pháp chứng minh bất đẳng thức các em cần nắm vững kiến thức cơ bản về bất đẳng thức.Nếu không dễ bị dẫn đến khó khăn ,bế tắc. * Kiến thức cần nắm vững A. Định nghĩa bất đẳng thức: Với hai số a, b bất kỳ ta nói rằng a b a -b 0 a b a -b 0 B. Tính chất: 1. a > b ; b >c a > c 2. a >b a + c > b + c 3. a > b ; c > 0 ac > bc a > b ; c b ; c > d a + c > b + d a > b ; c b 0 ac > bd a b 7 a > b > 0 ; 0 c d 8. a > b > 0 an > bn a > b an > bn (n lẻ) GV:Đỗ Hoàng Chương 4 Sáng kiến kinh nghiệm toán 9
5. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2010-2011 a  b an > bn ( n chẵn ) 9. Nếu m > n >0 thì a >1 am > an a =1 am = an 0 b , ab > 0 0 và a b 3)Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: -Để học sinh vận dụng tốt các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ngoài việc nắm vững lí thuyết ,các em phải nhớ dạng và phương pháp thích hợp Học Sinh cần: o Học thuộc lòng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức o Biết phối hợp với một số kiến thức khác o Kết hợp với biến đổi, tính toán , rút gọn . -Để học sinh có kết quả tốt thì học sinh cần nắm chắc nội dung và cách giải quyết một số bài toán chứng minh bất đẳng thức sau: *11 PHƯƠNG PHÁP :Mỗi phương pháp có:1/ Phương pháp giải 2/Ví dụ áp dụng 3/ Bài tập tương tự 1. Phương pháp sử dụng định nghĩa: 1.1. Phương pháp giải: Muốn chứng minh A > B hãy xét hiện A - B. Nếu hiện A - B dương thì khẳng định được A > B là bất đẳng thức cần chứng minh. 1.2. Ví dụ áp dụng: 1 1 1 Ví dụ 1: Cho a,b,c > 0. chứng minh rằng (a + b + c) ( + + ) 9 a b c GV:Đỗ Hoàng Chương 5 Sáng kiến kinh nghiệm toán 9
6. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2010-2011 Giải: Xét hiệu H = (a + b + c) ( 1 + 1 + 1 ) - 9 a b c = ( a + b - 2) + ( a + c - 2) + ( b + c - 2) b a c a c b a b 2 a c 2 b c 2 = ab ac bc Do a,b,c > 0 H 0 Theo định nghĩa bất đẳng thức: 1 1 1 (a + b + c) ( + + ) 9 a b c Dấu = xẩy ra H = 0 a = b = c 3 a 3 b 3 a b Ví dụ2: Cho a > 0, b > 0. chứng minh rằng: 2 2 3 a 3 b 3 a b Giải: Xét hiệu: A = 2 2 3 Bỏ ngoặc, phân tích thành nhân tử ta được: A = (a + b) (a - b)2 Vì a > 0 , b > 0 a + b 8 > 0 mà (a - b)2 0 A 0 3 a 3 b 3 a b Theo định nghĩa 2 2 Dấu bằng xẩy ra a = b 1.3. Bài tập tương tự: a b Bài 1: Chứng minh: + 2 với ab > 0 b a Bài 2: Chứng minh: x2 + y2 + z2 2xy + 2yz - 2x Bài 3: Cho a,b,c > 0 chứng minh: a 2 b 2 c 2 a b c + + + + b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 b c c a a b 2. Phương pháp sử dụng tính chất 2.1. Phương pháp giải: Sử dụng một hay nhiều tính chất đã nêu ở 2.2 để biến đổi. Từ đó khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh 2.2. Ví dụ áp dụng: GV:Đỗ Hoàng Chương 6 Sáng kiến kinh nghiệm toán 9
7. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2010-2011 Ví dụ 1: Cho a, b > 2. Chứng minh ab > a + b Giải: Ta có: a > 2 , b > 0 ab > 2b (1) (Tính chất 3) b > 2 , a > 0 ab > 2a (2) (Tính chất 3) Từ (1) và (2) 2ab > 2 (a + b) (Tính chất 4) ab > a + b (Tính chất 3) Ví dụ 2: Cho x 0, y 0, z 0. Chứng minh rằng: (x + y) (y + z) (z + x) 8xyz Giải: Ta có: (x-y)2 x2 - 2xy +y2 0 x2 + 2xy +y2 4xy (Tính chất 2) (x+y)2 4xy (1) Tương tự ta có: (y+z)2 4yz (2) (x+z)2 4xz (3) Nhân từng vế (1),(2),(3) [(x+y)(y+z)(x+z)]2 (8xyz )2 (Tính chất 6) (x+y)(y+z)(x+z) 8xyz (Tính chất 8) 2.3. Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a + b > 1. Chứng minh rằng a4 +b4 > 1 8 a 2 b 2 c 2 c b a Bài 2: Chứng minh rằng: + + + + b 2 c 2 a 2 b a c Bài 3: Cho x + y = 2. Chứng minh : x4 + y4 2 3. Phương pháp phân tích: ( Biến đổi tương đương) 3.1. Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi nó tương đương với một bất đẳng thức khác mà ta đã biết là đúng từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng. 3.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)2 2 (a2 + b2) với mọi a , b. Giải: (a + b)2 2(a2 + b2) (1) a2 +2ab +b2 - 2a2 - 2b2 0 -(a2 - 2ab + b2) 0 GV:Đỗ Hoàng Chương 7 Sáng kiến kinh nghiệm toán 9
8. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2010-2011 -( a - b)2 0 (2) Bất đẳng thức (2) luôn đúng bất đẳng thức (1) đúng (đpcm) Ví dụ 2: Cho 2 số a, b thoả mãn: a + b = 1 1 Chứng minh: a3 + b3 +ab (1) 2 1 Giải: (1) a3 + b3 +ab - 0 2 1 (a + b) (a2- ab + b2) +ab - 0 2 1 a2- ab + b2 + ab - 0 (vì a + b = 1) 2 1 a2 + b2 - 0 2 2a2 + 2b2 - 1 0 2a2 + 2(1 - a)2 - 1 0 ( vì b = 1 - a) 1 4 (a - 2 0 (2) 2 Bất đẳng thức (2) luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương 1 (1) đúng . Dấu bằng xảy ra a = = b 2 3.3. Bài tập tương tự Bài 1: Với mọi a, b chứng minh a4 + b4 a3b + ab3 a b Bài 2: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh a b b a x 6 y 6 Bài 3: Chứng minh x4 + y4 với x 0, y 0 y 2 x 2 4. Phương pháp tổng hợp 4.1. Phương pháp giải: Từ một bất đẳng thức đã biết là đúng, dùng các phép biến đổi tương đương biến đổi bất đẳng thức đó về bất đẳng thức cần chứng minh. GV:Đỗ Hoàng Chương 8 Sáng kiến kinh nghiệm toán 9
9. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2010-2011 Phương pháp giải này làm cho học sinh thấy khó ở chỗ là không biết nên bắt đầu từ bất đẳng thức nào nhưng nếu biết phương pháp giải này ngược với phương pháp phân tích thì cũng rất dễ tìm ra bất đẳng thức xuất phát. 4.2. Ví dụ áp dụng a b Ví dụ 1: Cho a, b 0. Chứng minh 2 ab (Bất đẳng thức Côsi) 2 Giải: Theo giả thiết a, b 0 ab 0 ab xác định. Ta có: ( a - b)2 0 a2 - 2ab +b2 0 a2 + 2ab +b2 4ab ( a - b)2 4ab a + b 2 ab (vì a + b 0 ) a b ab (đpcm). Dấu “ =” xảy ra a = b. 2 Ví dụ 2: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: a 2 b 2 c 2 d 2 a c 2 b d 2 Giải: Ta có: (ad - bd)2 0 a2d2 - 2adbc + b2c2 0 a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 a2c2 + b2d2 a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 a2c2 + 2acbd + b2d2 a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2) (ac + bd)2 a 2 b 2 c 2 d 2 ac + bd ( vì ac + bd > 0) a2 + b2 + 2 a 2 b 2 c 2 d 2 + c2 + d2 2ac + 2bd + a2 + b2 + c2 +d2 ( a 2 b 2 c 2 d 2 )2 (a + c)2 + (b + d)2 a c a 2 b 2 c 2 d 2 a c 2 b d 2 (đpcm). Dấu “=” xảy ra b d Chú ý: với a, b, c, d >0 thì các phép biến đổi trong cách giải trên là tương đương. GV:Đỗ Hoàng Chương 9 Sáng kiến kinh nghiệm toán 9
10. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2010-2011 4.3. Bài tập tương tự: Chứng minh các bất đẳng thức Bài 1: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca với mọi a, b Bài 2: (x-y)2+ (y -z)2 + (z -x)2 3(x2 + y2+z2) với mọi x, y, z 3 a 3 b 3 a b Bài 3: với a > 0 , b > 0 2 2 5. Phương pháp phản chứng: 5.1. Phương pháp giải: Nếu bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A B ( hoặc A 2 a2 + 2ab + b2 > 4 (1) Ta có: (a - b)2 0 a2 - 2ab + b2 0 2ab a2 + b2 a2 + b2 + 2ab 2(a2 + b2) Mặt khác theo giả thiết ta có: a2 + b2 2 2(a2 + b2) 4 Suy ra: a2 + b2 + 2ab 4 (2) mâu thuẫn với (1). Vậy phải có a + b 2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu a + b + c > 0; abc >0 , ab + bc + ac > 0 thì a > 0, b > 0, c > 0. Giải: giả sử a 0 Nếu a = 0 thì abc = 0 trái với giả thiết abc > 0 Nếu a 0 nên b + c > 0 Do abc > 0 nên bc < 0 a(b + c) + bc < 0 GV:Đỗ Hoàng Chương 10 Sáng kiến kinh nghiệm toán 9