Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán giải bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán giải bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

1. Phần A đặt vấn đề i - lý do chọn đề tài: Để thực hiện mục tiêu giáo dục hiện nay, nhằm nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và học, làm cho kết quả học tập của học sinh ngày càng được nâng cao. Vì vậy nhiệm vụ của thày và trò là phải dạy và học như thế nào để đạt hiệu quả cao nhất. Cùng với các môn học khác, Toán học là môn học chiếm vị trí quan trọng trong trường phổ thông. Dạy Toán tức là dạy phương pháp suy luận, học Toán là rèn luyện khả năng tư duy lôgic. Giải toán luôn là một hoạt động bổ ích và hấp dẫn. Nó giúp các em nắm vững thêm kiến thức, phát triển từng bước năng lực tư duy toán học, hình thành và hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, giúp các em có thể học tốt các môn tự nhiên khác cũng như vận dụng hiệu quả kiến thức toán học vào thực tế đời sống. Qua tìm hiểu thực tế cùng với quá trình giảng dạy cũng như những kinh nghiệm của bản thân tôi thấy: Đối với học sinh THCS hiện nay thì nhiều phần của môn Đại số là rất khó, trong đó có phần giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình. Các bài toán giải bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình rất đa dạng và phong phú, có nhiều cách giải. Do đó với học sinh lớp 8, lớp 9 hiện nay việc giải quyết các bài toán này gặp rất khó khăn, trở ngại, Vì: - Loại toán này có sự đan xen kĩ năng tính toán và lời văn biểu đạt sự liên hệ qua các ngôn từ, cần có sự suy luận và tư duy lôgic. - Khả năng "chuyển hoá" các ngôn từ thông thường thành ngôn ngữ toán học của học sinh là rất yếu. - Loại toán này rất đa dạng và phong phú, có liên hệ mật thiết với đời sống thực tế và các môn học khác. - Đặc biệt là học sinh chưa hình thành quá trình giải quyết và phương pháp làm việc qua từng giai doạn của bài toán đặc trưng. Chính vì vậy mà rất nhiều học sinh lúng túng và ngại làm loại toán này. Trong phạm vi nhỏ hẹp này tôi xin được trình bày một ý kiến nhỏ mà qua thử nghiệm trong giảng dạy tôi thấy đã làm giảm bớt khó khăn cho học sinh khi giải quyết các bài toán giải bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình, làm cho các em tự tin hơn, hứng thú hơn trong học tập. Tôi mông muốn tháo gỡ được phần nào khó khăn, trở ngại cùng đồng nghiệp. Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu tôi nhận thấy: đối với học sinh việc giải quyết loại toán giải bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình là một vấn đề cần được đề cập một cách sâu sắc và sát thực hơn. Đó chính là lý do tôi chọn đề tài này. 1
2. ii - cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài: Trong chương trình Đại số ở bậc THCS học sinh được làm quen với giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình ở lớp 8 và lớp 9. Tuy nhiên phần kiến thức về dạng toán này rất đa dạng và phong phú, các bài tập SGK, sách tham khảo đưa ra rất nhiều và đa dạng nhưng chưa phân loại cụ thể do đó khi gỉng dạy giáo viên và học sinh rất vất vả trong việc nghiên cứu, chọn lọc, phân dạng và tìm ra phương pháp giải cho từng loại. Trong những năm trước, khi giảng dạy phần giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình, tôi chỉ hướng dẫn cho các em qua những bài tập cụ thể mà không tổng hợp, phân dạng nên khi làm các bài toán khác các em vẫn lúng túng, chỉ có một số ít em làm được. Để khắc phục tình trạng này một trong những biện pháp có thể là phân dạng và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng. Từ đó giúp cho các em hiểu, ghi nhớ có hệ thống, giảm bớt khó khăn khi gặp các bài toán loại này. Để hình thành có hệ thống các kiến thức liên quan tôi cho học sinh ôn lại một số kiến thức sau: - Về số học: khai triển số trong hệ thập phân, công thức của phép chia có dư, điều kiện xác định của phân số - Về đại số: giải phương trình các loại, các phương pháp giải hệ phương trình, các phép biến đổi đại số - Về hình học: các công thức tính chu vi, diện tích của các hình phẳng đã học - Về vật lý: công thức trong chuyển động đều, công thức tính nhiệt lượng, phương trình cân bằng nhiệt - Về hoá học: công thức tính nồng độ dung dịch, nồng độ mol/lít iii - mục đích yêu cầu và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài: Dựa vào bộ SGK toán 8 và toán 9, sách hướng dẫn giảng dạy và một số sách tham khảo, những phương pháp giảng dạy cải tiến giúp cho học sinh có được phương pháp nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, sáng tạo và biết giải quyết loại toán nêu trên một cách nhanh hơn, hiệu quả hơn. Cùng với sự hình thành năng lực, kĩ năng giải toán và tư duy lôgic khoa học nhằm giảm bớt khó khăn cho việc dạy và học. Đề tài phát huy khả năng sáng tạo, phát triển tư duy kích thích tính tò mò, lòng ham hiểu biết, gây hưng phấn cho học sinh, từ đó giúp các em yêu thích môn học. Đề tài cũng góp phần phục vụ việc đổi mới phương pháp giảng dạy, nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy - học môn toán theo SGK mới. iv - phương pháp nghiên cứu: 1. Phương pháp điều tra. 2. Phương pháp đối chứng. 3. Phương pháp thực nghiệm. 2
3. Phần B nội dung giải quyết vấn đề i - lý luận chung: Trước khi phân ra từng dạng toán cụ thể giáo viên đưa ra quy tắc giải chung và các giai đoạn cụ thể để giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình) đồng thời phân tích cụ thể các yêu cầu về lời giải để học sinh nắm được một cách sâu sắc, tỉ mỉ, rõ ràng. 1. Quy tắc chung giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình) Bước 1: Lập phương trình, hệ phương trình - Chọn ẩn, ghi đơn vị của ẩn, điều kiện của ẩn. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết. - Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải phương trình (hệ phươngtrình) (Tuỳ thuộc vào phương trình, hệ phương trình mà chọn cách giải cho phù hợp) Bước 3: Trả lời Kiểm tra xem các nghiệm trong phương trình (hệ phương trình) nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. 2. Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình) Trên cơ sở quy tắc chung và các thao tác của từng bước hình thành quá trình làm việc qua từng giai đoạn giúp học sinh triển khai bài toán dễ dàng hơn: Giai đoạn 1: Phân tích và ghi giả thiết, kết luận của bài toán: - Giúp học sinh hiểu bài toán: cho dữ kiện gì? yêu cầu tìm những gì? - Mô tả bằng hình vẽ, sơ đồ được không? Giai đoạn 2: Biểu diễn các đại lượng - Chọn ẩn, đơn vị của ẩn và điều kiện của ẩn (điều kiện của ẩn phải phù hợp với yêu cầu của bài toán và thực tế đời sống) - Đại lượng, đối tượng được biểu diễn bằng các biểu thức đại số. Giai đoạn 3: Lập phương trình (hệ phương trình) - Thông qua mối quan hệ ràng buộc của bài toán và từ các biểu thức đại số viết thành phương trình (hệ phương trình) (Ba giai đoạn này chính là bước 1 trong quy tắc chung) Giai đoạn 4: Giải phương trình - Vận dụng kĩ năng giải phương trình (hệ phương trình): biến đổi về dạng cơ bản nếu là phương trình (hệ phương trình) phức tạp. 3
4. - Tìm giá trị của ẩn hợp lí, nhanh chóng. Giai đoạn 5: Nhận định, đánh giá kết quả: Kiểm tra nghiện vừa tìm được có phù hợp với điều kiện của ẩn không? - Xét xem nghiệm của phương trình (hệ phương trình) vừa tìm được đã phù hợp với bài toán chưa? Có phù hợp với ý nghĩa thực tế không? Giai đoạn 6: Trả lời bài toán Trên cơ sở giai đoạn 5 ta trả lời kết quả của bài toán. Giai đoạn 7: Phân tích và biện luận cách giải Sau khi thực hiện xong lời giải cần phát huy tính sáng tạo, bồi dưỡng học sinh thông qua việc: - Thay đổi dữ kiện bài toán, giữ nguyên ẩn số. - Thay đổi ẩn số giữ nguyên dữ kiện và các yếu tố khác. - Tìm cách giải khác tối ưu hơn. * Ví dụ minh hoạ cho các giai đoạn giải bài toán: Bài toán: Anh Quang lái xe tải từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc trung bình 40 km/h. Sau 1h30' anh Vinh lái xe con cũng từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc trung bình 60 km/h. Anh Vinh gặp anh Quang ở chính giữa quãng đường từ từ thành phố A đến thành phố B. Hỏi hai thành phố cách nhau bao nhiêu kilômét? * Hướng dẫn học sinh: Giai đoạn 1: Hai xe chạy cùng chiều từ A đến B Xe con : v 60 km/h thời gian t  1 1  gặp nhau ở chính giưa quãng dường Xe tả i : v 40 km/h thời gian t 2 2  Thời gian hơn kém nhau: t2 - t1 = 1,5 (giờ) Tính quãng đường AB ? Giai đoạn 2: Gọi khoảng cách giữa hai thành phố A và B là: x (km) ĐK: x > 0 x Hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường nên mỗi xe đi được: (km) 2 x x Thời gian của xe tải đi hết: : 40 = (giờ) 2 80 x x Xe con đi hết: : 60 = (giờ) 2 120 4
5. Giai đoạn 3: 3 Vì xe tải xuất phát trước xe con 1h30' = giờ nên ta có phương trình: 2 x x 3 - (1) 80 120 2 Giai đoạn 4: (1) 3x - 2x = 360 x = 360 Giai đoạn 5: Với x = 360 thoả mãn với điều kiện của ẩn trong bài toán. 360 360 3 Thử lại: - (nghiệm đúng) 80 120 2 Giai đoạn 6: Vậy hai thành phố A và B cách nhau 360 km Giai đoạn 7: - Thay đổi vị trí gặp nhau của hai ôtô yêu cầu tìm khoảng cách của hai thành phố - Thay đổi thời gian xuất phát (vận tốc của hai xe) tìm khoảng cách? * Lời giải: Gọi khoảng cách giữa hai thành phố A và B là x (km) (Đk: x > 0) x Theo bài ra hai xe gặp nhau giữa quãng đường nên mỗi xe đi được (km) 2 x x Do đó thời gian xe tải đi hết : 40 = (giờ) 2 80 x x Thời gian xe con đi hết: : 60 = (giờ) 2 120 3 Vì xe tải xuất phát trước xe con 1h30' = giờ nên ta có phương trình: 2 x x 3 - 80 120 2 3x - 2x = 360 x = 360 Với x = 360 thoả mãn điều kiện của ẩn Vậy khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 360 km. 3. Yêu cầu về lời giải của bài toán: * Yêu cầu 1: Không sai sót (tính chính xác). 5
6. HS: cần hiểu bài toán đúng đắn nếu không hiểu hoặc hiểu sai thì sẽ không giải được hoặc giải sai. HS: cần hiểu hết các chi tiết của bài toán nếu không sẽ bị bỏ sót. Chẳng hạn: bỏ qua đơn vị của ẩn, điều kiện của ẩn (phù hợp với bài toán, phù hợp với thực tế) khi đó lời giải không toàn diện. Lưu ý: - ẩn là động vật, thực vật, sản phẩm thì điều kiện nguyên dương - ẩn a là chữ số thoả mãn điều kiện: 0 a 9 , a nguyên. - ẩn là thời gian, quãng đường, vận tốc, thể tích: điều kiện dương * Yêu cầu 2: Lời giải có lập luận - Quá trình thực hiện từng bước có lôgic chặt chẽ với nhau. - Xác định, chọn ẩn phù hợp làm nổi bật mối quan hệ và vấn đề phải tìm. - Thiết lập phương trình (hệ phương trình), tìm giá trị của ẩn nhanh gọn. Muốn vậy học sinh học sinh cần xây dựng được kế hoạch giải bài toán qua 7 giai đoạn. * Yêu cầu 3: Lời giải phải toàn diện - Kết quả bài toán tìm được phải phù hợp với cái chung. - Nếu thay đổi điều kiện để đưa bài toán đến trường hợp đặc biệt thì kết quả vẫn phù hợp. * Yêu cầu 4: Lời giải phải đơn giản Lời giải ngắn gọn, dễ hiểu mà vẫn đảm bảo các yêu cầu trên. * Yêu cầu 5: Trình bày lời giải khoa học - Mối liên hệ giữa các bước giải trong bài phải lôgic chặt chẽ. - Bước sau được kế thừa những bước trước đã được kiểm nghiệm là đúng. * Yêu cầu 6: Lời giải phải rõ ràng - Các thao tác, lập luận tiến hành lời giải không chồng chéo, không lẫn nhau. - Các bước giải phải chính xác, khoa học. - Kết quả phải thống nhất dù tiến hành theo các cách khác nhau. 4. Phân loại bài toán: - Bài toán về chuyển động - Bài toán có nội dung số học - Bài toán có nội dung hìmh học - Bài toán về năng suất lao động - Bài toán về tỉ lệ chia phần, thêm bớt, tổng, hiệu, tích,tỉ số,phần trăm - Bài toán về công việc làm chung, làm riêng (bài toán quy về đơn vị) 6