Sáng kiến kinh nghiệm Bồi dưỡng tư duy giải toán cho học sinh thông qua các phép biến đổi lượng giác

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Bồi dưỡng tư duy giải toán cho học sinh thông qua các phép biến đổi lượng giác

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG PHỔ THÔNG TRUNG HỌC CHUYÊN VĨNH PHÚC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BỒI DƯỠNG TƯ DUY GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Người thực hiện : Đào Chí Thanh Tổ : Toán Tin Mã : 55 Số điện thoại : 0985 852 684 Email : thanhtoan@vinhphuc,edu.vn Năm 2012- 2013
2. Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác MỤC LỤC Trang Më ®Çu 3 PHẦN I : SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Dạng 1 : Một số bài tập đại số sử dụng hệ thức lượng cơ bản 6 Bài tập tự luyện 11 Dạng 2 : Sử dụng các công thức cộng cung 12 Bài tập tự luyện 15 Dạng 3: Sử dụng các kết quả đã biết của tam giác lượng 16 Bài tập tự luyện 20 Dạng 4:Giải phương trình, hệ phương trình sử dụng lượng giác 21 Bài tập tự luyện 23 PHẦN II - KẾT LUẬN VÀ Ý KIẾN ĐỀ XUẤT 25 Tài liệu tham khảo 27 Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 2
3. Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Trong giai đoạn hiện nay, việc cấp bách để tránh đất nước có nguy cơ tụt hậu về kinh tế, khoa học kỹ thuật là phải nâng cao chất lượng giáo dục, thay đổi căn bản phương pháp dạy học.Học sinh phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động tư duy sáng tạo, bồi dưỡng phương pháp tự học học sinh. Bên cạnh đó, hàm số lượng giác và phương trình lương giác là khái niệm khó, trừu tượng đối với học sinh THPT, phân phối thời gian giảng dạy và học tập chiếm thời gian rất ít vì vậy để giải các bài tập lượng giác đối với nhiều học sinh là khá khó khăn. Vì vậy để nâng cao chất lượng dạy và học của học sinh đối với môn toán, giúp các em thấy được các mối liên quan giữa các phần được học trong bộ môn toán với nhau tôi đã tổng hợp , phân loại một số bài toán đại số có thể giải bằng các kiến thức lượng giác nhằm giúp các em có cách nhìn mới , phướng pháp mới để giải một số bài tập đại số. Mặt khác nhằm giúp các em ôn luyện các kiến thức đã học ở chương hàm số và phương trình lượng giác 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của bản sáng kiến kinh nghiệm này nghiên cứu một số bài toán đại số được giải bằng phương pháp khác nhằm góp phần rèn luyện yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh . 3. Giả thuyết khoa học Sử dụng các kiến thức lượng giác để giải một số bài tập đại số nhằm bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh , góp phần đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay và nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông trung học Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 3
4. Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập đại số phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. 5. Phương pháp nghiên cứu - Dự giờ, quan sát việc dạy học của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trình khai thác các bài tập sách giáo khoa, các bài tập nâng cao. - Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tượng. Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 4
5. Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Dạng 1: Một số bài tập đại số sử dụng hệ thức lượng cơ bản Ta đã biết một số hệ thức lượng cơ bản học sinh đã dược học từ lớp 9, song vận dụng các kiến thức này còn hạn chế. Để thấy được vai trò của các hệ thức cơ bản của lương giác trong toán học tôi đã phân loại ra một số bài tập sau. Các hệ thức cơ bản và hệ quả: 1/ sin2 cos2 1 sin 2/ tg cos cos 3/ cot g sin 1 4/ 1 tg2 cos2 1 5/ 1 cot g2 sin2 6/ tg .cot g 1 Sau đây là một số bài tập minh họa Bài 1 : Cho a2 + b2 = c2 +d2 = 1 Chúng minh rằng : ac bd 1 Bài giải : Do a2 + b2 = 1 nên đặt sin = a; cos = b; Do c2 + d2 = 1 nên đặt sin = c; cos  = d; Thay vào ac + bd thì ta có sin .sin +cos .cos  = cos( -  ) Lại có cos x 1 nên ta có ac bd 1 Bài 2 : Cho x;y thỏa mãn x x2 3 y y2 3 3 (1).Tính x + y Bài giải Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 5
6. Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Từ (1) chia hai vế cho 3 ta có x x2 3 y y2 3 1 Từ biểu thức đã cho ta thấy x>0,y>0 3 3 3 3 Với a 0; nên ta có thể đặt: 2 x x x x ( )2 1 tan a ( )2 1 tan a (2) 3 3 3 3 y y y y ( )2 1 cot a ( )2 1 cot a (3) 3 3 3 3 Bình phương hai vế của (2) và (3) ta có x2 x2 x 1 tan2 a 2 tan a 3 3 3 y2 y2 y 1 cot2 a 2 cot a 3 3 3 x x tan2 a 1 1 tan2 a 2 tan a 2 tan a cot a (4) 3 3 tan a Hay y y cot2 a 1 1 cot2 a 2 cot a 2 cot a tan a (5) 3 3 cot a Cộng (4) và (5) ta có: x+ y = 0 (Đpcm). Bài 3: Cho x;y;z đôi một khác nhau thỏa mãn : (x+ z)(z + y) = 1 Chứng minh rằng : 1 1 1 4 (x y)2 (z x)2 (z y)2 Bài giải : Do (x+ z)(z + y) = 1 Với a k 4 ta đặt : x + y = tan a; y + z = cot a nên x – y = tan a – cot a. Do đó ta cần chứng minh : Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 6
7. Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 1 1 1 1 4 tan2 a cot2 a 4 (tan a cot a)2 t an2a cot2 a tan2 a cot2 a 2 1 tan2 a cot2 a 2 2 (2) tan2 a cot2 a 2 Ta thấy (2) đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Bài 4: Cho 0 < x;y;z < 1 thỏa mãn : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) (1) 3 Chứng minh rằng : x2 y2 z2 (2) 4 Bài giải : 1 x 1 y 1 z Từ giả thiết : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) ta có : . . 1 x y z Với a;b;c 0; Ta đặt : 4 1 x 1 tan a. cotb 1 x x.tan a cotb x x 1 tan a cotb 1 y 1 cot a. cotb 1 y y.cot a cotb y y 1 cot a cotb 1 z 1 tanb. 1 z z.tanb z z 1 tanb Vậy Bất đẳng thức (2) tương đương: 1 1 1 3 (1 tan a. cotb)2 (1 cot a. cotb)2 (1 tanb)2 4 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2 2 1 tan a cotb (1 tan2 a)(1 cotb) ; 1 cot a cotb (1 cot2 a)(1 cotb) Điều phải chứng minh tương đương : 1 1 1 (1 tan a. cotb)2 (1 cot a. cotb)2 (1 tanb)2 2 tan 2 a cot 2 a 1 1 cot 2 b cot 2 b cotb 1 (1 tan2 a)(1 cot2 a)(1 cotb) (1 tan2 b) 1 cotb 1 cot2 b (1 cotb)2 Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 7
8. Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Ta chứng minh : cot2 b cotb 1 3 4(cot2 b cotb 1) 3(1 cotb)2 (1 cotb)2 0 Đúng (1 cotb)2 4 Bài 5 : Cho : a2 + b2 – 2a – 4b+ 4 = 0 (*) Chứng minh rằng : A a2 b2 2 3ab 2(1 2 3)a (4 2 3)b 4 3 3 2 Bài giải : Từ (*) ta có ( a – 1 )2 + (b – 2 )2 =1 Ta đặt a = 1+ sin x; b = 2 + cos x Thay vào A ta có : A sin2 x cos2 x 2 3sin x.cos x 3sin 2x cos2x 2 (Đpcm) Bài 6 : Chứng minh rằng : 3 2 3 2 3x2 x 1 x2 2 2 Bài giải :Từ ĐK bài toán ta có x 1 x sin a a Thay vào : 2 2 1 cos2a 1 3x2 x 1 x2 3sin2 a sin a.cosa 3 sin 2a 2 2 3 1 3 ( 3 cos2a sin 2a) cos(300 2a) 2 2 2 3 2 3 2 Ta có - 1 cos(300 + 2a ) 1 nên 3x2 x 1 x2 2 2 3 2 Bài7: Cho 1 a 3 Chứng minh rằng : S 4a 24a 45a 26 1 Bài giải : Ta có : -1 a – 2 1 Nên ta đặt : a – 2 = cos x (0 x ) Thay vào biều thức S ta có S 4(2 cos x)3 24(2 cos x)2 45(2 cos x) 26 cos3x 1 (đpcm) Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 8
9. Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Bài 8: Chứng minh rằng : a2 1 3 A 2 (a; a 1) a 1 Bài giải : Đặt a ( 0 x ; x ) cos x 2 1 2 1 3 Ta có : A cos x 1 cos2 x 3.cos x sin x 3.cos x 2 1 cos x 3x 4x3 Bài 9 : Chứng minh rằng : S 1 ( x) 2 3 1 x 1 x2 Bài giải : Đặt x = tan a ( a ) Khi đó 2 2 3tan a tan3 a S 4 3tan a.cosa 4.tan3 a.cos3 a 1 tan2 a (1 tan2 a)3 3sin a 4sin3 a sin3a 1 (a b)(1 ab) 1 Bài10 : Chứng minh rằng : (a;b) (1 a2 )(1 b2 ) 2 Bài giải :Đặt a = tan x; b = tan y với x; y ; thì ta có 2 2 (a b)(1 ab) (tan x tan y)(1 tan x.tan y) (1 a2 )(1 b2 ) (1 tan2 x)(1 tan2 y) sin(x y).cos(x y) cos2 x.cos2 y. cos2 x.cos2 y 1 1 sin(x y).cos(x y) sin 2(x y) (x; y) 2 2 Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 9
10. Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Một số bài tập tự luyện Bài 1/Chứng minh rằng : a2 1 b2 1 a) 1 (a,b a 1; b 1) a.b b) ab cd (a c)(b d) (a;b;c;d 0) Bài 2 : Cho a2 +b2 = c2 + d2 =1 Chứng minh rằng: 2 a(c d) b(c d) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 25 Bài 3 :Cho a + b = 1 : Chứng minh rằng: a 2 b 2 a b 2 3 2 3 2 Bài 4 :Chứng minh rằng: 3x 2 x 1 x 2 ( 1 x -1) 2 2 Bài 5: 3 3 Chứng minh rằng: 1 1 a 2 1 a 1 a 2 2 2 2a 2 (1 a -1 Bài 6 : Chứng minh rằng: 2a a 2 3a 3 2 ( 2 a 0 ) Bài 7 : Chứng minh rằng: 4a3 24a 2 45a 26 1 a 1;3 Bài 8 : Cho x2 + y2 = 1 . CMR : 16(x5 y5 ) 20(x3 y3 ) 5(x y) 2 Bài 9 Cho 0 < x;y;z < 1 thỏa mãn : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) 1 1 1 Chứng minh rằng : 12 x2 y2 z2 Bài 10 Cho x;y thỏa mãn x2 4 x y2 4 y 4 .Tính x + y Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 10
11. Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Dạng 2 : Sử dụng các công thức cộng cung Một số bài toán sử dụng các công thức cộng cung và các công thức biến đổi khác. Ta nêu lại các công thức đã học sau : 1 Công thức cộng - trừ: 1/ sin a b sin a.cos b sin b.cos a 2/ sin a b sin a.cos b sin b.cos a 3/ cos a b cos a.cos b sin a.sin b 4/ cos a b cos a.cos b sin a.sin b tga tgb tga tgb 5/ tg a b 6/ tg a b 1 tga.tgb 1 tga.tgb cot ga.cot gb 1 cot ga cot gb 1 7/ cot g a b 8 / cot g a b cot ga cot gb cot ga cot gb 2. Công thức góc nhân đôi: 2 2 1/ sin 2a 2 sin a.cos a sin a cos a 1 1 sin a cos a 2/ cos 2a cos2 a sin2 a 2 cos2 a 1 1 2 sin2 a 2tga cot g2a 1 3/ tg2a 4/ cot g2a 1 tg2a 2 cot ga 3. Công thức góc nhân ba: 1/ sin 3a 3 sin a 4 sin3 a 2/ cos3a 4 cos3 a 3 cos a 3tga tg3a cot g3a 3 cot ga 3/ tg3a 4/ cot g3a 1 3tg2a 3 cot g2a 1 4. Công thức hạ bậc hai: 1 cos 2a tg2a 1 cos 2a cot g2a 1/ sin2 a 2/ cos2a 2 1 tg2a 2 1 cot g2a 1 cos 2a 1 3/ tg2a 4/ sin a cos a sin 2a 1 cos 2a 2 Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 11