Sáng kiến kinh nghiệm Bồi dưỡng học sinh khá giỏi về bất đẳng thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Bồi dưỡng học sinh khá giỏi về bất đẳng thức

1. áp dụng giải bất đẳng thức trong đại số T.H.C.S A- Mở đầu 1) Lý do chọn đề tài 2) Mục đích nghiên cứu 3) Nhiệm vụ đề tài 4) Phạm vi đề tài 5) Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành 6) Dự kiến kết quả của đề tài. B- Nội dung áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số I- Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức II- Một số phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức trong đại số. 1. Phương pháp dư vào vào định nghĩa 2. Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức 3. Phương pháp biếnđổi tương đương 4. Phương pháp dùng phương pháp phản chứng 5. Phương pháp dùng qui nạp toán học 6. Phương pháp biến đổi 7. Phương pháp dùng các bất đảng thức đã biết III- Một vài ứng dụng của bất đẳng thức: 1. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số biểu thức đại số 2. Tìm điều kiện của tham số để phương trình, hệ phương trình có nghiệm vô nghiệm 3. Giải phương trình, hệ phương trình. C. Thực nghiệm sư phạm D. Kết luận E. Tài liệu tham khảo Người viết sáng kiến kinh nghiệm:Lê Hữu Quý 1
2. áp dụng giải bất đẳng thức trong đại số T.H.C.S A- Mở đầu 1) Lí do chọn đề tài: Ngày nay sự phát triển của tất cả các nghành khoa học, cơ bản cũng như ứng dụng và tất cả những ngành công nghiệp then chốt như đầu khí viễn thông, hàng không, đều khong thể thiếu toán học và càng gắn bó mật thiết toán học. Sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin thực sự đã dẫn đến hiện tượng “ Bùng nổ” các ứng dụng của toán họcđưa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội. Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao dân trí. Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (người học toán) những khĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lôgíc, một phương pháp luận khoa học. Trong việc dạy học tóan thì việc tìm ra những phương pháp giải học và giẩi bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học. Góp phần hình thành và phát triển tư duy học sinh.Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được bồi dưỡng,rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài toán đặc biệt là giải bài toán bất đẳng thức . Bài toán bất đẳng thức là những bài toán khó đối với học sinh ở các vùng miền. Đặc biệt là học sinh miền núi. Dưới sự công tác tại một trường chuyên biệt của vùng núi Thanh Hoá. Việc bồi dưỡng cho học sinh về toán học là rất cần thiết cho việc phát triển tư duy lôgíc. Vì vậy “Bồi dưỡng học sinh khá giỏi về bất đẳng thức” góp phần vào sự phát triển tư duy lôgíc của môn toán . Trong quá trình giảng dạy thực tế ở trường thcs tôi đã tích luỹ được một số kiến thức về bất đẳng thức xin được trình bày. 2) Mục đích nghiên cứu: a. Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải các bài tập cứng minh bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh mọt số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực giải bất đẳng thức giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức. b. Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập nâng cao và các sách tham khảo, giúp học sinh giải được một số bài tập c. Giải đáp những thắc mắc, sửa trữa những sai lầm khi giải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học Người viết sáng kiến kinh nghiệm:Lê Hữu Quý 2
3. áp dụng giải bất đẳng thức trong đại số T.H.C.S d. Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập e. Thông qua việc giải các toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc giải toán và học tốt hơn các bài tập về bất đẳng thức. Đồng thời góp phần nâng cao học sinh khá giỏi. 3) Nhiệm vụ của đề tài: a. Trong đề tai này đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thúc học sinh trung học cơ sở b. Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán bất đẳng thức. áp dụng để làm bài tập c. Rút ra một số nhận xét và chú ý làm từng phương pháp d. Chọn lọc hệ thống một số bài tập hay gặp cho phù hợp cho từng phương pháp giải, cách đổi biến e. Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị, giải một số phương trình dạng dặc biệt. 4) Phạm vi đề tài: Phát triển năng lực, tư duy của học sinh thông giải toán bât đăng thức đối vơí học sinh lớp 8. 5) Đối tựơng nghiên cưú và phương pháp tiến hành: Đề taì áp dụng đối vơi học sinh lớp 8 và trong các giờ luyện tập, bồi dưỡng kì thi học sinh giỏi . Phương pháp tiến hành: học sinh có kiến thức cơ bản, đưa ra phương pháp giải, bài tập áp dụng, sai lầm hay gặp, bài tập tự giải ( học sinh về nhà làm bài tập). 6) Dự kiến kết quả của đề tài. Khi chưa thực hiện đề tài naỳ: Học sinh chỉ giải được một số bài tập bất đẳng thức đơn giản, hay mắc phải những sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm bài tập về bất đẳng thức. Nếu thực hiện được đề tài này thì học sinh có hứng thu khi giải toán bất đẳng thức, làm bài tập tốt hơn,tự giải quyết được các bài đẳng thức tương tự, hạn chế được rất nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳng thức ./. Người viết sáng kiến kinh nghiệm:Lê Hữu Quý 3
4. áp dụng giải bất đẳng thức trong đại số T.H.C.S B- Nội Dung áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số T.H.C.S I . Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức 1. Định nghĩa. Cho hai số a và b ta nói: a lớn hơn b, kí hiệu: a > b  a -b > 0 a nhỏ hơn b, kí hiệu: a b  b b; b > c => a > c 2.3. Tính chất đơn điệu của phép cộng: Cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức. a > b => a + c > b +c 2.4 . Cộng từng hai vế bất đẳng thức cùng chiều được bất đẳng thức cùng chiều với đẳng thức đã cho: a > b ; c >d => a + c > b +d . Chú ý: Không được trừ từng vế của bất đẳng thức cùng chiều 2.5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng thức mới a b  cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ .  a - c b - d c d  2.6. Tính chất đơn điệu của phép nhân: a) Nhân hai vế bất đẳng thức với cùng một số dương a > b; c > 0 => ac > bc b) Nhân hai vế bất đẳng thức với số âm và đổi chiều của bất đẳng thực. a > b; c ac > bd 2.7. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều và hai vế không âm . a b 0   ac bd c d 0  2.8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức a > b > o => a n > bn a > b  an > bn với n = 2k ( k N ) n n  a > b với n = 2k ( k N ) 2.9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số vớ số mũ nguyên dương. Nếu m > n > 0 thì : a > 1 => am > bn a = 1 => am = bn Người viết sáng kiến kinh nghiệm:Lê Hữu Quý 4
5. áp dụng giải bất đẳng thức trong đại số T.H.C.S 0 am b > o hoặc b b) ta còn gặp các bất đẳng thức không chặt ( a b ) tức là a > b hoặc a = b Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu “ >” ( hoặc dấu “ 0 a b a b 1 1 4. + 2 với ab > 0 a b 5. (ax + by )2 (ab + b 2 ). (x2 + y2 ) (Bất đẳng thức Bunkia Côpski) II. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số 1.Phương pháp dùng định nghĩa. 1.1 Cơ sở toán học. Để chứng minh : A > B ta xét hiệu A -B và chứng tỏ A-B > 0 A < B ta xét hiệu A - B và chứng tỏ A-B < 0 1.2 Ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1: Chứng minh rằng : ( x- 1 )(x-2 )(x-3 )(x-4 ) -1. Giải : Xét hiệu : (x- 1 )(x-2 )(x-3 )(x-4 ) - ( -1) = (x2 - 5x +4)( x2 - 5x + 6) + 1 Đặt : (x2 - 5x +5) = y biểu thức trên bằng : ( y - 1) ( y + 1 ) +1 =x2 0 . Người viết sáng kiến kinh nghiệm:Lê Hữu Quý 5
6. áp dụng giải bất đẳng thức trong đại số T.H.C.S (x -1)( x-2 )(x-3 )(x-4 ) - (-1 ) 0 (x -1)( x-2 )(x-3 )(x-4 ) -1 Ví dụ 2: Chứng minh: 2( x2 + y2 ) (x+ y )2 Giải : Xét hiệu hai vế : 2( x2 + y2 ) - (x+ y )2 =2x2 + 2y2 -x2-y2 -2xy = x2 -2xy +y2 = (x- y)2 0 Vậy 2( x2 + y2 ) (x+y)2 Ví dụ 3: a b Chứng minh rằng nếu a và b là các số thực không âm thì ab . Dấu bằng xảy 2 ra  a = b Giải : a b a b 2ab ( a b) 2 Xét hiệu: - ab = = 0 đúng với a, b 0 2 2 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b 1.3 Bài tâp tự giải Chứng minh các bất đẳng thức sau : 2 a 2 b 2 a b 1. 2 2 2. x3 + 4x +1 >3x2 với x 0 1 3. x4 - x > 2 4. Cho a + b = c + d . Chứng minh rằng : c2 + d2 +cd 3ab 5. a6 + b6 +c6 a5b +b5c + c5a (a,b,c 0) 1 1 2 6. Với a b 1 thì + 1 a 2 1 b 2 1 ab 2 Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức. 2.1. Cơ sở toán học . - Xuất phát từ một bất đẳng thức đã biết vận dụng các tínhchất bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh . - Thường là áp dụng những tính chất cơ bản của bất đẳng thức ( đã nêu ở phần trên). 2.2 Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: 1 Cho a +b >1 chứng minh rằng: a4 +b4 > . 8 Người viết sáng kiến kinh nghiệm:Lê Hữu Quý 6
7. áp dụng giải bất đẳng thức trong đại số T.H.C.S Giải: Ta có: a + b > 1 > 0 (1) Bình phương hai vế ta được : (a +b )2 > a2 –2ab + b2 1 (2) Mặt khác : (a -B)2 0  a2 -2ab + b2 0 (3) 1 Cộng từng vế của (2) và (3) ta được: 2(a2+ b2) > 1 =>a2 + b2 > (4) 2 1 Bình phương hai vế của ( 4) ta được : a 4 + 2a2 b2 +b4 > (5) 4 Mặt khác: (a2- b2)2 0 => a4 - 2a2b2 + b4 0 (6) 1 1 Cộng từng vế của (5) và (6) ta được: 2 (a4+ b4) > => a4 + b4 > 4 8 Ví dụ 2. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác 1 1 1 1 1 1 Chứng mnh rằng: + + + + a b c b c a c a b a b c Giải: 1 1 Xét : + với a + b - c > 0 ; b + c - a > 0 a b c b c a 1 1 4 áp dụng bất đẳng thức : + với x, y > 0 ta được : x y x y 1 1 4 2 + = a b c b c a 2b b 1 1 2 Tương tự ta có : + b c a c a b c 1 1 2 + c a b a b c c Cộng tầng vế ba bất đẳng thức rồi chia cả cho 2 ta được: 1 1 1 1 1 1 + + + + a b c b c a c a b a b c Dấu bằng sảy ra khi: a = b = c Ví dụ 3 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 1 1 1 1 + + + < 23 33 n3 4 Giải: Phân tích hướng dẫn Gọi A là vế trái của bất đẳng thức trên. Ta sử dụng tính chất bắc cầucủa bất đẳng thức dưới dạng phương pháp làm tròn. Người viết sáng kiến kinh nghiệm:Lê Hữu Quý 7