Sáng kiến kinh nghiệm Bình phương của một biểu thức thì không âm – Cách nhìn và ứng dụng

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Bình phương của một biểu thức thì không âm – Cách nhìn và ứng dụng

1. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Đức Khánh. A _ Đặt Vấn Đề. Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS . Nhằm phát huy trí lực , kĩ năng giải toán , khả năng tư duy sáng tạo , độc lập , có óc khái quát và tổng hợp . Đặc biệt là cung cấp cho học sinh phương pháp suy nghĩ , cách nhìn nhận một vấn đề , một bài toán với phẩm chất toán học của nó. Với khả năng có hạn , bằng vốn kinh nghiệm , qua đọc và nghiên cứu sách , cộng với sự học hỏi ở các đồng nghiệp , tôi mạnh dạn viết vài dòng trình bày một vấn đề có thể không còn mới mẻ. Nay tôi đem đến cho các bạn cùng nhìn nhận và tham khảo . B . Nội dung “ Bình phương của một biểu thức thì không âm – cách nhìn và ứng dụng” Khởi đầu ( a- b)2 0 với  a, b Dấu “=” xảy ra khi a= b 1 . Từ a2 – 2ab + b2 0 a2 b2 a2 +b2 (a +b)2 (1) ab với a, b 2 2(a2 +b2 ) (a+b)2 2. Với a, b 0 . Chia 2 vế của (1) cho ab ta có a b 2 (2) b a 3. Cộng 2 vế của (1) và 2ab ta có (a+b)2 4ab (3) 2 a b ab 2 a b Với a,b 0 . Khai phương 2 vế ta có ab 2 ( Bđt cụ si với 2 số không âm ) 4. Chia 2 vế của (3) cho ab(a+b)>0 .Ta có a b 4 1 1 4 (4) Hay ab a b a b a b 1 1 1 4a 4b a b a2 5. Chia hai vế của (4) cho a>0 ta có b 2a b b>0 (5) b2 a + 2b a 6. a, b>0 . Lấy nghịch đảo và đổi chiều 2 vế của (5) ta có: 1 1 (6) 2ab a2 b2 1 1 a b ( nhân 2 vế với a+b ) 2a 2b a2 b2 1
2. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Đức Khánh. 1 1 1 a b 2 2 2 a b a b 7. Bớt mỗi vế của (6) cho ab ta có a2 – ab +b2 ab(a+b) (7) 8. a2+b2 2ab 2(a2+b2) (a+b)2 (cộng mỗi vế với a2 +b2) 2 a2 b2 a b (chia mỗi vế cho 4) 2 2 9. (a- b)2 0 (a- c)2 0 2(a2 b2 c2 ) 2ab +2ac +2ca (b- c)2 0 (a,b,c>0) 3(a2 +b2+ c2) (a+b+c)2. Bài tập áp dụng Bài 1: a, b, c là số đo 3 cạnh tam giác ( p là nửa chu vi) 1 1 1 1 1 1 CMR : 2 p a p b p c a b c Giải 1 1 4 Từ (4) ta có a b a b 1 1 4 4 Tương tự : p a p b 2 p a b c 1 1 4 4 p b p c 2 p b c a 1 1 4 4 p c p a 2 p a c b 1 1 1 2VT 4 a b c 1 1 1 2 VT a b c Bài 2. Cho a,b ,c >0 CMR a2 b2 b2 c2 c2 a2 a+b+c 2c 2a 2b Giải a2 c 2a c b2 Từ công thức (5) ta có : a 2b a c2 b 2c b 2
3. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Đức Khánh. a2 b2 c2 Tương tự : a b c (1) c a b a2 b2 c2 b c (2) b c a a2 b2 b2 c2 c2 a2 Cộng (1) với (2) ta có : a b c 2c 2a 2b Bài 3. a2 b2 c2 a b c Cho a, b ,c >0 CMR : b c c a a b 2 Giải 2a 2 (b c) 2a.2 4a b c 2b 2 (a c) 2b.2 4b Từ (5) ta có : + a c 2c 2 (a b) 2c.2 4c b c 4a2 4b2 4c2 2(a b c) b c a c a b Chia 2 vế cho 4 ta có đpcm Bài 4. * 2 1 2 Cho x>0 Q . CMR 1 x 2 1 16 x x Giải Từ (3) ta có (1+x)2 4x 1 2 1 1 2 1 1 4 x x x x đpcm. Bài 5. Cho a, b, c >0 CMR : 2 1 1 1 1 1 1 3 4 ab ac bc a b a c b c Giải Từ (3) có (a+b)2 4ab Chia 2vế cho ab(a+b)2> 0 . Ta có . 1 4 ab a b 2 1 4 Tương tự : + ac a c 2 1 4 bc b c 2 3
4. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Đức Khánh. 1 1 1 1 1 1 4 ab ac bc 2 2 2 a b b c a c 1 1 1 1 1 1 3 4.3 2 2 2 ab ac bc a b a c b c 2 1 1 1 4 Theo (9) a b a c b c Bài 6 . CMR: 2 a3 b3 c3 ab a b bc b c ac(a c) Giải a3 b3 ab a b Từ (7) ta có : + b3 c3 bc b c c3 a3 ac(a c) 2 a3 b3 c3 ab(a b) bc(b c) (a c) Bài 7. Cho (x,y)là nghiệm của hpt : ax-by=0 x +y =1 Tìm Max :xy. Giải. a b Tính x, y . ax=by (có thể sd t/cdãy tỉ số băng nhau : y x ax+ay = ay+by a(x+y) = y(a+b) a =y(a+b) a y a b ab 1 Khi đó xy 2 a b 4 1 1 Max xy a b Khi đó x y 4 2 Bài 8. Cho a, b, c >0 . 1 1 1 1 1 1 CMR : 2a b c 2b a c 2c a b 4a 4b 4c Giải. 4 1 1 1 1 1 Từ(4) có a b a b 4a 4b 16a 16b 4
5. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Đức Khánh. 4 1 1 2a b c 2a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 2a (b c) 8a 4(b c) 8a 4b 4c 8a 16b 16c 1 1 1 1 2b (a c) 8b 16a 16c Tương tự : 1 1 1 1 2c (a b) 8c 16a 16b Cộng vế với vế 3 bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm. Bài 9 . 2 1 1 a, b,c >0 Thoả mãn b a c a b c b CMR : 4 2a b 2c b Giải. 2 a c a c Từ (gt) b = b ac ac 2ac a 2 a b a 3ac a 3c a c = 2ac 2 2a b 2a 2a 2a a c c b c 3b Tương tự : 2c b 2c a 3c c 3a ac 3c2 ca 3a2 Vế trái = 2a 2c 2ac 3(a2 c2 ) 2ac 3.2ac 2ac 8ac = 4 2ac 2ac 2ac Bài10. a, b,c 0 , a+b+c =1 CMR : a+b+c 4(1-a)(1-b)(1-c) Giải Từ a+b+c=1 b+c=1-a 0 c 1 c2 1 1 1 c2 0 Vế phải = 4(b+c)(1-b)(1-c) (b c) (1 b)2 (1 c) = (1 c)2 (1 c) (1 c2 ) 1 c a b 2c Bài 11. a,b,c là 3 cạnh của tam giác a b c CMR 3 b c a c a b a b c Giải Đặt x= b+c-a y= c+a-b x+y+z=a+b+c z= a+b-c 5
6. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Đức Khánh. a+b+ c = x+y+z - - a+b+b = x y z 2a =y+z a 2 x z x y Tương tự b , c 2 2 x z x z x y 1 y z x y x x VT 2x 2y 2x 2 x x y z z y 1 (2 2 2) 3 2 Dấu “=” xảy ra khi x=y=z a=b=c Tức ABC đều. Bài 12 a,b,c la 3cạnh của tam giác . CM abc (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) Giải Tương tự bài 11 ta có x y 2 xy y z 2 yz x y y z z x xyz . . abc z x 2 zx 2 2 2 Bài 13 Cho a,b,c >0 a2 b2 b2 c2 c2 a2 CM : a b c a b b c c a Giải. Theo (8) ta có : 2(a2 +b2) (a+b)2 a2 b2 a b đpcm. a b 2 Bài 14. a b b c c a 1 1 1 Cho a,b,c > 0 . CM : a2 b2 b2 c2 c2 a2 a b c Giải. a b 1 1 1 Theo (6) ta có : 2 2 đpcm. a b 2 a b Bài 15. Cho a,b >0 và a+b=1 2 2 1 1 25 CMR : a b a b 5 Giải . Từ (8) có 2(a2+b2) (a+b)2 2 2 2 a b a b 2 6
7. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Đức Khánh. 2 2 1 1 a b a b 2VT a b 1 a b a b 2 a b 2 3 5 b a đpcm. Bài 16 . Cho a,b,c >0 . CMR 1 1 1 a b c 1 1 1 1 1 1 2 a b b c c a Giải. 1 1 4 1 1 Từ(4) a b 1 1 a b a b 4 a b Tương tự cộng vế với vế ta có đpcm. Bài 17 a,b,c >0 CMR: a b c b c c a a b 15 b c a c a b a b c 2 Giải . Cách 1. a b Theo (2) 2 b a b c c a a b b c c a a b M 2 2 2 6 a b c a a b b c c a b c a b c N 1 1 1 3 b c c a a b b c c a a b 1 1 1 a b c 3 b c c a a b 1 1 1 1 a b b c c a 3 2 b c c a a b 1 1 1 1 x y z 3 2 x y z 7
8. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Đức Khánh. 1 x y y z z x 3 3 2 y x z y x z 1 3 .9 3 2 2 3 15 M N 6 2 2 Cách2.(Rất ngắn) Xét 2 VT biến đổi. Bài 18. Cho 2số dương a,b có a+b=1 . CMR 1 1 a) 2 2 6 ab a b 2 3 b) 14 ab a2 b2 Giải. 2 a, Từ (3) có 4ab (a b) 4ab 1 1 4 (vì a,b >0) ab 1 1 4 a b a b 1 1 1 1 1 2 2 2 2 Từ (4) có ab a b 2ab 2ab a b 1 4 .4 6. 2 (a b)2 1 Dấu “=”xảy ra khi a=b= 2 b, Tương tự như trên ta có 2 3 4 3 1 1 1 2 2 2 2 3 2 2 ab a b 2ab a b 2ab 2ab a b 1 4 .4 3. 2 12 14 2 a b 2 Bài19 Cho a,b ,c,d >0 . CMR: a c b d c a d b 4 a b b c c d d a Giải. Sử dụng công thức (4) Bài 20. Cho a +b=2 . CMR : a4+b4 2 8
9. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Đức Khánh. Giải . Từ (8) 2(a2+b2) (a+b)2= 4 Lại có : 2(a4+b4) (a2+b2)2 =4 a4+b4 2 Bài 21 2x2 y 1 x2 2y2 Giải hpt z 1 y2 2z2 x 1 z2 Bài 22 Cho 2số x,y khác 0 .CMR x2 y2 x y A 2 2 3 4 0 y x y x Bài 23. Cho |a| 1 , |b| 1 và|a+b|= 3 Tìm giá trị lớn nhất của 1 a2 + 1 b2 (Đề thi vào lớp 10 THPT Hải Dương) Giải. Ta có : A= 1 a2 + 1 b2 0 1 a2 1 b2 2 (1 a2 )(1 b2 ) 2 2 2 2 Xét A2= 2 (a b ) 1 a 1 b 4 2(a2 b2 4 (a b)2 1 | A | 1 1 A 1 GTLN của A là 1 khi a=b | a | 3 4a2 3 3 a2 4 3 | a | 2 3 a 2 3 a b 2 3 a b 2 9
10. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Đức Khánh. Bài25. Cho x, y, z là số nguyên dương thoả mãn. 1 1 1 (1) CMR x y z 1 1 1 1 2x y z x 2y z x y 2z (Đề thi đại học khối A năm 2005 ) Giải. Cách 1: Ap dụng bđt (a-b)2 0 (a-b)2 4ab 1 a b 1 1 1 1 a b 4ab a b 4 a b Đẳng thức xảy ra khi a=b Ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2x y z (x y) x z 4 x y x z 16 x y x z Đẳng thức xảy ra x=y=z (x+y =x+z , x=y, x=z ) Tương tự : 1 1 1 1 1 1 2y x z 16 y z y x 1 1 1 1 1 1 2z x y 16 z x z y Cộng 3 vế với bđt ta được đpcm Cách 2. Ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2x y z 2x (z y) 4 2x y z 8x 16 y z 1 1 1 8x 16y 16z 1 1 1 1 2y z x 8y 16z 16x 1 1 1 1 2z x y 8z 16y 16x Cộng vế với 3 bđt trên ta có đpcm. Kết luận . Trên đây tôi đã trình bày vài bài tập sử dụng công cụ rất đơn giản mà học sinh đã được trang bị ở lớp dưới . Từ đó phát triển và hình thành cho học sinh phương pháp tư duy và suy nghĩ cực kỳ sáng tạo. Tôi đã áp dụng trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi được các em phấn khởi và đem lại hiệu quả rất rõ rệt . Kính mong các bạn đọc và bổ sung ; phát triển thêm . 10
11. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Đức Khánh. 11