Sáng kiến kinh nghiệm Bất đẳng thức Côsi

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Bất đẳng thức Côsi

1. Cộng hòa xã hội chủ nghĩa việt nam Độc lập – Tự do – Hạnh phúc PHòNG GIáO DụC Và ĐàO TạO HồN G LĩNH Sáng kiến kinh nghiệm GV: Lê bá hoàng Đơn vị: Phòng GIáO DụC Và ĐàO TạO
2. A/Phần mở đầu: I/ Lý do chọn đề tài: 1/ Cơ sở lý luận: Bất đẳng thức một trong những mảng kiến thức khó của toán học phổ thông. Nhưng thông qua các bài tập về bất đẳng thức người học toán hiểu kĩ và sâu sắc hơn về các mối quan hệ giữa bất đẳng thức và dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Nhưng đối với học sinh, không thể tránh khỏi sai lầm trong khi giải toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. 2/ Cơ sở thực tiễn: Trong nhiều năm liền, hầu hết các đề thi học sinh giỏi cũng như các đề thi vào các lớp chuyên, chọn đều có dạng bài tập: chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức. Nhưng hầu như các em đều nhận định đây là một trong những dạng toán khó của các đề thi mà các em gặp. ở chương trình THCS (phần nâng cao) học sinh đã làm quen với số bất đẳng thức : như Côsi, Bunhiacopski, Nhưng vận dụng bất đẳng thức vào giải toán thì quả là còn quá hạn chế và thường có những sai lầm đáng tiếc. II/ Nhiệm vụ nghiên cứu: 1/ Nghiên cứu lý luận: Xuất phát từ cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn trên tôi xin trình bày một số kinh nghiệm nhỏ: Tổng kết các sai lầm cơ bản mà học sinh dể mắc phải trong việc tìm giá trị Max, Min của một biểu thức. 2/ Khảo sát thực tiễn của đề tài: a/ Số liệu thống kê: Khi chưa áp dụng đề tài này giáo viên ra bài tập chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị Max, Min của một biểu thức: Số HS không giải Số HS giải đem ra kết quả Số HS giải được sai đúng 80% 12% 8% b/ Phân tích nguyên nhân: * Học sinh không giải được: - Học sinh chưa nắm được về các tính chất của bất đẳng thức và một số bất đẳng thức phụ thường dùng. - Chưa được trang bị các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. * Học sinh giải đem ra kết quả sai: - Do mắc một số sai lầm khi vận dụng các tính chất của bất đẳng thức vào giải toán.
3. - Chưa nắm vững các cách áp dụng bất đẳng thức, và điều kiện trong bất đẳng thức. 3/ Đề xuất giải pháp Khi giải toán bất đẳng thức giáo viên cần cung cấp cho học sinh nắm vững về bất đẳng thức Côsi, cách phân tích trong kỹ thuật chọn điểm rơi, chú ý dấu bằng xảy ra. B/ Nội dung giải quyết vấn đề I/ Kiến thức cần nhớ: 1/ Định nghĩa bất đẳng thức: • Bất đẳng thức CôSi: a a a 1 2 n n Cho a1 , a2 , , an 0 ta luôn có: a a a n 1 2 n Dấu “=” xẩy ra  a1 = a2 = =an • Sơ đồ Tìm Max của S . Chứng minh S M trong đó M là hằng số và chỉ ra được S = M là tồn tại giá trị các biến trong S. Kết luận M là Max của S • Sơ đồ tìm Min của S : Chứng minh S m trong đó m là hằng số và chỉ ra được S = m là tồn tại giá trị các biến trong S . Kết luận m là Min của S. I1/ Các ví dụ: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi và một số sai lầm trong giải toán: Tìm Max, Min của một biểu thức. I. Làm quen với điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi. a b Bài toán xuất phát: Cho a, b > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của S = + Giải: b a a b a b Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có : S = + 2 2 . Với a = b thì Min S = 2. b a b a Nhận xét: Từ bài toán này ta có thể thay đổi miền xác định để có một số bài toán sau: 1 Bài 1. C h o a 4 . T ì m g iá tr ị n h ỏ n h ấ t c ủ a S = a + . a Bình luận và lời giải 1 1 *Sai lầm thường gặp : S = a + 2 a 2 S min = 2. a a 1 * Nguyên nhân sai lầm : S min = 2 a = 1 mâu thuẫn với giả thiết a 4 a
4. 1 * Phân tích và t ì m lời giải : Xét một số giá trị của a, và S để dự đoán min S a a 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 Nhìn bảng trên ta thấy khi a tăng thì S càng lớn và từ đó khi a = 4 thì S nhận giá 17 trị nhỏ nhất. Để dể hiểu và tạo sự ấn tượng ta sẽ nói rằng Min S = tại 4 “ Điểm rơi : a = 4 ”. Do bất đẳng thức Côsi xảy ra dấu bằng tại điều kiện các tham số tham gia phải bằng nhau, nên tại “ Điểm rơi: a = 4 ” ta không thể sử dụng bất đẳng thức Côsi trực tiếp cho 2 số: 1 1 a v à , v ì 4 . L ú c n à y ta sẽ g iả đ ịn h sử d ụ n g b ấ t đ ẳ n g th ứ c a 4 a 1 a 1 C ô si ch o cặ p số ( ; ) sa o ch o tạ i " Đ iểm rơ i : a = 4 th ì = . a a T ứ c là ta có lư ợ c đ ồ đ iểm rơ i sa u đ â y : S ơ đ ồ : a 1 = a 1 4 a = 4 = 1 6 1 1 4 = a 4 T ừ đó ta biến đổi S theo sơ đồ "điểm rơi" được nê u ở trê n. 1 a 1 15a a 1 15.4 17 Lời giải đúng : S = a + 2. a 16 a 16 16 a 16 4 17 V ậy S m in = . Đ ạt được khi a = 4. 4 1 B ài 2 . C h o a 3. T ì m giá trị n h ỏ n h ất củ a b iểu th ứ c S = a + a 2 Bình luận và lời giải *Sơ đồ điểm rơi: a 3 = 1 3 a = 3 27 1 1 9 = a2 9
5. *Sai lầm thường gặp: 1 a 1 26a a 1 26a 2 26a S = a + 2 2 2 2 + = + a 27 a 27 27 a 27 27a 27 2 26.3 2 26 28 28 ³ + = + = . Vậy với a = 3 th ì Min của S = . 27.3 27 9 9 9 9 *Nguyê n nhân sai lầm : 28 Mặc dù đã biến đổi S theo điểm rơi a = 3 th ì Min của S = là đáp số đúng 9 nhưng cách giải trê n đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số : 2 2 2 "Nếu a 3 th ì = là đánh giá sai". 27a 27.3 9 Để điều chỉnh lời giải sai thành lời giải đúng ta cần phải biến đổi S sao cho khi sử dụng bất đẳng thức Côsi sẽ khử hết biến số a ở mẫu số. 1 a a 1 25a a a 1 25a 3 * Lời giải đúng : S = a + 2 + + 2 + 3 2 + a 27 27 a 27 27 27 a 27 3 25 28 28 + = . Vậy với a = 3 th ì Min S = . 9 9 9 9 12 Bài 3. Cho a 8. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a 2 a Lời giải Sơ đồ điểm rơi : a2 64 64 12 32 2 a = 8 12 12 8 3 a 8 Lời giải đúng : 12 a2 12 1 a2 12 1 S = a2 + 1 a2 2 1 a2 a 32 2 a 32 2 32 2 a 32 2 3 3 3 3 a. a 1 8. 8 1 6. 1 a2 6. 1 82 12 2 64 3 2 64 9 2 2 2 32 2 2 2 32 2 3 3 Vậy với a = 8 th ì Min của S = 64 9 2.
6. 1 1 Bài 4. Cho 0 < a . T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 2a + . 2 a2 Bì nh luận và lời giải 1 1 1 * Sai lầm thường gặp : S = 2a + a + a + 3. 3 a.a. = 3 Min S = 3 a2 a2 a2 * Nguyên nhân sai lầm : 1 1 Min S = 3 a = a = 1. Mâu thuẫn với giả thiết 0 < a . a2 2 Phân tích và t ì m tòi lời giải : Xét bảng biến thiên để dự đoán Min S a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 2.a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 100 81 64 49 36 25 16 9 4 a2 1 2 1 2 1 2 1 2 S 100 81 64 49 3 6 2 5 16 9 5 5 9 4 7 3 5 2 3 Nhìn bảng biến thiên ta thấy khi a càng tăng thì S càng nhỏ từ đó dẫn đến dự đoán 1 khi a = thì S đạt giá trị nhỏ nhất. 2 *S ơ đ ồ đ iể m r ơ i 1 : 1 a = 1 2 1 4 a = 8 2 1 4 2 a 2 1 1 7 C á c h g iả i 1 : S = 2 a + 2 a + a + 2 2 a 8 a 8 a 1 7 3 7 .4 1 3 . 3 a .a . 5 (V ì 0 < a ). D o đ ó 8 a 2 8 a 2 2 8 2 1 *S ơv ớ đi ồa đ= iểm th rìơ Mi 2in: S = 5 2 a = 1 2 1 4 a = 8 2 1 2 4 a 2 1 1 1 3 Cách 2 : S = 2a + 2 = 8a + 8a + 2 14a 3. 8a.8a. 2 14.a a a a 1 1 = 12 14a 12 14. 5. Vậy với a = th ì M in S = 5 2 2
7. a,b >0 ab Bài 5. Cho T ì m Max, Min của biểu thức S = 2 2 a+b 1 a b 1 B ì nh luận và lời giải : S a i l ầ m t h ư ờ n g g ặ p : T a c ó : a 2 b 2 + 1 ³ 2 a b > 0 a b a b 1 1 T ừ đ ó s u y r a : Ê = ị M a x S = a 2 b 2 + 1 2 a b 2 2 1 Nguyên nhân sai lầm : Khi Max S = . Khi đó a2b2 +1 = 2ab. Suy ra ab =1 2 a+b 1 = ab Ê Ê vô lý 2 2 Ta thấy nếu S đạt giá trị Max thì giá trị Max của 1 S phải lớn hơn không. Khi đó đạt giá trị Min. S 1 Đến đây ta có thể tìm Min của . S 1 1 1 Đặt Q= = ab + = t + trong đó S ab t 1 1 1 t = ³ ³ = 4. ab ổa + bử2 ổ1ử2 ỗ ữ ỗ ữ ốỗ 2 ữứ ốỗ2ữứ 1 Bài toán trở thành tìm Min của Q = t + với t ³ 4 . t 17 4 Theo bài 1 ta có Min Q = khi t = 4 . Và do đó Max S = 4 17 1 đạt được khi a = b = 2 * Rõ ràng việc tìm giá trị Max của của một biểu thức đôi khi lại là việc tìm Min của nghịch đảo biểu thức đó (Min > 0). * Chú ý ở đây ta có thể tìm Min của Q bằng cách trực tiếp như sau: ổ ử 1 ỗ 1 ữ 15 1 15 Q = ab + = ỗab + ữ+ ³ 2. ab. + 2 ab ốỗ 16abứữ 16ab 16ab ổa + bử 16ỗ ữ ốỗ 2 ữứ 2 15.4 17 4 1 ³ + = Từ ta cũng có Max S = khi a=b= 4 16 4 17 2 Bài 6. Ch a, b > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a + b ab S = + ab a + b Bình luận và lời giải a + b ab a + b ab * Sai lầm thường gặp: S = + ³ 2. . = 2 ab a + b ab a + b suy ra Min của S = 2 a + b ab * Nguyên nhân sai lầm Min S = 2 Û = = 1 ab a + b Û a + b = ab ³ 2 ab ị 1 ³ 2 Vô lí * Phân tích và tìm lời giải : Do S là biểu thức đối xứng đối với a, b nên ta thường dự đoán 5 Min S đạt khi a = b . Khi đó S = . Hoặc ta có thể dự đoán 2 bằng phương pháp lập bảng cho giá trị của a và b . a + b ab 1 Rõ ràng khi a = b thì = 2; = ab a + b 2 Ta có sơ đồ điểm rơi : ùỡ ab 1 ù = ù a + b 2 1 2 a = b ị ớù ị = ị α= 4 ù a + b 2 2 α ù = ợù ab α * Lời giải đúng : ổ ử ổ ử a + b ab ỗa + b ab ữ 3ỗa + bữ Ta có S = + =ỗ + ữ + ỗ ữ ab a + b ốỗ4 ab a + bứữ 4ốỗ ab ứữ ổ ử a + b ab 3ỗ2 ab ữ 3 5 ³ 2. . + ỗ ữ= 1 + = 4 ab a + b 4ốỗ ab ứữ 2 2 5 Suy Min S = khi a = b. 2
8. B ài 7. Cho a, b, c, d > 0 thoả mản điều kiện a + b + c + d = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = 3 2a + b + 3 2b + c + 3 2c + d + 3 2d + a. Bình luận và lời giải Sai lầm thường gặp: Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có: + ỡ ù 3 (2a + b) + 1 + 1 ù 2a + b = 3 (2a + b).1.1 Ê ù 3 ù (2b + c) + 1 + 1 ù 3 2b + c = 3 (2b + c).1.1 Ê ù 3 ớù ù (2c + d) + 1 + 1 ù 3 2c + d = 3 (2c + d).1.1 Ê ù 3 ù ù (2d + a) + 1 + 1 ù 3 2d + a = 3 (2d + a).1.1 Ê ợù 3 Cộng các vế trên ta suy ra S = 3 2a + b + 3 2b + c + 3 2c + d + 3 2d + a 3(a + b + c + d) + 8 11 11 Ê = . Suy ra Max S = . 3 3 3 Nguyên nhân sai lầm: ùỡ 2a + b = 1 ù 11 ù 2b + c = 1 Max = Û ớ ị Suy 3(a + b + c + d) = 4 ị 3 = 4 vô lý 3 ù 2c + d = 1 ù ợù 2d + a = 1 Phân tích và tìm lời giải: Do S là biểu thức đối xứng với a, b, c, d nên dự đoán Max S tại điểm rơi ùỡ a = b = c = d 1 3 ớù Û a = b = c = d = ị 2a + b = 2b + c = 2c + d = 2d + a = ợù a + b + c + d = 1 4 4 Lời giải đúng: Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có: ùỡ 3 3 ù (2a + b) + + ù 3 3 3 4 4 ù 2a + b = 3 (2a + b). . Ê ù 4 4 3 ù ù 3 3 ù (2b + c) + + 3 3 3 4 4 ù 2b + c = 3 (2b + c). . Ê ù 4 4 3 +ớù ù 3 3 ù (2c + d) + + ù 3 3 ù 3 2c + d = 3 (2c + d). . Ê 4 4 ù 4 4 3 ù ù 3 3 ù (2d + a) + + ù 3 3 3 4 4 ù 2d + a = 3 (2d + a). . Ê ợù 4 4 3