Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán viết phương trình tiếp tuyến với một đường cong

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán viết phương trình tiếp tuyến với một đường cong

1. BND SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT XUÂN TRƯỜNG C SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG Người thực hiện: LÊ XUÂN BẰNG Tổ : TOÁN - TIN Xuân Trường, năm 2011
2. SKKN: Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường cong A. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong thực tế giảng dạy lớp 11và 12 thì bài toán viết phương trình tiếp tuyến với một đường cong là một bài toán rất cơ bản, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học hàng năm. Tôi xin đưa ra hai dạng cơ bản giúp học sinh ôn tập tốt cho kì thi cuối năm và thi đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp tới. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm Cho hàm số y f (x) có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại một điểm M o (xo ; yo ) (C) . a) Phương pháp giải: - Tính f '(x) . - Tính hệ số góc của tiếp tuyến k f '(xo ) . - Phương trình tiếp tuyến với độ thì (C) tại điểm M o (xo ; yo ) là: y yo f '(xo )(x xo ) b) Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hàm số y f (x) x3 2x2 15x 12 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(2; - 2) (C). Giải f '(x) 3x2 4x 15 f '(2) 5 Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng: y 2 5(x 2) y 5x 12 Trong trường hợp khi biết hoành độ (hoặc tung độ) tiếp điểm ta tìm yếu tố còn lại và làm tương tự như trên. Ví dụ 2: (Bài tập 7 trang 44 SGK GT12) 1 1 Cho hàm số: y x4 x2 1 (C) 4 2 7 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ bằng . 4 Giải 1 LÊ XUÂN BẰNG THPT XUÂN TRƯỜNG C
3. SKKN: Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 7 1 4 1 2 Gọi xo là hoành độ tiếp điểm ta có x x 1 x 1. 4 4 0 2 0 o 7 Với xo 1 f '(1) 2 phương trình tiếp tuyến tại M1 1; là: 4 7 1 y 2(x 1) y 2x 4 4 7 Với xo 1 f '( 1) 2 phương trình tiếp tuyến tại M 2 1; là: 4 7 1 y 2(x 1) y 2x 4 4 x2 2x 2 Ví dụ 3: Cho hàm số y f (x) có đồ thị là (C). x 1 (C) cắt trục hoành tại A và B. Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại A và B. Giải - Tập xác định: D = R\{- 1} - Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm phương trình. x2 2x 2 0 x2 2x 2 0 x 1 3 x 1 (C) cắt Ox tại điểm A(1 3; 0) và B(1 3; 0) . x 2 2x y' y' (1 3) 2 3 (2 3) (x 1) 2 y' (1 3) 2 3 (2 3) Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng: y 2 3 (2 3) (x 1 3) Phương trình tiếp tuyến với (C) tại B có dạng: y 2 3 (2 3) (x 1 3) * Nhận xét: Qua ví dụ 3 cho thấy học sinh sẽ lúng túng không viết được phương trình tiếp tuyến nếu không tìm được tọa độ của A và B. Vì vậy đối với các bài toán ở dạng 1 nhưng trong bài lại chưa cho tọa độ (xo; yo) thì cần tìm (xo; yo) trước rồi mới bắt đầu vào bước 1 trong phần phương pháp giải ở trên. 2. Dạng 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước ( song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước ) a, Phương pháp : Gọi (x0 , y0 ) là tiếp điểm 2 LÊ XUÂN BẰNG THPT XUÂN TRƯỜNG C
4. SKKN: Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường cong f’(x0) = k với x0 là hoành độ tiếp điểm. Giải phương trình trên ta tìm được x0 y0 . PTTT y = k.(x – x0) + y0 Chú ý : i. Đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = x ii. Đường phân giác thứ hai của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = -x iii. Hai đường thẳng song song nhau thì có hệ số góc bằng nhau . iv. Hai đường thẳng vuông góc nhau thì tích hai hệ số góc bằng -1 . Tức là nếu đường thẳng có hệ số góc a thì + Đường thẳng d song song với d có hệ số góc k = a 1 + Đường thẳng d vuông góc với d có hệ số góc k = a b) Các ví dụ: 2x 1 Ví dụ 1: Cho hàm số y . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của x 2 hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5. (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2008 - 2009) Giải Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm (xo ; yo ) . 5 xo 1 xo là nghiệm phương trình y'(xo ) 5 2 5 (xo 2) xo 3 Với xo 1 yo 3 phương trình tiếp tuyến là y 5x 2 . Với xo 3 yo 7 phương trình tiếp tuyến là y 5x 22 . 3x 2 Ví dụ 2: Cho hàm số y f (x) có đồ thị (C). x 1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y 4x 10 . Giải 1 D = R \ {1}; y' . (x 1)2 Gọi M o (xo ; yo ) (C) tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y 4x 10 , có 1 hệ số góc k: k . 4 1 k . 4 3 LÊ XUÂN BẰNG THPT XUÂN TRƯỜNG C
5. SKKN: Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 5 xo 1 1 xo 1 2 xo là nghiệm phương trình 2 (x 1) 4 y 3 7 o o y o 2 5 1 9 Tại M1 1; có tiếp tuyến là y x . 2 4 4 7 1 17 Tại M 2 3; có tiếp tuyến là y x . 2 4 4 Nhận xét: 1. Qua ví dụ 2 ở trên cho thấy nhiều bài toán viết phương trình tiếp tuyến dạng 2 nhưng không trực tiếp hệ số góc mà phải thông qua một giả thiết khác. Vì vậy cần nhấn mạnh cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc nắm kiến thức một cách liền manh, biết vận dụng, liên hệ các phần với nhau. 2. Những sai lầm thường gặp: GV chú ý cho học sinh: - Tại một điểm thuộc đường cong chỉ có một tiếp tuyến với đường cong đó. - Học sinh không gọi tọa độ tiếp điểm. - Mặc định hệ số góc của tiếp tuyên mà không khẳng định lại trong quá trình làm bài. - Các bài dạng hai không dẫn tìm ra hệ số góc và phương trình hoành độ tiếp điểm. 3. Để học sinh có thể làm được các bài toán tiếp tuyến với đường cong cần phân tích rõ các yếu tố cần thiết. - Tọa độ tiếp điểm (xo; yo). - Hệ số góc k = f'(xo). 3. Hệ thống bài tập tự luyện 2 Bài 1:( Đề TNTHPT-2007 ) Cho hàm số (C): y = x+1 - Hãy viết 2x 1 phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A(0;3) Giải 4 Ta có: y’= 1+ nên y’(0) = 5 (2x 1) 2 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A(0;3) có dạng: y = 5(x-0) + 3 hay y = 5x + 3 4 LÊ XUÂN BẰNG THPT XUÂN TRƯỜNG C
6. SKKN: Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường cong Bài 2: ( Đề TNTHPT-2006 ) Cho hàm số (C): y = x3-6x2+9x Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn đồ thị (C) Bài 3: : ( Đề TNTHPT-2008 ) Cho hàm số (C): y = x4-2x2 Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x= -2 3x 1 Bài 4: Cho hàm số y f(x) (C). 1 x a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d: 1 y x 100 . 2 e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với : 2x + 2y – 5 = 0. 2x 1 Bài 5: ( Đề TNTHPT-2009 )Cho hàm số (C): y = Hãy viết phương x 2 trình tiếp tuyến của đồ thị (C) ,biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5 Bài 6: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x3 5x2 2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó a) song song với đường thẳng y 3x 1 1 b) vuông góc với đường thẳng y x 4 7 x 2 Bài 7: Cho đường cong (C): y x 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) a) tại điểm có hoành độ bằng 1 1 b) tại điểm có tung độ bằng 3 c) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 4 Bài 8: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x3 3x 2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó a) nhận điểm A(2;4) làm tiếp điểm b) song song với đường thẳng y 9x 2 2x 1 Bài 9. Cho hàm số y (C) x 1 1 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x . 2 1 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y . 2 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến k 3. 5 LÊ XUÂN BẰNG THPT XUÂN TRƯỜNG C
7. SKKN: Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường cong x 1 Bài 10. Cho hàm số y (C) x 1 1 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y . 2 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song 9 vớiđường thẳng d : y x 2010 . 1 2 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông 1 góc với đường thẳng d : y x 1. 2 8 C. Kết luận: - Việc tổng kết các dạng bài toán cơ bản, mở rộng, chỉ ra những sai lầm hay gặp của học sinh là những hoạt động phải làm thường xuyên trong các giờ giảng trên lớp. - Với kinh nghiệm chưa có nhiều rất mong nhận được sự quan tâm của đồng nghiệp để bài viết của tôi hoàn thiện hơn và giúp ích phần nào cho đồng nghiệp trong quá trình ôn thi tootsd nghiệp cho học sinh. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Xuân Trường, ngày 22 tháng 5 năm 2011 Người viết LÊ XUÂN BẰNG 6 LÊ XUÂN BẰNG THPT XUÂN TRƯỜNG C