Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán tìm cực trị

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán tìm cực trị

1. Một số phương pháp giải toán cực trị phần ! : Bài toán cực trị Phần đại số A . Yêu cầu A . một số Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa Cho biểu thức f(x) xác định trên D a) Ta nói rằng M = const là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều kiện sau đồng thời được thoả mãn 1o. f(x) M với  x D o 2 . Tồn tại x0 D sao cho f(x0) = M. kí hiệu là max f(x) = M b) Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) rtên D nếu thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: 1o. f(x) m với  x D o 2 . Tồn tại x0 D sao cho f(x0) = m. 2. Các bước cơ bản tiến hành giải toán cực trị - Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức: f(x) m (hoặc f(x) M) với  x D. - Bước 2: Chỉ ra giá trị x0 D để: f(x0) = m f(x0) = M) - Bước 3 Kết luận: Với giá trị x0 D thì f(x) đạt: Maxf (x) M M inf(x) m xo D x0 D Chú ý : 1 / Nếu chỉ chứng minh được f (x) m hoặc f(x) M thì chưa đủ để kết luận về GTLN hoặc GTLN Ví dụ : Tìm GTNN của biểu thức A = (x - 1)2 +(x-3)2 Giải : Ta có (x-1)2 0 x (1) ( x - 3 )2 0 (2) A 0 x nhưng không thể kết luận được Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời hai BĐT (1) và (2). Ta có: f(x) = x2 - 2x + 1 + x2 -6x + 9 = 2 ( x2 - 4x + 2 ) = 2 ( x - 2 )2 + 2 2 Nguyễn Thị Bích Diệp – THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá 0
2. Một số phương pháp giải toán cực trị Vậy Min A = 2 x - 2 = 0 x = 2 2/ Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên B. Phương pháp cơ bản và ví dụ Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức 1.1. Nội dung phương pháp + Dùng bất đẳng thức đã biết vào chứng minh f(x) m (hoặc f(x) M) với  x D + Chỉ ra sự tồn tại x0 D để "bất đẳng thức" trở thành "đẳng thức" (dấu "=" xảy ra). 1.2. Kiến thức bổ sung a) Bất đẳng thức cô si a b + Với a,b > 0, a,b D thì ab 2 Dấu = xảy ra khi a= b + Tổng quá: Với n số dương a1, a2, , an D a a a thì: 1 2 n n a a a n 1 2 n Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 = = an. b) Bất đẳng thức Bunhiacopski + Nếu a1, a2, , an và b1, b2, , bn là 2n số tuỳ ý thì: 2 2 2 2 2 2 2 a1 a 2 a n b1 b2 bn a1b1 a 2b2 a n bn a a a Dấu "=" xảy ra 1 2 n . b1 b2 bn (Quy ước nếu ai = 0 thì bi = 0 i = 0, 1, 2, 3, n) c) Bất đẳng thức trị tuyệt đối *. a 0  a D dấu bằng xảy ra  a = 0 * a b a b với a,b D dấu bằng xảy ra  a.b 0. Nguyễn Thị Bích Diệp – THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá 1
3. Một số phương pháp giải toán cực trị Tổng quát : a1, a2, , an D thì a1 a 2 a n a1 a 2 a n Dấu bằng xảy ra khi đôi một cùng dấu. *. a b a b dấu bằng xảy ra khi a.b 0 1 1 d) Với a b > 0 thì dấu bằng xảy ra khi a = b. a b a b e) 2 ( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b. b a 1.3. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y,z) = x4 + y4 + z 4 xét trên miền D ={(x,y,z) : xy +yz +zx = 4} Tìm xem vận dụng BĐT nào cho bài toán này là điều khó khăn nhất đói với học sinh . Tuy nhiên có thể thấy rằng có thể vận dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số x,y,z và y,z ,x ta có ( x2 + y2 + z2) ≥ ( xy + yz + zx ) 2 Từ đó ta suy ra nếu ( x, y, z ) D Thì ( x2 + y2 + z2) ≥ 16 Lại áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số x2,y2,z2 và 1,1 ,1 ta có 3 ( x4 + y4 +z4) ≥ ( x2 + y2 + z2 ) 2 (2) Từ (1) và (2) f(x,y,z) > 16/3  (x,.y,z) D 2 2 2 16 2 2 2 Mặt khác f ( , , ) = và ( , , ) D 3 3 3 3 3 3 3 Vậy Min f (x,y,z) = 16/3 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x 1 B = với x 1,y ≥ 2 , z ≥ 3 x x 1 y 2 z 3 A = x y z áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 và x - 1 ta có: 1 x 1 x 1. x 1 2 2 1 1 2 y 2 y Tương tự : y 2 y 2 . 2 2 2 2 2 Nguyễn Thị Bích Diệp – THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá 2
4. Một số phương pháp giải toán cực trị 1 1 3 z 3 z z 3 z 3 . 3 3 2 2 3 x y z 1 1 1 A ≤ A ≤ 2x 2 2y 2 3z 2 2 2 2 3 x 2 Dấu "=" xảy ra y 4 z 6 x 2 1 1 1 Max A = y 4 2 2 2 2 3 z 6 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) D = x 2 x 1 b) Cho x1, x2 , , x2004 thoả mãn x1 x 2 x 2004 2005 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = x1 1 x 2 1 x 2004 1 Giải: a) áp dụng bất đẳng thức a b a b dấu "=" xảy ra khi a.b 0 Ta có D = x 2 1 x x 2 1 x 1 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x-2)(1-x) 0  1 x 2 Vậy Min D = 1 khi 1 x 2 b) Vận dụng bất đẳng thức a b a b Dấu "=" xảy ra khi ab 0. Ta có: x1 1 x1 1 x 2 1 x 2 1 x 2004 1 x 2004 1 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được: E = x1 1 x 2 1 x 2004 1 x1 x 2 x 2004 Nguyễn Thị Bích Diệp – THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá 3
5. Một số phương pháp giải toán cực trị - 1 1  1= 2005 - 2004 = 1 2004 só1 Vậy E 1 Dấu "=" xảy ra khi x1, x2, x2004 0 và x1 x 2 x 2004 = 2005 Những sai lầm thường gặp của dạng toán này Sai lầm thường gặp khi vận dung BĐT rất phổ biến là : - Điều kiện tồn tại BĐT - Dấu bằng của BĐT không xảy ra với những giá trị tìm được Ví dụ 3 : Với x , y , z , t > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của x y z t y z t t z x y x t y z x A = y z t t z x y x t y z x x y z t Học sinh có thể ngộ nhận và vận dụng ngay BĐT a b 2 ( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b b a x y z t y z t x Để ra ngay kết quả A ≥ 8 Min A = 8 x y z t 0 z t x y t x y z Điều này hoàn toàn không xảy ra vì A không tồn tại với x = y = z = t = 0 Đây là những sai lầm thường gặp mà nhiệm vụ của người thầy là phải chỉ ra được những sai lầm để các em rút kinh nghiệm khi giải toán cực trị 1.4. Bài tập vận dụng 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2(1 x 1) x 2(1 x 1) 2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y,z) = xyz(x+y ) (y+z) (z+x) xét trên miền D = (x, y, x) : x 0, y 0, z 0, x y z 1 3) Tìm giá trị bé nhất của hàm số : 1 1 1 f(x,y,z) = ( 1+ ) ( 1+ ) ( 1+ ) Xét trên miền. x y z D = (x, y, z) : x 0, y 0, z 0; x y z 1 Nguyễn Thị Bích Diệp – THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá 4
6. Một số phương pháp giải toán cực trị Phương pháp 2 Tìm cực trị dựa vào tính chất của luỹ thừa bậc chẵn 2.1. Nội dung phương pháp */ A2 0 x ( x là biến của biểu thức A ) A2k 0 x */ - B2 0 x (x là biến của biểu thức B ) - B2k 0 x Nhiệm vụ của người thầy phải chỉ ra được : */ A2k +m ≥ m m là GTNN A = 0 */ -B2k+ M ≤ M M là GTLN B = 0 2.2. Kiến thức bổ sung: Nhiệm vụ của các em là làm thế nào để có thể đưa về dạng A2k +m ≥ m và -B2k+ M ≤ M bằng các phép biến đổi đại số 2.3 : các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 3x2 + 6x - 5 Giải: Ta có A = 3 ( x2 + 2x + 1 ) - 8 = 3 (x + 1 )2 - 8 - 8 Dấu bằng xảy ra x + 1 = 0 x = - 1 Vậy Min A = - 8 x = - 1 Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = - 5x2 - 4x + 1 Giải : A = -5 ( x2 + 4/5 x ) + 1 = -5 ( x2 + 4/5x + 4/25 ) + 9/5 ( x2 + 2/5 )2 +9/5 ≤ 9/5 Dấu “=” xảy ra x + 2 /5 = 0 x = - 2/5 * Chú ý : f(x) = ax2 + bx + c * Có giá trị nhỏ nhất a > 0. * Có giá trị lớn nhất a < 0. Không dừng lại ở đây ta có thể đưa ra một số ví dụ sau : Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 3x 2 8x 6 C (x 1) x 2 2x 1 Có thể các em sẽ ngỡ ngàng và lúng túng trong việc giải . Tuy nhiên có thể gọi phương pháp giải là tìm cách đưa về dạng ax2 + bx + c bằng cách đổi biến số , cụ thể cách làm như sau : Nguyễn Thị Bích Diệp – THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá 5
7. Một số phương pháp giải toán cực trị 3(x2 2x 1) 2(x 1) 1 2 1 C = 3 (x 1)2 x 1 (x 1)2 1 Đặt y = (y 0 ) x 1 C = 3 - 2y + y2 đến đây C đã đưa về dạng cơ bản việc giải không còn gì khó khăn nữa, giáo viên cần phải cho học sinh thấy rằng việc đổi biến số trong toán cực trị là rất quan trọng trong nhiều bài toán và việc đổi biến số giúp chúng ta giải được bài toán nhanh hơn, gọn hơn. Ta còn có thể mở rộng dạng toán này. Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f(x,y ) = 4x2 + 4y2 - 4xy - 3x = 4y2 - 4xy + x2 + 3( x2 -x ) 1 3 3 = ( 2y - x )2 + 3( x- )2 - - 2 4 4 1 x 1 Đẳng thức xảy ra x = và y = = 2 2 4 1 x 3 2 min f(x,y) = - 4 1 y 4 Sai lầm thường gặp ở dạng toán này là:. Như ví dụ 4 các em có thể làm như sau: f(x,y) = x2 - 4xy + 4y2 + 2x2 - 4x + 2 + x2 + x -2 = ( x - 2y )2 + 2 ( x -1 )2 + x2 + x - 2 x2 + x - 2  x (1) 1 9 9 Vì g(x) = x2 + x - 2 = ( x + )2 - - 2 4 4 1 x 1 9 2 Đẳng thức xảy ra x = - min f(x,y) = - 2 4 1 y 4 Nguyễn Thị Bích Diệp – THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá 6
8. Một số phương pháp giải toán cực trị 1 x 2y y Các em không thấy được rằng đẳng thức xảy ra ở (1) khi 2 còn x 1 x 1 1 dấu đẳng thức xảy ra ở (2) khi x = - thì 2 dấu đẳng thức xảy ra không đồng thời 2 nên GTNN của g(x) không phải là GTNN của f(x,y). Hoặc với bài: Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của: M = x + x 1 1 1 1 1 M = x + x = ( x + x + ) - = ( x + )2 - - 4 4 2 4 4 1 1 Vậy min M = - . Sai lầm ở chỗ M - học sinh chưa chỉ ra khi 4 4 1 1 nào dấu đẳng thức xảy ra: M = - x = - là vô lí 4 2 Vậy việc tìm ra điều kiện dấu đẳng thức xảy ra là rất quan trọng trong việc tìm cực trị của biểu thức đại số. 3.3 . Bài tập vận dụng. 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của : C = x2 - 2xy + 2y2 + 2x - 10y + 17 E = x (x+ 1) (x + 2) (x + 3 ) 2) Tìm giá trị lớn nhất của: A = - 5x2 - 2xy - 2y2 + 14x + 10y - 1. 3) Tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của : x2 5x 9 2x2 5x 9 A = B = x2 (x 1)2 Phương pháp 3 : Phương pháp miền giá trị hàm số 3.1 . Nội dung phương pháp. Nguyễn Thị Bích Diệp – THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá 7
9. Một số phương pháp giải toán cực trị Với bài toán tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) nếu x D gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho. Điều đó có nghĩa hệ phương f (x) y0 trình sau đây với ẩn x có nghiệm. x D Tuỳ dạng bài mà có điều kiện nghiệm thích hợp. Trong nhiều trường hợp điều kiện ấy (sau khi biến đổi và rút gọn) sẽ đưa về dạng. m y0 M vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ đó ta có: Min f(x) = m và Max f(x) = M. x D x D Như vậy để tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của một hàm số nếu dùng phương pháp này , ta qui về việc tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. 2.2. Kiến thức bổ sung: Công thức nghiệm và công thức nghiêm thu gọn của phương trình bậc hai 3.2 . Các bài toán Bài toán 1 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số. 2 2x 10x 3 f(x) = 2 với x R. 3x 2x 1 Giải Gọi y0 là giá trị tuỳ ý của hàm số . Vậy phương trình sau đây ( ẩn x ) có nghiệm. 2 2x 10x 3 2 = y0 (1) 3x 2x 1 Do 3x2 +2x + 1 > 0  x R 2 2 (1) 2x + 10x + 3 = 3x y0 + 2xy0 + y0 2 ( 3y0 - 2 ) x + 2x ( y0 - 5 ) + y0 - 3 = 0 (2) Xét 2 khả năng sau : 2 * Nếu 3y0 - 2 = 0 y0 = (2) có nghiệm 3 2 Tức f(x) =  x R 3 Nguyễn Thị Bích Diệp – THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá 8