Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng hệ thức Vi-et trong giải toán

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng hệ thức Vi-et trong giải toán

1. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: “ÁP DỤNG HỆ THỨC VI-ET TRONG GIẢI TOÁN” I ) Tªn ®Ò tµi: ”¸p dông hÖ thøc vi-et trong gi¶i to¸n” II - ÑAËT VAÁN ÑEÀ Moät trong nhöõng muïc tieâu cô baûn cuûa nhaø tröôøng laø ñaøo taïo vaø xaây döïng theá heä hoïc sinh trôû thaønh nhöõng con ngöôøi môùi phaùt trieån toaøn dieän, coù ñaày ñuû phaåm chaát ñaïo ñöùc, naêng löïc, trí tueä ñeå ñaùp öùng vôùi yeâu caàu thöïc teá hieän nay. Muoán giaûi quyeát thaønh coâng nhieäm vuï quan troïng naøy, tröôùc heát chuùng ta phaûi taïo tieàn ñeà vöõng chaéc laâu beàn trong phöông phaùp hoïc taäp cuûa hoïc sinh cuõng nhö phöông phaùp giaûng daïy cuûa giaùo vieân caùc boä moân noùi chung vaø moân toaùn noùi rieâng. Toaùn hoïc laø moät moân khoa hoïc töï nhieân quan troïng. Trong quaù trình hoïc taäp cuûa hoïc sinh ôû tröôøng phoå thoâng, noù ñoøi hoûi tö duy raát tích cöïc cuûa hoïc sinh. Ñeå giuùp caùc em hoïc taäp moân toaùn coù keát quaû toát, coù raát nhieàu taøi lieäu saùch baùo ñeà caäp tôùi. Giaùo vieân khoâng chæ naém đầy đủ kieán thöùc, maø ñieàu caàn thieát laø phaûi bieát vaän duïng caùc phöông phaùp giaûng daïy moät caùch linh hoaït nhằm truyeàn thuï kieán thöùc cho hoïc sinh deã hieåu nhaát,hiệu quả nhất. Chöông trình toaùn raát roäng, caùc em ñöôïc lónh hoäi nhieàu kieán thöùc, caùc kieán thöùc laïi coù moái quan heä chaët cheõ vôùi nhau. Do vaäy khi hoïc, caùc em khoâng nhöõng naém chaéc lyù thuyeát cô baûn, maø coøn phaûi bieát töï dieãn ñaït theo yù hieåu cuûa mình, töø ñoù bieát vaän duïng ñeå giaûi töøng loaïi toaùn. Qua caùch giaûi caùc baøi toaùn ruùt ra phöông phaùp chung ñeå giaûi moãi daïng toán,treân cô sôû ñoù tìm ra caùc lôøi giaûi khaùc hay hôn, ngaén goïn hôn. Tuy thöïc teá moät soá ít giaùo vieân chuùng ta chæ chuù troïng vieäc truyeàn thuï kieán thöùc ñaày ñuû theo töøng böôùc, chöa chuù yù nhieàu ñeán tính chuû ñoäng saùng taïo cuûa hoïc sinh. Thoâng qua quaù trình giaûng daïy moân toaùn lôùp 9, ñoàng thôøi qua quaù trình kieåm tra ñaùnh giaù söï tieáp thu cuûa hoïc sinh vaø söï vaän duïng kieán thöùc về hệ thức Vi-ét ñeå giaûi một số bài toán cuûa boä moân ñaïi soá lôùp 9. Toâi nhaän thaáy hoïc sinh vaän duïng caùc kieán thöùc về hệ thức Vi-ét toaùn hoïc trong phaàn tìm hai số khi biết tổng và tích hoặc xét dấu nghiệm của phương trình ,dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số m coøn nhieàu haïn cheá vaø thieáu soùt. Thùc hiÖn: GV Vâ C«ng TuËn -Tr­êng THCS NguyÔn Du -N¨m häc 2010-2011 1
2. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: “ÁP DỤNG HỆ THỨC VI-ET TRONG GIẢI TOÁN” Do vaäy vieäc höôùng daãn giuùp caùc em coù kyõ naêng vận dụng về hệ thức Vi-ét ñeå giaûi toaùn rất quan trọng .Ngoaøi vieäc naém lyù thuyeát, thì caùc em phaûi bieát vaän duïng thöïc haønh, töø ñoù phaùt trieån khaû naêng tö duy, ñoàng thôøi taïo höùng thuù cho hoïc sinh khi hoïc nhaèm naâng cao chaát löôïng hoïc taäp. Qua thöïc teá moät vaøi naêm giaûng daïy moân toaùn lôùp 9, baûn thaân toâi khi daïy phaàn “về hệ thức Vi-ét” cuõng gaëp raát nhieàu khoù khaên trong vieäc hoïc sinh giaûi toaùn phaàn naøy. Cuõng töø thöïc teá giaûng daïy, toâi luoân suy nghó töøng böôùc ñeå hoaøn thieän phöông phaùp cuûa mình, neân baûn thaân toâi raát nhieàu naêm nghieân cöùu ñeà taøi naøy. Maët khaùc, theo suy nghó cuûa rieâng toâi, moãi ngöôøi chæ caàn taäp trung suy nghó thaáu ñaùo moät vaán ñeà vaø nhieàu ngöôøi goùp laïi chaéc chaén hieäu quaû giaùo duïc qua töøng naêm seõ ñöôïc naâng leân roõ reät. Töø suy nghó ñoù toâi tieáp tuïc thöïc hieän ñeà taøi maø tröôùc ñaây toâi ñaõ thöïc hieän. Tuy nhieân, baûn thaân toâi coá gaéng heát söùc mình nghieân cöùu boå sung noäi dung môùi ñeå ñeà taøi ñaùp öùng chöông trình ñoåi môùi saùch giaùo khoa lôùp 9 vaø caû chöông trình töï choïn lôùp 9. Mong quyù thaày coâ giaùo heát söùc thoâng caûm khi ñoïc ñeà taøi naøy. III- GIAÛI QUYEÁT VAÁN ÑEÀ Xuaát phaùt töø thöïc teá laø caùc em hoïc sinh ngaïi khoù khi giaûi caùc baøi toaùn, toâi thaáy caàn phaûi taïo ra cho caùc em coù nieàm yeâu thích say meâ hoïc taäp, luoân töï ñaët ra nhöõng caâu hoûi vaø töï mình tìm ra caâu traû lôøi. Khi gaëp caùc baøi toaùn khoù, phaûi coù nghò löïc, taäp trung tö töôûng, tin vaøo khaû naêng cuûa mình trong quaù trình hoïc taäp.Từ bài toán đơn giản không giải phương trình tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai,học sinh có phương tiện là Hệ thức Vi-ét để tính toán,để giúp cho học sinh xét dấu hai nghiệm của phương trình mà không cần tính cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu ,giải và biện luận phương trình bậc hai có chứa tham số là loại toán khó.Tiếp tục bài toán này thường kèm theo tính giá trị của biểu thức,quan hệ giữa hai nghiệm,các phép tính trên hai nghiệm của phương trình.Việc tính mỗi nghiệm của phương trình theo công thức nghiêm là vô cùng khó khăn vì phương trình đang chứa tham số.Trong trường hợp này hệ thức Vi-ét là một phương tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này. Cuối học kì II lớp 9 ,thời gian gấp rút cho ôn thi học kì các bài toán cần áp dụng hệ thức vi-et luôn luôn có trong các kì thi.Trong bài viết này ,Tôi hy vọng đóng góp thêm một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi-ét . IV) Néi dung ®Ò tµi: 1/KiÕn thøc c¬ b¶n: Thùc hiÖn: GV Vâ C«ng TuËn -Tr­êng THCS NguyÔn Du -N¨m häc 2010-2011 2
3. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: “ÁP DỤNG HỆ THỨC VI-ET TRONG GIẢI TOÁN” §Þnh lÝ vi-et: */§Þnh lÝ Vi-et thuËn: 2 NÕu phư¬ng tr×nh bËc hai ax + bx + c = 0 ( a 0 ) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 th× b c tæng vµ tÝch hai nghiÖm ®ã lµ: S = x1 x2 vµ P = x1.x2 . a a */§Þnh lÝ Vi-et ®¶o: 2 Nếu hai số x1,x2 có tổng S = x1 + x2 và Tích P = x1. x2. ( với S 4P) thì x1,x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai : X2 - SX+ P = 0. 2 ) Vài ứng dụng của hệ thức vi-ét: */TÝnh nhÈm nghiÖm: - NÕu a + b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) cã c¸c nghiÖm sè lµ c x 1, x 1 2 a - NÕu a - b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) cã c¸c nghiÖm sè lµ c x 1, x 1 2 a */ T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng: - NÕu hai sè u vµ v cã tæng u + v = S vµ tÝch u.v = P th× u vµ v lµ hai nghiÖm cña 2 phư¬ng tr×nh bËc hai : x Sx P 0 .(với S2 4P) - Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm là x1,x2 . . Tính tổng S = x1+ x2 ;P= x1.x2 . . Phương trình lập được có dạng : X2 - SX + P = 0.(với S2 4P) 3)Dấu các nghiệm số của phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 )(1) • = b2- 4ac. • P= x1.x2 = c/a. • S=x1+ x2= -b/a. ❖ P< 0  phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu nhau. 0 ❖ P 0 phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu dương. S 0 Thùc hiÖn: GV Vâ C«ng TuËn -Tr­êng THCS NguyÔn Du -N¨m häc 2010-2011 3
4. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: “ÁP DỤNG HỆ THỨC VI-ET TRONG GIẢI TOÁN” 0 ❖ P 0 phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu âm. S 0 ❖ P = 0 x1 = 0 và x2 = S. 4/ C¸c vÝ dô minh häa: */VÝ Dô 1: TÝnh nhẩm nghiÖm cña c¸c ph­¬ng tr×nh bËc hai sau: a/ 2x2-13x+11= 0; b/ x2- 3x - 4 = 0; c/ x2- 8x+15 = 0; Gi¶i a/ Ta cã: a +b+c = 2+(-13)+11=0.Nªn ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm :x1=1; x2= c/a = 11/2; b/Ta cã: a-b+c= 1-(-3)+(-4) = 1+3-4 = 0.Nªn ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : c 4 x1= -1; x2= 4 ; a 1 b ( 5) ( 3) 8 a c/ Ta thÊy cã hai sè:-5 vµ -3 tháa m·n c ( 5).( 3) 15 a Do vËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiªm lµ: x1= -5; x2= -3; */VÝ dô 2: Kh«ng tÝnh nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: x2 - 6x - 5=0. 2 2 x1 1 x2 1 H·y tÝnh x1 +x2 ; ; x1-x2;Trong ®ã x1,x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· x2 x1 cho. Giải: Ta có:a.c =1.(-5)=-5<0.Vậy phương trình có hai nghiệm x1, x2. x1 x2 6 Hệ thức vi-et cho ta: x1.x2 5 2 2 2 •x 1 +x2 = (x1+x2) - 2x1.x2 = 36-2.(-5) = 46. x 1 x 1 x 2 x x 2 x 46 6 52 • 1 2 = 1 1 2 2 x2 x1 x1.x2 5 5 2 2 • (x1- x2) = (x1+x2) - 4x1.x2 = 36 - 4(-5) = 56. x1-x2 = 56 2 14 . Thùc hiÖn: GV Vâ C«ng TuËn -Tr­êng THCS NguyÔn Du -N¨m häc 2010-2011 4
5. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: “ÁP DỤNG HỆ THỨC VI-ET TRONG GIẢI TOÁN” */Ví Dụ 3: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là 18 và tích là 45. Giải x y 18 Gọi x,y là hai số cần tìm,Ta có: x.y 45 x,y là nghiệm của phương trình : X2 - 18X +45 = 0. Giải ra ta được: x1 =15; x2 = 3. Vậy hai số cần tìm là: 15 và 3. */Ví Dụ 4: Giải hệ phương trình sau: x y 35 2 2 x y 625 Giải x y 35 x y 35 x y 35 2 2 2 x y 625 (x y) 2xy 625 x.y 300 Nên x,y là nghiệm của phương trình bậc hai : X2 - 35X + 300 = 0. Giải ra ta được: X1 = 20; X2 = 15. Vậy nghiệm của hệ phương trình là:(x,y) =(20;15) hoặc (x,y) = (15;20). */ Ví Dụ 5: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm là: 2 3 và 2 3 Giải Ta có: S = 2 3 + 2 3 = 2 2 . P= ( 2 3 ).( 2 3 ) = 2 - 3 = -1. Vậy 2 3 và 2 3 là nghiệm của phương trình bậc hai: X2 - 2 2 X - 1 = 0. 5/ Bµi tËp ¸p dông vµ bµi tËp ph¸t triÓn , n©ng cao 5.1 / Lo¹i to¸n xÐt dÊu nghiÖm cña phư¬ng tr×nh mµ kh«ng gi¶i phư¬ng tr×nh: Bµi tËp 1: Kh«ng gi¶i phư¬ng tr×nh cho biÕt dÊu c¸c nghiÖm ? a) x2 13x 40 0 b) 5x2 7x 1 0 c) 3x2 5x 1 0 Gi¶i b a) Theo hÖ thøc Vi-Ðt cã : S = x1 x2 13 a Thùc hiÖn: GV Vâ C«ng TuËn -Tr­êng THCS NguyÔn Du -N¨m häc 2010-2011 5
6. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: “ÁP DỤNG HỆ THỨC VI-ET TRONG GIẢI TOÁN” c P = x .x 40 1 2 a V× P > 0 nªn 2 nghiÖm x 1 vµ x 2 cïng dÊuvà S > 0 nªn 2 nghiÖm cïng dÊu d­¬ng. c 1 b) Theo hÖ thøc Vi-Ðt cã P = x .x 0 nªn 2 nghiÖm cïng dÊu 1 2 a 5 b 7 S = x1 x2 0 nªn 2 nghiÖm cïng dÊu ©m a 5 c 1 c) P = x .x 0 nªn 2 nghiÖm tr¸i dÊu 1 2 a 3 b 5 S = x x 0 1 2 a 3 Bµi tËp 2 : Cho ph­¬ng tr×nh x2 10x m2 0 (1) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi gi¸ trÞ cña m 0 . NghiÖm mang dÊu nµo cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n ? Gi¶i Ta cã a = 1 > 0 , c = - m 2 < 0 víi mäi m 0 V× a , c tr¸i dÊu nªn ph­¬ng tr×nh (1) lu«n lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt . Theo hÖ thøc 2 Vi - Ðt : P = x1, x2 m < 0 . Do ®ã x1 vµ x2 tr¸i dÊu S = x1 x2 10 nªn nghiÖm d­¬ng cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n 2 2 Bµi tËp 3: Cho ph­¬ng tr×nh x (m 1)x m m 2 0 (1) (víi m lµ tham sè) a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn víi m = 2 b) Chøng minh r»ng phương tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu  m c) Gäi 2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ x 1 , x 2 T×m m ®Ó biÓu thøc 3 3 x x A 1 2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt x2 x1 Gi¶i : Thay m = 2 vµo phương trình ta được: Thùc hiÖn: GV Vâ C«ng TuËn -Tr­êng THCS NguyÔn Du -N¨m häc 2010-2011 6