Kinh nghiệm về cách giải phương trình lượng giác có chứa cos2x

Nội dung text: Kinh nghiệm về cách giải phương trình lượng giác có chứa cos2x

1. Kinh nghiệm về cách giải phương trình lượng giác có chứa cos2x KINH NGHIỆM VỀ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CHỨA cos2x Vì cos2x cos2x sin2 x 2cos2 x 1 1 2sin2 x . Vì vậy khi gặp phương trình lượng giác có chứa cos2x  cos2x sin2 x  cos2 x  sin2 x ta gọi chung là dạng phương trình có chứa cos2x. ▼Chú ý: Đối với các phương trình có chứa cos2x và sinx hoặc cos2x và cosx ta có cách giải quen thuộc như sau: • acos2x bsin x c 0 a(1 2sin2 x) bsin x c 0 2asin2 x bsin x c a 0 (Phương trình bậc 2 theo sinx) • acos2x bcosx c 0 a(2cos2 x 1) bsin x c 0 2acos2 x bsin x c a 0 (Phương trình bậc 2 theo cosx) TRƯỜNG HỢP 1): Phương trình có chứa cos2x và đồng thời có chứa sinx, cosx Cách giải: Biến đổi cos2x thích hợp để đưa về phương tình tích. Ví dụ và nhận xét: Ví dụ 1): Giải phương trình: cos 2x 2cos x 4sin x 3 0 (1) Giải: (1) cos2 x sin2 x 2cos x 4sin x 3 0 (cos2 x 2cos x 1) (sin2 x 4sin x 4) 0 (cos x 1)2 (sinx 2)2 0 (cos x sin x 3)(cos x sinx 1) 0 (cos x sin x 1) 0 2cos x 1 4 3 x k2 x k2 3 4 4 cos x cos 4 4 3 x k2 x k2 2 4 4 • Nhận xét: Đã biến đổi cos 2x cos2 x sin2 x , sau đó nhóm các hạng tử để được các tam thức bậc hai theo cosx , theo sinx. Sử dụng hằng đẳng thức: a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phân tích thành tích. Ví dụ 2): Giải phương trình: 2cos2 x 4cos x 2sin x 2 0 (2) Giải: (2) 1 cos2x 4cos x 2sin x 2 0 cos2 x sin2 x 4cos x 2sin x 3 0 (cos2 x 4cos x 4) (sin2 x 2sin x 1) 0 (cos x 2)2 (sinx 1)2 0 1 Nguyễn Công Mậu
2. Kinh nghiệm về cách giải phương trình lượng giác có chứa cos2x (cos x sinx 1)(cos x sinx 3) 0 (cos x sinx 1) 0 2 cos x 1 4 3 x k2 x k2 3 4 4 cos x cos 4 4 3 x k2 x k2 2 4 4 • Nhận xét: Đã biến đổi 2cos2 x 1 cos2x 1 cos2 x sin2 x , sau đó nhóm các hạng tử để được các tam thức bậc hai theo cosx , theo sinx. Sử dụng hằng đẳng thức: a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phân tích thành tích. Ví dụ 3): Giải phương trình: cos x 3sin x 1 2sin2 x (3) Giải: (3) cos x 3sin x 1 1 cos2x cos2 x sin2 x cos x 3sin x 2 0 2 2 2 1 2 9 1 3 cos x cos x sin x 3sin x 0 cos x sin x 0 4 4 2 2 (cos x sinx 1)(cos x sin x 2) 0 cos x sinx 1 0 cos x 1 4 x k2 4 4 x k2 cos x cos 2 4 4 x k2 x k2 4 4 • Nhận xét: Đã biến đổi: 2sin2 x 1 cos2x 1 (cos2 x sin2 x) , sau đó cũng làm như hai nhận xét ở 2 ví dụ trên. 3x x Ví dụ 4): Giải phương trình: 2sin sin sinx 2cos x 0 (4) 2 2 Giải: (4) cos x cos2x sinx 2cos x 0 cos2 x sin2 x cos x sin x 0 (cos x sinx)(cos x sinx) (cos x sinx) 0 (cos x sinx)(cos x sinx 1) 0 cos x sinx 0 (4.1)  cos x sinx 1 0 (4.2) 3 + Phương trình (4.1) 2cos x 0 x k x k 4 4 2 4 2 3 + Phương trình (4.2) 2cos x 1 cos x cos x cos 4 4 2 4 4 3 3 x k2  x k2 x k2  x k2 4 4 4 4 2 Kết luận phương trình (4) có ba nghiệm là: 3 x k ; x k2 ; x k2 4 2 3x x • Nhận xét: Đã biến đổi: 2sin sin cos x cos2x , tiếp theo biến đổi: 2 2 2 Nguyễn Công Mậu
3. Kinh nghiệm về cách giải phương trình lượng giác có chứa cos2x cos2x cos2 x sin2 x , sau đó nhóm hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung rồi biến đổi về phương trình tích. ▼Nhận xét chung: Ở 4 ví dụ trên ta thấy có một đặc điểm chung đó là: Biến đổi đại lượng liên quan đến cos2x về cos 2x – sin2x rồi sau đó nhóm hạng tử thích hợp để đua về phương trình tích. Việc biến đổi thích hợp cos2x ở đây là: cos2x = cos2x – sin2x TRƯỜNG HỢP 2): Phương trình có chứa cos2x và đồng thời có chứa sinx, cosx ngoài ra còn chứa thêm một vài hàng tử khác lượng giác khác. Cách giải: Biến đổi cos2x thích hợp để đưa về phương tình tích. Ví dụ và nhận xét: Ví dụ 5): Giải phương trình: 3 sin 2x cos2x 3 sin x 5cos x 3 (5) Giải: (5) (2 3 sin x cos x 3 sin x) (2cos2 x 5cos x 2) 0 3 sin x(2cos x 1) (cos x 2)(2cosx 1) 0 (2cosx 1)( 3 sin x cos x 2) 0 1 3 1 2cosx 1 0  3 sin x cos x 2 0 cosx  sin x cos x 1 2 2 2 x k2  sin x 1 x k2  x k2 3 6 3 6 2 x k2  x k2 x k2 3 3 3 Đáp số: x k2 , (k Z) 3 • Nhận xét: Đã biến đổi: cos2x 2cos2 x 1 để tạo ra tam thức bậc hai theo cosx và dễ dàng nhẩm nghiệm và phân tích thành tích đó là tam thức: (2cos2 x 5cos x 2) (cos x 1)(2cos x 1) . Các hạng tử còn lại trong PT là: 3 sin 2x & 3 sin x được nhóm lại và biến đổi thành tích: (2 3 sin x cos x 3 sin x) 3 sin x(2cos x 1) Khi đó trong phương trình có hai hạng tử và giữa chúng có nhân tử chung là ( 2cos x 1) nên ta tiếp tục biến đổi thành phương trình tích. • Nhận xét: Nếu biến đổi cos2x 1 2sin2 x thì ta thu được phương trình: 2sin2 x 3 sin 2x 3 sin x 5cos x 4 0 . Ta nhóm lại tam thức bậc hai theo sinx thì không thể biến đổi tiếp thành phương trình tích. Ví dụ 6): Giải phương trình: sin x 3cos x cos2x sin 2x 2 (6) Giải: (6) 2cos2x 1 2sin xcos x sin x 3cos x 0 (2cos2x 3cos x 1) (2sin xcos x sin x) 0 (cos x 1)(2cosx 1) sin x(2cos x 1) 0 (2cosx 1)(cos x sin x 1) 0 3 Nguyễn Công Mậu
4. Kinh nghiệm về cách giải phương trình lượng giác có chứa cos2x 1 2 2cosx 1 0  cos x sin x 1 cosx  cos x 2 4 2 x k2  x k2 x k2  x k2  x k2 3 4 4 3 2 Đáp số: x k2 ; x k2 ; x k2 , (k Z) 3 2 • Nhận xét: Ở ví dụ 6) ta cũng có nhận xét như ở ví dụ 5) • Nhận xét: Nếu ta biểu diễn cos2x 1 2sin2 x và tạo ra một tam thức bậc hai theo sinx thì xem kết quả như thế nào ! (6) sin x 3cos x 1 2sin2 x 2sin xcos x 2 (2sin2 x sin x 3) (3cos x 2sin xcos x) 0 (sin x 1)(2sin x 3) cos x(2sin x 3) 0 . Ta thấy phương trình này không biến đổi được về phương trình tích. Ví dụ 7): Giải phương trình: cos2x sin 2x 3sin x cos x 1 0 (7) Giải: (7) 1 2sin2 x 2sin xcos x 3sin x cos x 1 0 (2sin2 x 3sin x 2) cos x(2sin x 1) 0 (2sin x 1)(sin x 2) cos x(2sin x 1) 0 (2sin x 1)(sin x cos x 2) 0 1 7 2sin x 1 0 sin x sin x k2  x k2 2 6 6 6 ( do sin x cos x 2 sin x 2 2 sin x cos x 2 0 ) 4 • Nhận xét: Ta đã biểu diễn cos2x 1 2sin2 x và tạo ra một tam thức bậc hai theo sinx, đó là: (2sin2 x 3sin x 2) , tam thức này dễ dàng nhẩm nghiêm và phân tích được thành tích: (2sin x 1)(sin x 2) và nhóm các hạng tử còn lại để biến đổi thành tích là: cos x(2sin x 1) , sau đó biến đổi được thành phương trình tích. • Nhận xét: Nếu biến đổi cos2x 2cos2 x 1thì ta thu được phương trình: 2cos2 x sin 2x 3sin x cos x 0 thì phương trình này không thể biến đổi tiếp thành phươg trình tích. TÓM TẮT: 1) Khi phương trình lượng giác có chứa cos2x và cosx, sinx thì ta biến đổi: cos2x = cos2x – sin2x, sau đó nhóm thành hai nhóm, một nhóm theo tam thức bậc hai cosx và một nhóm theo tam thức bậc hai sinx, mỗi nhóm này đều có dạng bình phương của tổng hoặc hiệu của nhị thức. Tiếp tục biến đổi thành tích dựa vào hằng đẳng thức: A2 – B2 = (A – B)(A+B), ta thu được phương trình tích. 2) Khi phương trình lượng giác có chứa cos2x, cosx, sinx và một hạng tử lượng giác khác (thường là sin2x) thì ta biến đổi: cos2x = 2cos 2x -1 hoặc 4 Nguyễn Công Mậu
5. Kinh nghiệm về cách giải phương trình lượng giác có chứa cos2x biến đổi cos2x = 1 – 2sin 2x, sau đó nhóm một tam thức bậc hai theo cosx (hoặc một tam thức bậc hai theo sinx) với điều kiện là sau khi phân tích nhóm tam thức bậc hai đó thành tích và hai hạng tử còn lại biến đổi thành tích thì giữa chúng phải có nhân tử chung. ►Chú ý: Nếu biến đổi cos2x = 2cos2x -1 (hoặc cos2x = 1 – 2sin2x) mà không biến đổi được thành phương trình tích thì ta thay đổi lại cách biến đổi cos2x = 1 – 2sin2x (hoặc cos2x = 2cos2x -1) 5 Nguyễn Công Mậu