Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 8 sử dụng định lí BeZout để giải tốt hơn các bài toán về tìm đa thức dư cũng như đa thức bị chia trong bài toán chia đa thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 8 sử dụng định lí BeZout để giải tốt hơn các bài toán về tìm đa thức dư cũng như đa thức bị chia trong bài toán chia đa thức

1. TÊN SÁNG KIẾN: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 8 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BEZOUT ĐỂ GIẢI TỐT HƠN CÁC BÀI TOÁN VỀ TÌM ĐA THỨC DƯ CŨNG NHƯ TÌM ĐA THỨC BỊ CHIA TRONG BÀI TOÁN CHIA ĐA THỨC PHẦN MỞ ĐẦU 1. Bối cảnh của giải pháp Là một giáo viên dạy toán ở trường Trung học cơ sở tôi luôn suy nghĩ để làm sao kiến thức truyền đạt đến các em một cách đơn giản, dễ hiểu giúp các em có những kiến thức cơ bản, vững vàng, tạo điều kiện cho các em yêu thích môn toán, tránh cho các em có suy nghĩ môn toán là môn học khô khan và khó tiếp cận. Tuy nhiên, trong thời đại công nghệ hiện nay, các em được tiếp xúc với nhiều phương tiện truyền thông hiện đại, mạng xã hội, làm ảnh hưởng đến việc học của các em. Hơn nữa, hầu hết các em học sinh trường tôi là con em công nhân, cha mẹ bận rộn công việc công ty, nhiều gia đình không có thời gian quan tâm đến việc học của các em, dẫn đến tình hình học tập của các em ngày càng xa sút, chán học. Nhiều em bị mất căn bản từ lớp dưới, lên lớp 8, tâm sinh lí thay đổi, đua đòi bạn bè, nên các em không tập trung cho việc học. Các kĩ năng tính toán, cộng, trừ, nhân, chia đa thức, phân thức, của các em còn yếu. Từ đó các em có tâm lí sợ và ngại học môn toán nói chung, phần chia đa thức nói riêng. 2. Lý do chọn giải pháp Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình toán trung học cơ sở chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ những phép cộng, trừ, nhân đa thức đến phân tích đa thức thành nhân tử, chia đa thức, giải các phương trình đại số Thực tế qua giảng dạy ở trường Trung học cơ sở tôi nhận thấy bên cạnh số đông học sinh học rất tốt về toán, các em vững kiến thức giải thành thạo các bài toán ở sách giáo khoa, còn giải được các bài toán dạng nâng cao. Nhưng vẫn còn một số em học toán còn chậm, tiếp thu kiến thức còn hạn chế, khi thực hành tính toán còn nhầm lẫn, không chính xác. Khi thực hiện việc chia đa thức cho đa thức còn chậm chạp, tìm thương không chính xác. Vì vậy, tôi luôn đặt ra câu hỏi là làm thế nào để học sinh có thể giải các bài toán về đa thức, đặc biệt là các bài toán về phép chia đa thức được dễ dàng hơn ? Giúp tạo ra sự tự tin, hứng thú cho các em trong học tập ? Đó chính là lý do tôi chọn đề tài này: “Hướng dẫn học sinh lớp 8 sử dụng định lí BeZout để giải tốt hơn các bài toán về tìm đa thức dư cũng như đa thức bị chia trong bài toán chia đa thức ” 3. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 3.1. Phạm vi nghiên cứu Nội dung chương trình Toán Trung học cơ sở mà chủ yếu là chương trình lớp 8. 3.2. Đối tượng nghiên cứu - Phương pháp tìm đa thức dư, đa thức bị chia trong bài toán chia đa thức bằng cách sử dụng định lí BeZout. - Tiết toán của học sinh lớp 8 trường Trung học cơ sở Phước Thiền. 4. Mục đích nghiên cứu
2. -Hầu hết số học sinh của trường là con em công nhân. Do đó điều kiện học tập của các em đa số còn hạn chế. -Trước khi chưa vận dụng đề tài vào dạy học môn Toán 8 tôi đã khảo sát chất lượng học môn toán của hai lớp 8/5, 8/6 của năm học 2018-2019. Kết quả thu được như sau: Giỏi Khá TB Yếu Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % 8/5 42 5 11,9 13 30,9 12 28,6 12 28,6 8/6 44 6 13,6 11 25 14 31,8 13 29,6 Từ những thuận lợi và khó khăn trên, với đề tài này tôi mong muốn sẽ giúp các em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập phần này cũng như các kỳ thi tuyển sau này. II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1. Tóm tắt lý thuyết 2.1.1. Định nghĩa về phép chia đa thức + Phép chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) ( Với g(x) khác đa thức 0) ta được thương và dư lần lượt là những đa thức q(x), r(x). Khi đó ta viết được: f(x)= g(x).q(x)+ r(x) với điều kiện bậc của r(x) bé hơn bậc của q(x) Khi đó ta nói f(x) chia cho g(x) được thương là g(x) và dư là r(x). + Trường hợp nếu đa thức r(x) là đa thức 0, ta được: f(x)= g(x). q(x) Và khi đó ta nói đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) 2.1.2. Định lý Bezout + Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức x-a là giá trị f(a). + Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho đa thức x- a 2.2. Tổ chức thực hiện; 2.2.1. Dạng toán tìm số dư của một đa thức cho một đa thức bậc nhất +Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia đa thức f(x) = x 2- 2x+5 cho đa thức g(x) = x-3 Cách 1: Sử dụng phép chia thông thường ta được: x2- 2x+5 x-3 x2- 3x x+1 x + 5 x - 3 8 Vậy số dư phải tìm là 8 Cách 2: Sử dụng định lý BEZOUT ta được số dư của phép chia đa thức f(x) = x2- 2x+5 cho đa thức g(x) = x-3 là giá trị f(3) ta được f(3) = 32- 2.3+5=8 Vậy số dư phải tìm là 8
3. Nhận xét 1: Với 2 ví dụ trên ta thấy nếu hằng số cần tìm thuộc hệ số của hạng tử có bậc cao hơn trong đa thức bị chia thì với cách 1 sẽ thực hiện khó khăn hơn còn với cách 2 là cách sử dụng định lý BEZOUT thì dù hằng số đó có nằm ở hệ số của hạng tử nào thì cách làm vẫn như vậy. Để làm rõ vấn đề này ta sẽ tìm hiểu ví dụ 3 như sau: Ví dụ 3: Tìm hằng số a biết đa thức f(x) = ax4 - 1 chia hết đa thức x+2. Cách 1: Thực hiện phép chia thông thường. ax4 – 1 x+2 ax4 +2a x3 ax3 -2ax2+ 4ax-8a -2a x3 – 1 -2ax3-4ax2 4ax2 -1 4ax2 + 8ax -8ax -1 -8ax-16a 16a-1 Vì phép chia là phép chia hết nên đa thức dư là đa thức 0 hay 16a-1=0 a=1/16 Vậy a=1/16 là giá trị cần tìm. Cách 2: Sử dụng định lý BEZOUT Vì f(x) chia hết cho x+2 nên f(-2)=0 a.24-1=0 16a-1=0 a=1/16 Vậy a=1/16 là giá trị cần tìm Nhận xét 2: Qua ví dụ trên ta thấy phương pháp sử dụng định lý BEZOUT là ưu việt hơn nhiều so với phương pháp chia thông thường, do đó trong các bài mà có thể sử dụng định lý BEZOUT ta sẽ hướng dẫn học sinh giải theo phương pháp này. + Ví dụ 4: Tìm hằng số a sao cho đa thức f(x) = x 4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho đa thức x + 6 Giải Vì f(x) = x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6 f(-6) = 0 (-6)4 + 7.(-6)3 + 2.(-6)2 + 13.(-6) + a = 0 a = 222 Vậy a = 222 + Ví dụ 5:Tìm hằng số a sao cho khi chia đa thức f(x) = x 2 + 4x- a cho đa thức g(x) = x-2 thì được dư là -10 Giải Theo định lý BEZOUT do đa thức f(x) = x2 + 4x- a khi chia cho đa thức g(x) = x-2 thì được dư là -10 nên ta có f(2)= -10 f(2)= 22+4.2-a=0 12-a=0 a=12 Vậy a=12 là giá trị cần tìm. + Ví dụ 6: Tìm hằng số a sao cho khi chia đa thức f(x) = 3x 6- 4x4 +5ax2-7 khi chia cho đa thức g(x) = x2-3 thì được dư là 20 Giải Ở bài này thoạt nhìn chúng ta thấy để giải quyết được bài này chúng ta phải thực hiện phương pháp thực hiện phép chia thông thường, tuy nhiên nếu chúng ta
4. -8a+b=-16 (1) -Xét tại x=-2 ta có: f(-2)= (-2)4-a.(-2)3+b= (-2-2)(-2+2). Q(-2) f(-2)= 16+8a+b= -4.0. Q(-2)=0 8a+b=-16 (2) Cộng vế với vế của (1) và (2) cho nhau ta được: -8a+b +8a+ b=-16 +(-16) 2b=-32 b=-16 Thay b=-16 vào (1) ta có: -8a+(-16)=-16 -8a=0 a=0 Vậy với a=0 và b=-16 thì đa thức f(x) = x 4- ax3+b chia hết cho đa thức g(x)= x2-4. Ví dụ 2: Xác định các hằng số a, b sao cho đa thức x 4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hết cho đa thức x2 - x - 2. GIẢI Trước tiên với bài này chúng ta phải tìm nghiệm của đa thức x 2 - x – 2 bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử như sau: x2 - x – 2= x2 + x -2x – 2= x(x+1)-2(x+1)=(x+1)(x-2) Vậy đa thức chia có hai nghiệm là x=-1; x=2. Gọi đa thức thương là Q(x) khi đó ta có: x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b= (x+1)(x-2). Q(x) - Tại x=-1 ta được: (-1)4-3.(-1)3+2(-1)2-a.(-1)+b=(-1+1)(-1-2). Q(-1) 1+3+2+a+b= 0.(-3).Q(-1) 6+ a+b=0 a+b=-6 (1) - Tại x=2 ta được: 24-3.23+2.22-a.2+b=(2+1)(2-2).Q(2) 16-24+8-2a+b=3.0. Q(2) -2a+b=0 (2) Trừ vế với vế của (1) và (2) cho nhau ta được: 3a=-6 a=-2 Thay a=-2 vào (1) ta được -2+b=-6 b=-4. Vậy với a=-2; b=-4 thì cho đa thức f(x)= x 4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hết cho đa thức x2 - x - 2. Nhận xét: Với bài toán trên khi làm phương pháp 2 người ta còn gọi đó là phương pháp xét giá trị riêng. Cụ thể như bài này chúng ta đã xét giá trị riêng của đa thức tại x=-2 và x=2. Với phương pháp này chúng ta sẽ giúp học sinh tính toán dễ dàng hơn cũng như dễ tiếp thu hơn phương pháp 1. Tuy nhiên phương pháp này có một hạn chế đó là chúng ta chỉ sử dụng tốt khi đa thức chia có nghiệm cũng như học sinh phải biết phân tích đa thức thành nhân tử để tìm nghiệm của đa thức, nhưng cũng có những bài toán chúng ta không thể làm được theo phương pháp 1 và
5. Vì đa thức f(x)= x 4- 3x3 – 3x2 + ax + b chia cho đa thức x 2 + x – 2 thì được đa thức dư là 2x – 3 nên đa thức g(x)=f(x) –(2x-3) sẽ chia hết cho đa thức x 2 + x – 2, hay g(x)=f(x) –(2x-3) = x4- 3x3 – 3x2 + ax + b-(2x-3) chia hết cho đa thức x 2 + x – 2. Vì x2 + x – 2= (x-1)(x+2) nên nếu gọi đa thức thương là Q(x) thì: g(x)= f(x) –(2x-3) = x4- 3x3 – 3x2 + ax + b-(2x-3) = (x-1)(x+2).Q(x) g(x)= x4- 3x3 – 3x2+ (a-2)x +b+3= (x-1)(x+2).Q(x) - Tại x=1 thay vào ta được: g(1)= 14- 3.13 – 3.12+ (a-2).1 +b+3= (1-1)(1+2).Q(1) g(1)=1-3-3+a-2+b+3= 0.3. Q(1) -4+a+b=0 a+b=4 (1) - Tại x=-2 thay vào ta được: g(-2)= (-2)4- 3.(-2)3 – 3.(-2)2+ (a-2).(-2) +b+3= (-2-1)(-2+2).Q(-2) g(-2)= 16+24 -12 -2a+4+b+3= -3.0.Q(-2) 27-2a+b=0 -2a+b=-35 (2) Trừ vế với vế của (1) và (2) cho nhau ta được -3a=-39 a=13 Thay a=13 vào (1) ta được 13+b=4 b=-9 Vậy với a=13; b=-9 thì đa thức f(x)= x 4- 3x3 – 3x2 + ax + b chia cho đa thức x2 + x – 2 sẽ được đa thức dư là 2x – 3. + Ví dụ 6: Đa thức f(x) có bậc là 3 khi chia cho x - 1 thì dư 2011 và khi chia cho x - 2 có dư là 2012. Tìm đa thức dư khi chia f(x) cho (x - 1)(x - 2) GIẢI Vì đa thức (x-1)(x-2) có bậc là 2 nên đa thức dư có dạng: r(x) = ax + b Ta có f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + ax + b (*) Vì f(x) khi chia cho x - 1 thì dư 2011 nên theo định lý BEZOUT thì f(1)=2011 thay vào (*) ta được f(1)=(1-1)(1-2)Q(1)+a.1+b= 2001 a+b=2011(1) Vì f(x) khi chia cho x - 21 thì dư 2012 nên theo định lý BEZOUT thì f(2)=2012 thay vào (*) ta được f(2)=(12-1)(2-2)Q(2)+a.2+b= 2001 2a+b=2012 (2) Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta được a=1 Thay a=1 vào (1) ta được 1+b=2011 b=2010 Vậy đa thức dư trong phép chia f(x) cho (x - 1)(x - 2) là đa thức : r(x) = x + 2010. Bài tập tự luyện: 1. Tìm a, b, c biết: 1. x4 + ax3 + bx – 1 chia hết cho x2 – 9 2. 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x + 2 chia hết cho x2 – x -12 3. x4 – 3x3 – 3x2 + ax + b chia hết cho x2 – 3x + 2 4. x4 + x3 – x2 + ax + b chia hết cho x2 + x – 6 5. ax4 + bx3 + 1 chia hết cho ( x – 1 )2 6. x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho x2 4x + 3 7. x4 – x3 – ax2 + x + b ) chia cho x2 – 5x – 4 thì dư là 5x – 2
6. Kết quả này chứng tỏ rằng: Việc vận dụng những kinh nghiệm nêu trên, trong thời gian chưa dài nhưng kết quả tương đối khả quan mặc dù kết quả chưa hoàn toàn như mong muốn của bản thân nhưng dù sao cũng cải thiện rất nhiều về chất lượng học tập, số học sinh khá giỏi tăng lên, số học sinh yếu kém được giảm đi. Đặc biệt là kiến thức của các em đã được khắc sâu hơn, các em có thể tự tin vận dụng kiến thức đã học vào giải toán. Tôi tin rằng tinh thần, thái độ học tập môn Toán của học sinh sẽ được duy trì và phát huy trong những môn học khác. PHẦN KẾT LUẬN Đứng trước bất kì một công việc cho dù khó khăn đến đâu, nhưng nếu chúng ta có niềm tin vào bản thân mình, chúng ta có sự đam mê thì hoàn toàn có thể vượt qua những trở ngại đó để đạt đến sự thành công. Vì vậy, xây dựng niềm tin trong học sinh và kích thích niềm đam mê học tập của các em cũng như xây dựng và hệ thống lại kiến thức cho học sinh là nhiệm vụ hết sức quan trọng của người giáo viên trong từng tiết dạy. Qua đề tài này, tôi rút ra cho bản thân một vài kinh nghiệm và đưa ra một số đề xuất như sau: 1. Bài học kinh nghiệm Việc giáo viên hướng dẫn học sinh các phương pháp để giải toán còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố như kinh nghiệm, kỹ năng truyền đạt, khả năng tiếp thu kiến thức của từng học sinh Khi giảng dạy đại số 8 và nghiên cứu nội dung chương trình đại số 8 tôi đã thường xuyên củng cố, khắc sâu kiến thức cho các em. Tuy nhiên kết quả đạt được chỉ ở mức khá do: - Học sinh nhận thức chậm, nhiều em lười học. - Nhiều em rỗng kiến thức từ dưới. - Môn toán đòi hỏi ở khả năng phân tích và tư duy cao mà lứa tuổi các em những khả năng này còn nhiều hạn chế. Từ những nguyên nhân trên người giáo viên cần: - Thường xuyên trau rồi kiến thức, phương pháp dạy học để tạo được hứng thú học tập cho học sinh, tìm thêm nhiều phương pháp, cách giải mới và hay giúp các em học tập dễ dàng hơn, yêu thích môn học hơn. - Cần quan tâm đến mọi học sinh trong lớp, có kế hoạch dạy bù những lỗ hổng kiến thức cho các em học sinh yếu kém, tạo cho các em niềm tin vững vàng và hứng thú khi học toán, tránh gây cho các em có cảm giác học toán là nặng nề và khô khan. 2. Kiến nghị, đề xuất Để cho học sinh học tập có kết quả cao, tôi có một số ý kiến đề xuất sau: - Giáo viên phải nghiên cứu sâu sắc rõ ràng về nội dung bài dạy,tích cực tìm tòi các phương pháp hay, kiến thức mới, tìm hiểu phân loại đối tượng học sinh để có kế hoạch giảng dạy thích hợp, từ đó dự kiến những việc cần hướng dẫn học sinh. Đặc biệt giáo viên phải nghiên cứu nắm vững nội dung sách giáo khoa, đưa ra phương pháp truyền thụ hiệu quả nhất, giáo viên phải thường xuyên rút kinh nghiệm qua mỗi bài giảng, xem xét bài nào chỗ nào học sinh hiểu nhanh, tốt nhất, chỗ nào chưa thành công để rút kinh nghiệm tìm phương pháp khác có hiệu quả hơn.
7. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO TT Tên sách Tác giả NXB 1 Sách giáo khoa Toán 8 Nhóm tác giả NXB Giáo dục 2 Sách giáo viên toán 8 Nhóm tác giả NXB Giáo dục 3 Sách bài tập Toán 8 Nhóm tác giả NXB Giáo dục Bài tập nâng cao và phát triển 4 Bùi Văn Tuyên NXB Giáo dục một số chuyên đề Toán 8 5 Nâng cao Đại số 8 Võ Đại Mau NXB Hà Nội 6 500 bài toán chọn lọc 8 Nhóm tác giả NXB ĐH Sư Phạm 7 Nâng Cao phát triển Đại số 8 Vũ Hữu Bình NXB Giáo dục 23 chuyên đề giải các bài toán 8 Nhóm Cự Môn NXB Báo văn nghệ sơ cấp Một số đề thi HSG lớp 8 ở một 9 Sưu tầm số địa phương