Bài tập tổng hợp Toán Lớp 12

Nội dung text: Bài tập tổng hợp Toán Lớp 12

1. * CÁC BÀI TOÁN PTTH CHỌN LỌC ( luyện thi đại học và cao đẳng) Biờn soạn: Vũ Hữu Viờn(GV. Chuyờn toỏn Lờ Quý Đụn-BRVT) E.GIẢI TÍCH : 1/.Hàm đa thức bậc ba : 3 2 1/.Cho (Cm) : y = mx + (1-m)x –(m+2)x + m – 3 . a/.Khảo sỏt hàm số biết tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm với Oy cú hệ số gúc nhỏ nhất trong mọi tiếp tuyến của (Cm) . b/.Tỡm m để (Cm) cắt Ox tại 3 giao điểm cú hoành độ x1,x2,x3 thoả món : 1 1 1 - 1Ê < < Ê 1 . x1 x2 x3 c/.Chứng minh (Cm) tiếp xỳc với 1 đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định . 2/. Cho hàm số :y = f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) với a< b < c . a/.Khảo sỏt hàm số khi a,b, c lập thành ̀ cấp số cộng và y đạt cực trị bằng 2 tại x = 0 . f '' (a) f '' (b) f '' (c) b/.Chứng minh rằng : + + = 0 . f ' (a) f ' (b) f ' (c) c/.Tỡm điều kiện của a,b,c sao cho đồ thị hàm số và trục hoành giới hạn hai hỡnh phẳng cú cựng diện tớch bằng 1. 3/.Cho hàm số : y = x3 + ax2 + bx+ c cú đồ thị là â . a/.Khảo sỏt hàm số khi â đi qua gốc O và cũn tiếp xỳc với trục Ox tại điểm cú hoành độ 2. b/.Cho â luụn đi qua 2 điểm cố định A(1;-1) và B(-1;2).CMR : điểm uốn của â thuộc một đường cố định . 1 3 1 2 3 4/.Cho họ đồ thị (Cm) : y = x (sin m cos m)x x.sin 2m . 3 2 4 2 2 a/.Tỡm m để y đạt cực trị tại cỏc điểm cú hoành độ x1, x2 thoả món : x1 x2 x1 x2 b/.Khi điểm uốn của đồ thị hàm số cú hoành độ 1/6 , khảo sỏt hàm số và tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị và tiếp tuyến tại giao điểm với trục tung 5/.Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m+1)x + 1 cú đồ thị là (C). a/.Tỡm m để (C) cú điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua d : y = x + 2. b/.Với m = 0 ; A , B, C trờn (C) .Cmr : A ,B,C thẳng hàng xA + xB + xC = 3/2. Cỏc tiếp tuyến của (C) tại A ,B ,C cũn cắt (C) lần lượt taị A’ , B’, C’; chứng minh A’ , B’, C’ thẳng hàng A,B,C thẳng hàng. 3 2 3 6/.Cho hàm số : y 2x 3x log2 m (Cm ) . a/.Biện luận theo m số giao điểm của (Cm ) và trục hoành . 3 11 b/.Khi m = 4 .Khảo sỏt hàm số .Tỡm trờn (d) : y x cỏc điểm dựng đến (Cm ) 2 tiếp 2 12 tuyến vuụng gúc 1 3 2 2 7/.Cho họ đồ thị (Cm) : y (m 1)x (m 1)x 4x m m 1 3 a/.Tỡm m để y đồng biến trong khoảng (-1;2). b/.Tỡm m sao cho đường thẳng qua 2 điểm cực trị của (Cm) vuụng gúc với (d) : y = x. c/.Tỡm M trờn (Cm) sao cho tiếp tuyến của (Cm) tại M cú phương khụng đổi, m . 8/.Cho hàm số : y = x3 – mx2 - 4x + 4m cú đồ thị là â.
2. * CÁC BÀI TOÁN PTTH CHỌN LỌC ( luyện thi đại học và cao đẳng) Biờn soạn: Vũ Hữu Viờn(GV. Chuyờn toỏn Lờ Quý Đụn-BRVT) a/.Tỡm m sao cho hàm số nghịch biến trờn một đoạn cú độ dài bằng 1. b/.Khảo sỏt hàm số khi â và Ox cú đỳng 2 giao điểm . 1 9/.Cho hàm số : f(x) = x3 + ax2 + bx+ c cú đồ thị là â. 18 a/. CMR : Khi f cú CĐ và CT thỡ đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của â cú ptr là : y = f(x) – f’(x).f”(x) b/. Tỡm a,b,c để â đi qua gốc O và cũn tiếp xỳc với trục Ox tại điểm cú hoành độ 2. 3 2 2 3 10/. Cho (Cm) : y x 3(1 m)x 3m x 2 m . a/.Tỡm tập hợp điểm uốn của (Cm). 2 b/.CMR: (P) y = 3x -2 cắt (Cm) tại đỳng 1 điểm và tại đú , 2 đồ thị cú cựng tiếp tuyến. 2 c/.Vẽ (C0) , suy ra đồ thị hàm số y (x 1) x 2x 2 . 11/.Cho (C) : y x3 ax2 (a 2)x 1. a/.Tỡm a sao cho (C) và trục hoành cú ba giao điểm cỏch đều nhau. b/.Cho a = 1.Khảo sỏt hàm số.Viết phương trỡnh đường thẳng qua tõm đối xứng của (C) và cắt (C) tại 2 điểm thoả món 2 tiếp tuyến tại đú cú khoảng cỏch bằng 1 12/.Cho hàm số : y = x3 – mx2 - 4x + 4m cú đồ thị là â. a/.Tỡm m sao cho â và Ox cú đỳng 2 giao điểm .Khi đú tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi â và Ox . b/.Tỡm m sao cho â cắt Ox ba giao điểmvà trong ba tiếp tuyến của â tại cỏc điểm này , cú hai tiếp tuyến song song x 0; y 0; z 0 13/.Tỡm min và max của T = xy -2yz2 + 3zx biết x , y , z thoả món : 4x y 2z 4 3x 6y 2z 6 2/.Hàm đa thức bậc bốn: 4 2 1/.Cho hàm số : y = x – mx + 3 – 2m cú đồ thị là (Cm) . a/. Tỡm m để cỏc điểm cực trị của (Cm) là 3 đỉnh tam giỏc đều ? b/. Tỡm m để (Cm) cắt Ox bốn giao điểm cú hoành độ lập thành cấp số cộng . Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn (Cm) và Ox với m tỡm được . 2 c/. Viết pt tiếp tuyến chung của ( C2) và (P) : y = - x –1 . 2/.Cho hàm số : y = mx4 – (2m+1)x3 -(2m+1)x2 + 1 . a/. Khảo sỏt hàm số khi m = 0 ; tỡm trờn đồ thị (L) của nú cỏc điểm dựng được 2 tiếp tuyến vuụng gúc với nhau. b/. Biện luận theo a số nghiệm t [ ;0] của pt : sin3t + 2cos2t – 3sint = loga2. c/. Tỡm m để hàm số chỉ cú CĐ , khụng cú CT . 3/.Cho hàm số : y = x4 +(m -1)x3 - 2x2 + (m -1)x + 1 . a/. Khảo sỏt hàm số khi m = 1 . Tiếp tuyến tại T(x0 ;y0 ) cũn cắt lại đồ thị hàm số tại A,B khỏc T.Tỡm quỹ tớch trung điểm I của AB. b/. Tỡm m để đồ thị hàm số cú đỳng 3 giao điểm với trục hoành. 4/.Cho hàm số : y x4 2ax2 b2 2a cú đồ thị (C). a/.Tỡm a & b biết (C) tiếp xỳc với trục Ox tại hai điểm, đồng thời tiếp tuyến tại hai điểm uốn vuụng gúc nhau. b/.Cho b = 1 , khảo sỏt hàm số khi tam giỏc cú 3 đỉnh là 3 điểm cực trị của (C) cú diện tớch 32.
3. * CÁC BÀI TOÁN PTTH CHỌN LỌC ( luyện thi đại học và cao đẳng) Biờn soạn: Vũ Hữu Viờn(GV. Chuyờn toỏn Lờ Quý Đụn-BRVT) 3/.Hàm phõn thức hữu tỉ: x+ 3 cos a- 1 1/.Cho hàm số : y = cú đồ thị (L) . x+ sin a a/. Với giỏ trị nào của a thỡ y là hàm hằng số ? p b/. Cho a = : - Khảo sỏt hàm số và xỏc định trờn mp toạ độ miền nghiệm của 2 bpt: |x| -1 < y(|x|+1) . - DABC cú 3 đỉnh thuộc cựng 1 nhỏnh của (L) , chứng minh rằng trực tõm DABC thuộc nhỏnh kia của (L). m2 x 2 2/.Cho (H) : y = . ( m là tham số ) x m 3 a/. Tỡm quỹ tớch tõm đối xứng của (H) . b/. Cho m = -1 . Tỡm cỏc diểm trờn Ox từ đú dựng được đến (H) hai tiếp tuyến cú tiếp điểm nằm khỏc phớa đối với (d) : x +2y -1 = 0 . c/. Tiếp tuyến bất kỳ của (H) tạo với 2 tiệm cận của (H) một tam giỏc cú diện tớch bằng 4, tỡm giỏ trị của m . ax 3 3/.Cho hàm số : y x2 5 a/.CM đồ thị hàm số cú 3 điểm uốn thẳng hàng khi a = 1. b/.Tỡm a sao cho ymin ymax 1. 27 c/.Cho a = . Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục Ox và 2 đường 5 thẳng: x 15,x 10 5 . ax 2a 1 4/.Cho hàm số : y . (C) 2x 1 a/.Khảo sỏt hàm số khi tiếp tuyến của (C) tại giao điểm với Ox song song với (d) : y = x – 1. b/.Tỡm a để trờn (C) cú hai điểm phõn biệt đối xứng qua I(-1;2). x2 - x+ m 5/.Cho hàm số : y= f(x) = . x2 + x+ 1 a/.Chứng minh : f luụn cú cực đại & cực tiểu với mọi giỏ trị m .Tỡm hệ thức của fCĐ và fCT độc lập với m. b/.Cho m = 0 , CMR đồ thị hàm số cú 3 điểm uốn thẳng hàng . x2 - mx+ 2 6/. Cho hàm số : y = . (H) x- 1 a/.Khảo sỏt hàm số khi tõm đối xứng của (H) thuộc Ox . Tỡm 1 trục đối xứng của (H). b/.Cho m = 1 , tỡm trờn (H) hai điểm A , B đối xứng qua O hoặc qua (d): y = -2x + 1 . c/.Tỡm m để (H) cắt (D) : y = m tại P,Q thoả món 2 tiếp tuyến của (H) tại P,Q vuụng gúc nhau.
4. * CÁC BÀI TOÁN PTTH CHỌN LỌC ( luyện thi đại học và cao đẳng) Biờn soạn: Vũ Hữu Viờn(GV. Chuyờn toỏn Lờ Quý Đụn-BRVT) x2 mx m2 7/.Cho họ đồ thị (Cm) : y x m a/.Tỡm m để y đồng biến trong (1 ; 2) . b/.CMR :Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của (Cm) cũng là tõm đối xứng của nú. x2 x 1 c/.Với m = 1 , vẽ (C1) và suy ra đồ thị â : y . Tỡm trờn (C1) điểm K cú | x 1| khoảng cỏch đến (d) : x – 2y = 0 nhỏ nhất. x2 (m 1)x m2 4m 2 8/.Cho hàm số : y . ( m là tham số ) x 1 a/.Khảo sỏt hàm số khi đồ thị hàm số cắt trục Ox hai giao điểm cú khoảng cỏch bằng 1. hoặc khi đồ thị của nú tiếp xỳc với đường thẳng : y = -3/2. 2 2 b/.Tỡm m để yCĐ.yCT nhỏ nhất ? ymax + ymin nhỏ nhất ? c/.Tỡm đường cố định tiếp xỳc với đồ thị hàm số khi m thay đổi. d/.Tỡm cỏc điểm mà đồ thị hàm số khụng đi qua với mọi m. x2 mx m 10/.Cho (C) : y . x 1 a/.CMR : y cú cực trị với mọi m . Tớnh khoảng cỏch nhỏ nhất giữa hai điểm cực trị của (C). b/.Cho m = 2.Viết phương trỡnh 2 đường thẳng qua tõm đối xứng của (C), cú hệ số gúc nguyờn và cắt (C) tại 4 điểm là đỉnh một hỡnh chữ nhật. c/.Cho m = -1 .Viết phương trỡnh đường thẳng qua tõm đối xứng của (C) và cắt (C ) tại A,B sao cho khoảng cỏch giữa hai tiếp tuyến tại A,B bằng 1. x2 2x m 1 11/.Cho hàm số : y x m 2 2 a/.CMR hàm số cú cực trị với mọi giỏ trị m.Tỡm min của : ymax + ymin . b/.Tỡm m sao cho tại hai giao điểm của đồ thị hàm số và trục Ox , cỏc tiếp tuyến vuụng gúc nhau , hoặc cựng với trục Ox giới hạn một tam giỏc đều? - x2 + mx- 3m+ 2 12/.Cho hàm số : y = (H). x- 1 a/. Tỡm m biết tiếp tuyến của (H) tại giao điểm với Oy vuụng gúc với một tiệm cận của nú. b/. Khi m = 1 : khảo sỏt hàm số, tỡm trờn (H) cỏc điểm cú tổng khoảng cỏch đến hai trục toạ độ nhỏ nhất. x2 + mx- m+ 1 13/.Cho (C) : y = . x+ m a/.Tỡm m để hàm số cú đỳng 1 cực trị trong (0;1). b/.Khảo sỏt hàm số khi tiếp tuyến của â tại giao điểm Oy vuụng gúc với tiệm cận xiờn của â .
5. * CÁC BÀI TOÁN PTTH CHỌN LỌC ( luyện thi đại học và cao đẳng) Biờn soạn: Vũ Hữu Viờn(GV. Chuyờn toỏn Lờ Quý Đụn-BRVT) 4/.Cỏc hàm số khỏc: 4.1/.Hàm lượng giỏc : 1/.Cho hàm số : y = (a-1)sin2x + a cos2x – (a+1)x . ổ p ử a/. Tỡm a để hàm số đồng biến trong Ă ? nghịch biến trongỗ 0; ữ? ố 2 ứ b/. Khi a = -1 , tỡm GTLN , GTNN và cực trị của hàm số 2/.Cho f(x ) = a.cos3x + b.cos2x + c.cosx + sinx . p 3p 5p 7p a/. Chứng minh : f ( )+ f ( )+ f ( )+ f ( ) = 0, " a,b,c. 4 4 4 4 b/. Chứng minh f(x) cú nghiệm trong khoảng (0;2 p ), " a,b,c .bằng 2 cỏch : dựng tớnh chất hàm số liờn tục hoặc định lý Lagrange. cos x 3/.Tỡm cực trị của hàm số : y = 2cot gx trong khoảng (0; ) . sin3 x y 2sin x sin 3x. , y 1 2sin x sin 3x. 4/.Cho hàm số : f(x) = sinx – a.sin2x – 1/3.sin3x + 2ax . a/.Tỡm a để f nghịch biến trong toàn trục số. b/.Tỡm a để phương trỡnh f’’(x) = 0 cú nhiều nghiệm nhất trong (0; ) . 5/.Tỡm min và max của hàm số : f (x) sin x 2 cos x . 3 6/.Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của T = cos2 x 1 sin x cosx . 2 7/.Cho hàm số : y = sin2x.cos2x . a/. Tớnh miny và maxy. b/. Tớnh y(n). 8/.Tớnh giới hạn : ex - cos3x a/. lim [( x 2 x 1)(sin x 2cos x)] b/. lim c/. x xđ0 ln(sin x+ cos x) 1 2cos x 1- cos x. cos 2x 1 cos x.cos 2x lim d/. lim e/. lim xđ0 x 0 2 3 3 x tg3x xtg3x 3 1 x 1 2x 5 3 f/. lim x 0 sin 5x sin 3x 9/.Cho hàm số : y = x.sinx a/.Tỡm hệ thức giữa y , y’ , y’’, y’’’. 7 1 1 b/.Chứng minh : ydx . 24 0 3 ln(cos x) , x 0 10/.Tớnh đạo hàm của hàm số : f (x) x tại x = 0 và tại x = 4 0, x 0