SKKN Xác định công thức tổng quát của dãy số và kết hợp với sự tiếp cận Lý thuyết phương trình sai phân

Nội dung text: SKKN Xác định công thức tổng quát của dãy số và kết hợp với sự tiếp cận Lý thuyết phương trình sai phân

1. GV: Lưu Thị Hằng Trường PTTH số 2 Mường Khương đặt vấn đề Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết Để đáp ứng được một phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát của dãy số “ và kết hợp với sự tiếp cận “ Lý thuyết phương trình sai phân “ qua một số chuyên đề mà bản thân tác giả đã được học Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác định công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài toán . Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặc biệt là học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệu học sinh và đồng nghiệm tham khảo Sáng kiến kinh nghiệm 1
2. GV: Lưu Thị Hằng Trường PTTH số 2 Mường Khương Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số A. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng * u1 , a.un 1 b.un fn , n N trong đó a,b, là các hằng số ,a # 0 và fn là biểu thức của n cho trước Dạng 1 Tìm un thoả mãn điều kiện u1 , a.un 1 b.un 0 (1.1) trong đó a,b, cho trước n N * Phương pháp giải n Giải phương trình đặc trưng a. b 0 để tìm  Khi đó un q (q là hằng số ) , trong đó q được xác định khi biết u1 Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu tiên bằng 1 và công bội bằng 2 Bài giải Ta có un 1 2un , u1 1 (1.2) n Phương trình đặc trưng có nghiệm  2 Vậy un c.2 . Từ u1 1suy ra 1 c Do đó u 2n 1 2 n Dạng 2 Tìm un thoả mãn điều kiện * u1 , aun 1 bun fn , n N (2 .1) trong đó fn là đa thức theo n Phương pháp giải Sáng kiến kinh nghiệm 2
3. GV: Lưu Thị Hằng Trường PTTH số 2 Mường Khương Giải phương trình đặc trưng a. b 0 ta tìm được  Ta có 0 * 0 * un un un Trong đó un là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.1) và un là nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình không thuần nhất (2.1) Vậy 0 n un q. q là hằng số sẽ được xác định sau * Ta xác định un như sau : * 1) Nếu  #1 thì un là đa thức cùng bậc với fn * 2) Nếu  1 thì un n.gn với gn là đa thức cùng bậc với fn * * Thay un vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của un Bài toán 2: Tìm un thoả mãn điều kiện * u1 2; un 1 un 2n, n N (2.2) Bài giải Phương trình đặc trưng  1 0 có nghiệm  1 Ta có 0 * 0 n * * un un un trong đó un c.1 c, un n an b Thay un và phương trình (2.2) ta được n 1 a n 1 b n an b 2n (2.3) thay n=1và n=2 vào (2.3) ta được hệ phương trình sau 3a b 2 a 1 5a b 4 b 1 Do đó un n n 1 0 * Ta có un un un c n n 1 Vì u1 2 nên 2 c 1 1 1 c 2 2 Vậy un 2 n n 1 , hay un n n 2 Dạng 3 Tìm un thoả mãn điều kiện * u1 , a.un 1 bun v.n , n N (3.1) trong đó fn là đa thức theo n Sáng kiến kinh nghiệm 3
4. GV: Lưu Thị Hằng Trường PTTH số 2 Mường Khương Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. b 0 ta tìm được  Ta có 0 * 0 n * un un un Trong đó un c. , c là hằng số chưa được xác định , un được xác định như sau : * n 1) Nếu  # thì un A. * n 2) Nếu   thì un A.n. * Thay un vào phương trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số * 0 * của un . Biết u1 , từ hệ thức un un un , tính được c Bài toán 3: Tìm un thoả mãn điều kiện n * u1 1; un 1 3.un 2 , n N (3.2) Bài giải Phương trình đặc trưng  3 0 có nghiệm  3 Ta có 0 * 0 n * n un un un trong đó un c.3 , un a.2 * n Thay un a.2 vào phương trình (3.2) , ta thu được a.2n 1 3a.2n 2n 2a 3a 1 a 1 n n n n Suy ra un 2 Do đó un c.3 2n vì u1 1 nên c=1 Vậy un 3 2 Dạng 4 Tìm un thoả mãn điều kiện * u1 , a.un 1 bun f1n f2n , n N (4.1) n Trong đó f1n là đa thức theo n và f2n v. Phương pháp giải 0 * * 0 Ta có un un u1n u2n Trong đó un là nghiệm tổng quát của phương * trình thuần nhất aun 1 bun 0, un là một nghiệm riêng của phương trình * không thuần nhất a.un 1 b.un f1n , u2n là nghiệm riêng bất kỳ của phương trình không thuần nhất a.un 1 b.un f2n Bài toán 4: Tìm un thoả mãn điều kiện 2 n * u1 1; un 1 2un n 3.2 , n N (4.2) Sáng kiến kinh nghiệm 4
5. GV: Lưu Thị Hằng Trường PTTH số 2 Mường Khương Bài giải Phương trình đặc trưng  2 0 có nghiệm  2 Ta có 0 * * 0 n * 2 * n un un u1n u2n trong đó un c.2 , un a.n b.n c , u2n An.2 * 2 Thay un vào phương trình un 1 2.un n , ta được a n 1 2 b n 1 c 2an2 2bn 2c n2 Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình 2a c 1 a 1 a b c 4 b 2 2a 2b c 9 c 3 * 2 * n Vậy u1n n 2n 3 thay u2n vào phương trình un 1 2.un 3.2 Ta được 3 A n 1 2n 1 2An.2n 3.2n 2A n 1 2An 3 A 2 3 Vậy u* n.2n 3n.2n 1 2n 2 n 2 n 1 Do đó un c.2 n 2n 3 3n.2 . Ta có u1 1 nên n 1 2 1 2c 2 3 c 0 Vậy un 3n.2 n 2n 3. Bài tập tương tự Bài 1: Xác định công thức của dãy số xn thoả mãn các điều kiện sau 1) x1 11, xn 1 10.xn 1 9n, n N 2) x0 2, x1 8, xn 2 8.xn 1 9xn 2 3) x0 1, x1 3, 2.xn 2 5xn 1 2xn n 2n 3 2 4) x0 0, x1 1, xn 1 4xn 4xn 1 n 6n 5 5) x1 1, x2 2, xn 2 5xn 1 6xn 4 Bài 2: Cho dãy số an  thoả mãn điều kiện an an 1 2.an 2 n N n 3 a1 a2 1 Chứng minh rằng an là một số lẻ Sáng kiến kinh nghiệm 5
6. GV: Lưu Thị Hằng Trường PTTH số 2 Mường Khương Kết luận- kiến nghị Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dậy đã thu được một số kết quả nhất định sau : 1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp và biết vận dụng ở dạng cơ bản xác định được công thức của dãy số 2) Một số đề thi học sinh giỏi, Học sinh lớp chọn có thể sử dụng phương pháp trình bày trong đề tài để giải bài toán 3) Là một phương pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo 4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán về dãy số Xây dựng phương pháp giảng dậy theo quan điểm đổi mới là việc mà toàn xã hội và nghành đang quan tâm. Tuy nhiên, trong một số lớp bài toán bậc THPT ta có thể sử dụng một số kết quả của toán học hiện đại để xây dựng phương pháp giải toán sơ cấp là một vấn đề ít được chú ý. Qua nội dung đề tài tác giả mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa “Toán học hiện đại” và “Phương pháp toán sơ cấp ”. Qua đó ta có thể tìm được phương pháp giải, xây dựng các lớp bài toán ở bậc THPT Sáng kiến kinh nghiệm 6
7. GV: Lưu Thị Hằng Trường PTTH số 2 Mường Khương Tài liệu tham khảo 1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phương pháp sai phân. Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004 2) Trần Chí Hiếu – Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn các bài toán PTTH Đại số và giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo Dục 3) Nguyễn Văn Mậu , Một số bài toán chọn lọc về dãy số , Nhà xuất bản Giáo Dục - 2003 Sáng kiến kinh nghiệm 7