SKKN Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số trong giải bài toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

Nội dung text: SKKN Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số trong giải bài toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

1. Trường THPT Lạng Giang số 2 Giáo viên: Hà Chí Ổn MỤC LỤC Trang Mục lục . 2 Phần 1 : Mở đầu 3 Phần 2 : Nội dung 4 A. Kiến thức cơ bản 4 B. Kỹ năng 4 C. Bài tập áp dụng 7 1. Bài tập thông hiểu 2. Bài tập vận dụng cao 8 2.1. Bài toán tìm giá trị của m để hàm số đồng biến ; nghịch biến trên tạp K 8 2.2. Bài toán áp dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương 10 trình và hệ phương trình 22 D. Bài tập luyện tập 23 Phần 3: Kết luận Tài liệu tham khảo 24 1
2. Trường THPT Lạng Giang số 2 Giáo viên: Hà Chí Ổn 2
3. Trường THPT Lạng Giang số 2 Giáo viên: Hà Chí Ổn PHẦN 1: MỞ ĐẦU I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tính đơn điệu của hàm số là một nội dung thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. Đặc biệt trong những năm gần đây, tính đơn điệu của hàm số có những nội dung hay, khó và có thể giải quyết các bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. Với lượng kiến thức khá rộng và cần sự tư duy nhiều hơn từ học sinh nên tính đơn điệu của hàm số là một trong những phần kiến thức quan trọng của học sinh THPT Quốc gia . Tính đơn điệu của hàm số lớp 12 là một cách nhìn bao quát và sâu rộng của hàm số so với cách nghiên cứu hàm số đồng biến, nghịch biến của lớp 10, 11. Dựa vào tính đơn điệu của hàm số thì ta có thể biết được hình dáng đồ thị, các khoảng đồng biến , nghịch biến và các tính chất của đồ thị hàm số. Trong những năm gần đây thì tính đơn điệu của hàm số trong chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát tính biến thiên và vẽ đồ thị hàm số là phần học sinh đặc biệt quan tâm để đạt kết quả tốt kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia . Vì vậy, tôi chọn đề tài “ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH” để phần nào giúp các em học sinh có cái nhìn hệ thống, phát triển tư duy, trí tuệ và cách học tích cực hơn đối với dạng toán này. II. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Trong số các bài toán cơ bản là tìm khoảng đồng biến, nghịch biến thì các học sinh trung bình có thể làm được còn một số bài toán có tính chất tư duy như bài toán vận dụng tìm giá m thoả mãn một số yếu tố hay áp dụng tính đồng biến nghịch biến để giải phương trình , bất phương trình, hệ phương trình thì học sinh thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán, không chú trọng đến bản chất chất của bài toán ấy, một phần vì học sinh ngại bài toán khó, một phần vì giáo viên khi dạy cũng chưa chú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh. 3
4. Trường THPT Lạng Giang số 2 Giáo viên: Hà Chí Ổn Nhằm giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp, kỹ năng để giải quyết các bài toán tính đơn điệu hàm số một cách hiệu quả và kết quả tốt thì sau nhiều năm giảng dạy dạng toán này, với kiến thức đã tích lũy và học hỏi đượ, tôi mạnh dạn nêu ra đề tài “ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH’’ để giúp học sinh và giáo viên tham khảo để đạt kết quả cao hơn trong học tập và trong giảng dạy. III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phân tích, tổng hợp, thu thập tài liệu và các thông tin. - Phân tích, rút kinh nghiệm qua bài toán tính đơn điệu hàm số qua các đề thi Đại học, Cao đẳng, THPT Quốc gia. IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán tính đơn điệu của hàm số và các bài toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán THPT mà trọng tâm là trong kì thi Đại học, Cao đẳng, THPT Quốc gia. 4
5. Trường THPT Lạng Giang số 2 Giáo viên: Hà Chí Ổn PHẦN 2: NỘI DUNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng hoặc một đoạn. + Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1, x2 K : x1 x2 f (x1) f (x2 ) + Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1, x2 K : x1 x2 f (x1) f (x2 ) 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm trên khoảng K. + Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f '(x) 0,x K . + Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f '(x) 0,x K . 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm trên khoảng K. + Nếu f '(x) 0,x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K. + Nếu f '(x) 0,x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K. + Nếu f '(x) 0,x K thì hàm số không đổi trên tập K. • Chú ý : + Nếu K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y=f(x ) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.Chẳng hạn: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn a;b và có đạo hàm f '(x) 0,x K trên khoảng a;b thì hàm số đồng biến trên đoạn a;b . + Nếu f '(x) 0,x K ( hoặc f '(x) 0,x K ) và f '(x) 0 tại một số hữu hạn điểm của tập K thì hàm số đồng biến trên K (hoặc nghịch biến trên K). B. KỸ NĂNG 1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x) Bước 1: Tìm nghiệm của biểu thức P(x) hoặc giá trị của x làm cho biểu thức P(x) không xác định . Bước 2: Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. Bước 3: Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu. 2. Xét tính đơn diệu của hàm y=f(x) trên tập xác định Bước 1: Tim tập xác định D. Bước 2: Tính đạo hàm y ' f '(x) . Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình f '(x) 0 hoặc những giá trị của x để cho f '(x) không xác định. Bước 4: Lập bảng biến thiên. Bước 5: Kết luận. 5
6. Trường THPT Lạng Giang số 2 Giáo viên: Hà Chí Ổn 3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y=f(x) đồng biến, nghịch biến trên a;b cho trước. Cho hàm số y f (x;m) có tập xác định K, khoảng a;b  K. + Hàm số nghịch biến trên a;b y ' 0,x (a;b) . + Hàm số đồng biến trên a;b y ' 0,x (a;b) . • Chú ý : - Đối với hàm số đa thức thì : + Hàm số nghịch biến trên a;b y ' 0,x (a;b) . + Hàm số đồng biến trên a;b y ' 0,x (a;b) . ax b - Đối với hàm phân thức y thì : cx d + Hàm số nghịch biến trên a;b y ' 0,x (a;b) . + Hàm số đồng biến trên a;b y ' 0,x (a;b) . ax2 bx c - Đối với hàm phân thức y thì dx e + Hàm số nghịch biến trên a;b y ' 0,x (a;b) . + Hàm số đồng biến trên a;b y ' 0,x (a;b) . • Nhắc lại một số kiến thức liên quan : Cho tam thức f (x) ax2 bx c(a 0) a 0 a) f (x) 0,x R 0 a 0 b) f (x) 0,x R 0 a 0 c) f (x) 0,x R 0 a 0 d) f (x) 0,x R 0 • Chú ý : Nếu tìm bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng a;b : Bước 1: Đưa bất phương trình f '(x) 0 (hoặc f '(x) 0,x (a;b) ) về dạng g(x) h(m) (hoặc g(x) h(m),x (a;b) ). Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên khoảng a;b . Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m. 6
7. Trường THPT Lạng Giang số 2 Giáo viên: Hà Chí Ổn 4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình; hệ phương trình và bất phương trình + Đưa phương trình hoặc bất phương trình về dạng f (x) m hoặc f (x) g(m) . Lập bảng biến thiên của f(x), dựa vào bảng biến thiên suy ra kết luận. 5. Một số tính chất của tính đơn điệu hàm số + Tính chất 1: Giả sử hàm số f(x ) liên tục và đơn điệu trên K thì phương trình f(x)=0 có nhiều nhất một nghiệm thuộc tập K. + Tính chất 2: Nếu phương trình f’(x) = 0 có một nghiệm thuộc (a;b) thì phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm thuộc (a; b). + Tính chất 3: Nếu hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên tập K và g(x) liên tục, nghịch biến (hoăc hàm hằng) thì phương trình f(x) = g(x) có duy nhất một nghiệm trên tập K. + Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên tập K thì với mọi u;v K thì ta có f (u) f (v) u v . + Tính chất 5: Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên (a; b) thì x; y; z (a;b) là nghiệm của hệ y f (x) phương trình z f (y) x y z x f (z) + Tính chất 6: Nếu hàm f(x) đồng biến trên (a; b) thì với mọi u;v (a;b) sao cho f (u) f (v) u v (ngược lại với trường hợp nghịch biến) 7
8. Trường THPT Lạng Giang số 2 Giáo viên: Hà Chí Ổn C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1. Bài tập thông hiểu và nhận biết. x 1 Câu 1 : Cho hàm số y . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng. 1 x A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;1)  (1; ) . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;1)  (1; ) . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;1) ; (1; ) . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;1) ; (1; ) . 2 Lời giải : Đạo hàm : y ' 0,x 1 thì hàm số nghịch biến trên khoảng (1 x)2 ( ;1) ; (1; ) *Chú ý: Hàm số đơn điệu trên khoảng; đoạn, nửa khoảng nhưng không phải trên tập hợp ( không có các ký hiệu giao, hợp, hiệu hai tập hợp). Câu 2:Cho hàm số y x3 3x2 20x 2. Khẳng định nào sau đây đúng: A. Hàm số nghịch biến trên ¡ . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2) . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 2) và hàm số nghịch biến trên khoảng (2; ) . D. Hàm số đồng biến trên ¡ . Lời giải : Hàm đa thức: y ' 3x2 6x 20 0,x ¡ nên hàm số đồng biến trên ¡ . Câu 3:Cho hàm số y x3 3x2 3x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng: A. Hàm số nghịch biến trên R. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;1) ; (1; ) . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;1) và hàm số nghịch biến trên khoảng (1; ) . D. Hàm số đồng biến trên ¡ . Lời giải: Hàm đa thức: y ' 3x2 6x 3 0,x ¡ nên Hàm số nghịch biến trên ¡ . Câu 4: Cho hàm số y x3 3x2 3x 15. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai: A. Hàm số nghịch biến trên (-3;1). B. Hàm số đồng biến trên ¡ . C. Hàm số đồng biến trên (-9; -5). D. Hàm số đồng biến trên (5; ) . 8
9. Trường THPT Lạng Giang số 2 Giáo viên: Hà Chí Ổn 2 x 1 Lời giải: Hàm đa thức: y ' 3x 6x 9 0 x 3 Hàm số y ' 0,x ( 3;1) nên hàm số nghịch biến trên (-3;1). 2. Bài tập vận dụng và vận dụng cao 2.1. Bài toán tìm m để hàm đồng biến, nghịch biến trên một tập K x 3 Câu 1: Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số y mx2 mx m luôn đồng biến 3 trên ¡ . A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 Lời giải : y ' x2 2mx m để hàm số đồng biến trên R thì a 1 0 y ' 0, x x2 2mx m 0, x 1 m 1  ¡  ¡ 2 với m nguyên ' m m 0 thì m = -1; m = 0; m = 1 có 3 giá trị m nguyên thoả mãn. x m 2 Câu 2: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y nghịch biến x 1 trên các khoảng xác định của nó. A. m >3 B. m 1 C. m 1 D. m 1 m 1 Lời giải: Hàm phân thức y ' 0,x 1 m 1 0 m 1 thì cho hàm số (x 1)2 x m 2 y nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. x 1 *Chú ý: Hàm phân thức thì hàm số nghịch biến trên a;b y ' 0,x (a;b) , hàm số đồng biến trên a;b y ' 0,x (a;b) . mx 4 Câu 3: Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất sao cho hàm số y luôn nghịch biến trên x m ( ;1) . A. 2 m 2 B. 2 m 1 C. 2 m 1 D. 2 m 2 m2 4 Lời giải: Hàm phân thức y ' 0x ( ;1) m2 4 0 2 m 2 (x m)2 Điều kiện: x m 0 x m mà x ( ;1) m ( ;1) m 1 m 1 Đáp án: 2 m 1 9