SKKN Rèn luyện tư duy qua việc phân tích và giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Nội dung text: SKKN Rèn luyện tư duy qua việc phân tích và giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit

1. 1.TÊN SÁNG KIẾN “RÈN LUYỆN TƯ DUY QUA VIỆC PHÂN TÍCH VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT ” (Phạm vi áp dụng: Tự chọn toán 12: Tiết: 14; 15;16;17;18 ) 2. MÔ TẢ Ý TƯỞNG a) Hiện trạng và nguyên nhân chủ yếu của hiện trạng: Là môn chủ đạo trong các cấp học, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng tính toán Môn Toán còn góp phần phát triển nhân cách, phẩm chất của người lao động, rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ. Qua nhiều năm công tác giảng dạy ở trường THPT Sơn Nam tôi nhận thấy việc học toán nói chung và việc phụ đạo, bồi dưỡng học sinh nói riêng. Muốn học sinh rèn luyện được tư duy phân tích bài toán trong việc học và giải toán thì bản thân mỗi người thầy cần phải có nhiều phương pháp và nhiều cách giải nhất. Để có được một học sinh giỏi môn toán là một điều khá khó, vì nó còn phụ thuộc vào nhiều nguyên nhân, có cả nguyên nhân khách quan và nguyên nhân chủ quan. Song đòi hỏi người thầy cần phải tìm tòi, nghiên cứu tìm ra nhiều phương pháp và cách giải qua một bài toán. Từ đó rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động tư duy phân tích một bài toán đi đến lời giải nhanh và chính xác nhất. ‘’Phương trình và bất phương trình mũ và logarit’’ là một mảng của Giải tích 12, và là một mảng nằm trong cấu trúc của bộ đề thi tốt nghiệp, đề thi đại học. Và cũng là một phần kiến thức khá mới mẻ đối với học sinh, nên việc tư duy phân tích để nhìn nhận cách giải bài toán là khá lúng túng và khó khăn. b) Ý tưởng: - Từ thực tế trên tôi đã đưa ra ý tưởng: “Rèn luyện tư duy qua việc phân tích và giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit”. Trong năm học 2014-2015, thực hiện sự chỉ đạo của Sở GD&ĐT và của nhà trường, của tổ chuyên môn, tôi ứng dụng bài sáng kiến của mình vào giảng dạy trong hai lớp 12C3 và 12C4, mỗi lớp với thời lượng là 5 tiết học. c) Mục đích: Rèn cho học sinh khả năng tư duy phân tích bài toán và tìm được lời giải nhanh nhất, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ về 1
2. phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các giờ học và trong việc giải các bộ đề thi đại học. 3. NỘI DUNG CÔNG VIỆC: Trong các giờ học về phần: Phương trình, bất phương trình mũ và logarit. Học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu rõ bản chất, khả năng suy luận lôgíc, khả năng khái quát phân tích bài toán còn hạn chế, đặc biệt một trong những khó khăn của học sinh khi giải bất phương trình mũ và logarit là hình dung về tập hợp nghiệm. Một số không ít học sinh thường sai lầm khi biến đổi tương đương một bất phương trình, học sinh thường quên để ý đến cơ số dương và lớn hơn 1. Vì vậy học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu Nên chưa kích thích được nhu cầu học tập của học sinh. Để các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xin đưa ra một vài phương pháp rèn luyện tư duy phân tích bài toán về giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit. I. Lý thuyết cơ sở Một số công thức có liên quan STT CÔNG THỨC MŨ CÔNG THỨC LOGARIT an a.a a 1  loga 1 0 n thua so a1 a a 2 loga a 1 0 a 1 a 0 M 3 loga a M n 1 4 a aloga N N an m log (N .N ) log N log N 5 a n n am a 1 2 a 1 a 2 m 1 1 N a n log ( 1 ) log N log N 6 m n m a a 1 a 2 a N2 a n m n m n 7 a .a a loga N .loga N m a m n 2 8 a loga N 2.loga N an m n n m m.n 9 (a ) (a ) a loga N loga b.logb N 2
3. n n n loga N 10 (a.b) a .b logb N loga b n a n a 1 11 ( ) loga b b bn logb a 1 12 M log k N loga N loga N M a N a k log c log a 13 a b c b Một số định lý quan trọng: S CÔNG THỨC ĐIỀU KIỆN TT 1 aM = aN M = N 0 N aM > aN M aN M > N a > 1 4 loga M = loga N M = N 0 0; N > 0 5 loga M N loga M > loga N M 0; N > 0 6 loga M loga N M >N a > 1 và M > 0; N > 0 1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1.1. Phương pháp 1: Biến đổi tương đương đưa về phương trình cơ bản a) Phương trình cơ bản dạng 1: a f x a g x f x g x (là phương trình đại số) b) Phương trình cơ bản dạng 2: a f x b * Nếu b 0 thì phương trình vô nghiệm f x * Nếu b 0 thì a b f x loga b c) Phương trình dạng tựa cơ bản 2: a f x .bg x c * Nếu c 0 thì phương trình vô nghiệm * Nếu c 0 thì logarit hóa hai vế theo cơ số a (hoặc b) đưa phương trình về dạng f x g x .loga b loga c (hoặc g x f x .logb a logb c ) d) Phương trình dạng tựa cơ bản 1: a f x bg x a 0,b 0,a 1,b 1 * Nếu a b thì phương trình là phương trình cơ bản dạng 1. * Nếu a b thì logarit hóa hai vế theo cơ số a ( hoặc b) đưa phương trình về dạng f x g x .loga b , ( hoặc g x f x .logb a ). Áp dụng: Bài số 1: Giải các phương trình sau: 3
4. x 2 x 5x 1 5x 2x 1 2x 3 a). 4 ; b) 8 2 3 2sin x sin 4x c). 2x 2x.3x ; d) 10 6 3 3 1 2 Hướng dẫn phân tích và lời giải x x 2 a) 4 8 Phân tích Lời giải x 2x x 5x VT = 4 2 x 2 2x 2 1 x 4 2 2 x 1 x 5x 8 2 22 3 VP = 22 2 2 3 5x 8 2 2x x 0 2 b) 5x 1 5x 2x 1 2x 3 Phân tích Lời giải VT = 5x 1 5x 5.5x 5x 4.5x 5x 1 5x 2x 1 2x 3 4.5x 10.2x VP = 2x 1 2x 3 2.2x 23.2x 10.2x 5x 1 2 x 1 x 1 0 x 1 Chia cả 2 vế cho 20 ta được phương trình 5x 1 2x 1 . Pt này ta có thể giải theo hai cách. 2 3 c) 2x 2x.3x 2 Phân tích Lời giải Logarit hóa hai vế của Phương trình theo 2 3 2 3 2x 2x.3x log 2x 2x.3x log cơ số 2 ta được: 2 2 2 2 2 2 x2 2x x x 2 x x x 2x x log2 3 log2 3 1 VT log2 2 .3 log2 2 log2 3 2 2 x 2 log2 3 .x 1 log2 3 0 x 2x x.log2 3 2 x - 2 - log2 3 x x 1 3 x 1 log2 3 VP log log 3 1 2 2 2 Đưa về Pt bậc 2 với ẩn x, phương trình giải được. 2sin x sin 4x d) 10 6 3 3 1 Phân tích Lời giải 3 2sin x sin 4x Ta thấy 10 6 3 3 1 10 6 3 3 1 4
5. 1 Nên 6sin x .sin 4x 2 1 2sin x 6sin x 3 1 3 1 6sin x .sin 4x VT 10 6 3 3 1 2 6sin x 2sin x.cos x.cos2x 1 sin 4x .sin 4x VP 3 1 3 1 2 sin x. cos x.cos2x 3 0 sin x 0 x k , k Z 1.2. Phương pháp 2: Giải phương trình dạng: au x av x au x v x 1 Đối với dạng này bao giờ cũng có thể phân tích đưa về phương trình tích dạng au x 1 1 av x 0 , phương trình này giải được. Áp dụng: Bài số 2: Giải phương trình sau: 2 2 2 5x 4x 5 5 2x 3x 1 5 x x 6 1 Hướng dẫn phân tích và lời giải Phân tích Lời giải 2 2 2 Ta thấy 5x 4x 5 5 2x 3x 1 5 x x 6 1 2 2 2 2 2 x 4x 5 2x 3x 1 x x 6 5x 4x 5 1 1 5 2x 3x 1 0 x2 x 6 x2 4x 5 2x2 3x 1 2 2 Như vậy 5 5 .5 5x 4x 5 1 0 5x 4x 5 50 2x2 3x 1 2x2 3x 1 0 -Chuyển hết các hạng tử sang một vế 1 5 0 5 5 sau đó nhóm nhân tử chung, đưa x 1 phương trình về phương trình tích quen x 5 x2 4x 5 0 2 x 1 thuộc. 2x 3x 1 0 1 x 2 1.3. Phương pháp 3: Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ. Đối với các phương trình dạng: a) A.a2 f x B.a f x C 0 , ta đặt: t a f x , (t 0) 1 b) A.a f x B.a f x C 0 , ta đặt: t a f x , (t 0) , khi đó a f x t f x f x c) A.a2 f x B. ab C.b2 f x 0 , Chia hai vế cho a2 f x hoặc b2 f x hoặc ab rồi đặt ẩn phụ. 5
6. 1 d) A.a f x B.b f x C 0 , với a.b 1. Ta đặt t a f x , t 0 . Khi đó b f x t Áp dụng Bài số 3: Giải các phương trình sau: 1 1 1 a). 3x 2 9x 1 4 ; b) 5x 1 53 x 26 ; c) 2.4 x 6 x 3.9 x x x d) 7 4 3 7 4 3 14 ; Hướng dẫn phân tích và lời giải a) 3x 2 9x 1 4 Phân tích Lời giải 3x 2 3.3x 1 3x 2 9x 1 4 3.3x 1 32 x 1 4 0 9x 1 32 x 1 Đặt 3x 1 t, t 0 . Khi đó phương x 1 Đặt 3 t, t 0 . Khi đó phương trình trở thành: 2 trình trở thành: t 3t 4 0 2 t 1 t 3t 4 0 t 4 (loai) Với t 1 ta có pt: 3x 1 1 x 1 0 x 1 b) 5x 1 53 x 26 Phân tích Lời giải 25 25 Ta có 53 x 5 x 1 .25 5x 1 53 x 26 5x 1 26 0 5x 1 5x 1 Đặt 5x 1 t, t 0 Đặt 5x 1 t, t 0 . Khi đó pt đã cho Khi đó đưa phương trình đã cho về trở thành: t 2 26t 25 0 phương trình bậc 2 ẩn t. t 1 t 25 Với t 1 ta có 5x 1 1 x 1 Với t 25 ta có 5x 1 25 x 3 Vậy tập nghiệm của pt là: T 1;3 1 1 1 c) 2.4 x 6 x 3.9 x Phân tích Lời giải 6
7. 1 1 1 1 2. 1 1 1 2. x x x x Ta có 4 2 x x x 2 2 2.4 6 3.9 2. 3 0 1 1 1 3 3 x x x 6 2 .3 1 2 x 1 1 1 1 2. Đặt t, t 0 9 x 3 x.3 x 3 x 3 1 2 Khi đó pt trở thành: 2t t 3 0 Chia cả hai vế của pt cho 9 x , sau t 1, (loai) đó đặt ẩn phụ đưa pt về pt bậc hai 3 t với ẩn mới. 2 1 3 2 x 3 Với t ta có x 1 2 3 2 x x d). 7 4 3 7 4 3 14 Phân tích Lời giải x x x x Ta thấy 7 4 3 . 7 4 3 1 7 4 3 7 4 3 14 x x Nếu đặt 7 4 3 t, t 0 Đặt 7 4 3 t, t 0 . Khi đó pt x 1 1 Thì 7 4 3 đã cho trở thành: t 14 t t Khi đó đưa pt đã cho về pt bậc 2 ẩn t. t 7 4 3 t 2 14t 1 0 t 7 4 3 Với t 7 4 3 ta có x 7 4 3 7 4 3 x 2 Với t 7 4 3 ta có x 7 4 3 7 4 3 x 2 1.4. Phương pháp 4: Phương pháp hàm số (dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của hàm số) Bài số 4: Giải các phương trình sau a). 3x 4x 5x ; b) 5x 3 4 x ; c) 1 2x 1 3x 1 6x 1 7
8. x x x 1 1 1 x x d) ; e) 25 2(3 x).5 2x 7 0 3 2 5 Hướng dẫn phân tích, lời giải a). 3x 4x 5x Phân tích Lời giải 5x x x Chia hai vế của phương trình cho x x x 3 4 3 4 5 1 Nhận xét: 5 5 2 2 3 4 Nhận xét: Vế trái của phương trình là 1 5 5 một hàm nghịch biến, vế phải không *) x 2 thì đổi. Nên phương trình có không quá x 2 3 3 một nghiệm. x x 5 5 3 4 Thấy x 2 là nghiệm của phương trình. 1 x 2 5 5 4 4 x x 3 4 5 5 Với x 2 thì 1 5 5 x 2 *) thì x x 3 4 x 2 Với x 2 thì 1 3 3 5 5 x x 5 5 3 4 1 x 2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 4 4 5 5 5 5 x 2 . *) Chỉ có x 2 thỏa mãn. Các ý b), c), d), tương tự ý a. ĐS: b) x 2 c). x 0 d) x 4 Hướng dẫn phân tích, lời giải e) 25x 2(3 x).5x 2x 7 0 Phân tích Lời giải 25x 52x 25x 2(3 x).5x 2x 7 0 x Đặt 5 t,t 0 Đặt 5x t,t 0 , phương trình đã cho Khi đó ta có phương trình bậc 2 với ẩn 2 trở thành t 2 3 x t 7 2x 0 8