SKKN Phát triển tư duy cho học sinh thông qua giải bài toán IMO theo nhiều cách và mở rộng bài toán

Nội dung text: SKKN Phát triển tư duy cho học sinh thông qua giải bài toán IMO theo nhiều cách và mở rộng bài toán

1. SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN MỤC LỤC Danh mục chữ cái viết tắt Trang 2 1. MỞ ĐẦU Trang 3 1.1 Lý do chọn đề tài Trang 3 1.2 Mục đích nghiên cứu Trang 3 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trang 4 1.4 Kế hoạch nghiên cứu Trang 4 1.5 Phương pháp nghiên cứu Trang 4 2. NỘI DUNG Trang 4 2.1 Một số kết quả thường gặp trong tam giác Trang 4 2.2 Bài toán IMO 1961 Trang 8 2.3 Mở rộng bài toán trong măt phẳng Trang 15 2.4. Mở rộng bài toán trong không gian Trang 20 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Trang 22 3.1 Kết quả từ thực tiễn Trang 22 3.2 Kết quả thực nghiệm Trang 23 4. KẾT LUẬN Trang 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 25 VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN
2. SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN MỘT SỐ KÍ HIỆU VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI A, B, C Góc trong tam giác ABC a, b, c Độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C tương ứng p Nửa chu vi tam giác ABC R Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC r Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC S Diện tích tam giác ABC ha Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A V Thể tích khối tứ diện ABCD SA Diện tích mặt đối diện đỉnh A trong tứ diện ABCD VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN
3. SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN 1. MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài Toán học là môn học có vai trò hết sức quan trọng trong chương trình THPT. Toán học không những giúp cho học sinh kỹ năng tính toán mà còn phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt là tư duy sáng tạo, khái quát Trong toán học, việc phát triển tư duy cho học sinh là việc hết sức quan trọng. Đối với nhiều học sinh, các em thường hài lòng với việc giải xong một bài toán mà không xem xét thêm cách giải khác là khá phổ biến. Trong quá trình dạy học tôi thường khuyến khích học sinh giải bài toán theo nhiều cách khác nhau, từ đó rèn luyện cho học sinh thói quen giải quyết một vấn đề theo nhiều cách khác nhau, tư duy đó rất có ích trong cuộc sống hiện đại ngày nay. Trong quá trình dạy học tôi thấy bài toán IMO sau đây rất thú vị, bài toán đó là: “ Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có diện tích là S . Chứng minh rằng: a2 b2 c2 4S 3.” Tôi thấy rằng có rất nhiều cách để tính diện tích tam giác, từ đó ta có thể chứng minh bài toán thú vị này theo nhiều cách khác nhau. Mặt khác, giữa mặt phẳng và không gian có mối liên hệ với nhau, các tính chất trong mặt phẳng có thể mở rộng trong không gian, vì vậy ta có thể mở rộng bài toán này trong không gian cho tứ diện. Với những lý do trên tôi chọn đề tài “ Phát triển tư duy cho học sinh thông qua giải bài toán IMO theo nhiều cách và mở rộng bài toán”. Trong đề tài này tôi trình bày 16 cách giải khác nhau cho bài toán đã nêu, đồng thời mở rộng bài toán trong mặt phẳng và trong không gian. 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh biết cách vận dụng kiến thức để giải quyết vấn đề nhiều cách khác nhau. - Rèn luyện kỹ năng mở rộng bài toán theo nhiều hướng. VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN
4. SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN 1.3 Đối tượng nghiên cứu Là học sinh khá, giỏi lớp 12I, 12K trường THPT Tây Hiếu 1.4 Kế hoạch nghiên cứu - Từ 20/09/2015 đến 15/10/2015: Chọn đề tài, viết đề cương nghiên cứu. - Từ 16/10/2015 đến 20/12/2015: Đọc tài liệu lý thuyết, viết cơ sở lý luận. - Từ 21/12/2015 đến 16/02/2016: Áp dụng đề tài vào thực tiễn. - Từ 17/02/2016 đến 15/04/2016: Viết báo cáo, trình bày báo cáo trước tổ chuyên môn và xin ý kiến đóng góp. - Từ 16/04/2016 đến 10/05/2016: Hoàn thiện báo cáo. 1.5 Phương pháp nghiên cứu - Đọc các tài liệu liên quan để viết cơ sở lý thuyết. - Phương pháp thực nghiệm. - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu. 2. NỘI DUNG 2.1 Một số kết quả thường gặp trong tam giác KQ1. Công thức diện tích tam giác 1 1 abc S a.h absinC pr 2 a 2 4R p( p a)( p b)( p c) ( công thức Hê rông) 1 = 2 a2b2 b2c2 c2a2 a4 b4 c4 (1) 4 Chứng minh công thức (1) ( các công thức còn lại có trong sách giáo khoa 10) Cách 1. Theo công thức Hê rông ta có 16S 2 p( p a)( p b)( p c) (a b c)(a b c)(b c a)(c a b) 2 2 2 2 (b c) a a (b c) 2 2 2 2 2 2 2bc (b c a 2bc (b c a ) 4b2c2 (b2 c2 a2 )2 VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN
5. SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN 2(a2b2 b2c2 c2a2 ) (a4 b4 c4 ) 1 S 2 a2b2 b2c2 c2a2 a4 b4 c4 4 Cách 2. Áp dụng định lý hàm cosin ta có a2 b2 c2 2bccos A 2bccos A b2 c2 a2 4b2c2 (1 sin2 A) b4 c4 a4 2b2c2 2c2a2 2a2b2 4b2c2 2(a2b2 b2c2 c2a2 ) (a4 b4 c4 ) 1 1 S bcsin A 2 a2b2 b2c2 c2a2 a4 b4 c4 . 2 4 KQ2. Trong mọi tam giác ABC ta có A B C r p a tan p b tan p c tan . 2 2 2 Chứng minh. Xét tam giác ABC có đường tròn nột tiếp tâm I tiếp xúc 3 cạnh BC, CA, AB tại M, N, P. Khi đó ta có AP AN, BP BM , CM CN. A N P I B C M Trong tam giác vuông API ta có A r PI AP.tan 2 AP BP AN CN BM CM A tan 2 2 AB AC BC A A tan ( p a)tan . 2 2 2 Chứng minh tương tự ta có các kết quả còn lại. VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN
6. SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN KQ3. Trong tam giác ABC ta có cot Acot B cot BcotC cotC cot A 1. (2) A B B C C A tan tan tan tan tan tan 1. (3) 2 2 2 2 2 2 Chứng minh (2) Trong tam giác ABC ta có cot(A B) cot( C) 1 cot Acot B cotC cot A cot B 1 cot Acot B cotC cot A cotC cot B cot Acot B cot BcotC cotC cot A 1. Chứng minh (3) Trong tam giác ABC ta có A B C tan tan 2 2 2 2 A B tan tan 1 2 2 A B C 1 tan tan tan 2 2 2 A C B C A B tan tan tan tan 1 tan tan 2 2 2 2 2 2 A B B C C A tan tan tan tan tan tan 1. 2 2 2 2 2 2 KQ4. Trong tam giác ABC ta có 3 3 sin A sin B sinC . (4) 2 A B C 1 tan tan tan . (5) 2 2 2 3 3 A B C tan tan tan 3. (6) 2 2 2 cot A cot B cotC 3. (7) VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN
7. SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Chứng minh (4) x y Trước hết ta chứng minh sin x sin y 2sin với x, y 0; . Đẳng thức 2 xảy ra khi x y. x y x y x y Ta có sin x sin y 2sin cos 2sin . Đẳng thức xảy ra khi x y. 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức trên ta có C A B 3 sin A sin B sinC sin 2 sin sin 3 2 2 A B C 3 4sin 2 3 4 3 3 sin A sin B sinC . 2 Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều Chứng minh (5) Ta có 2 A B B C C A A B C 1 tan tan tan tan tan tan 33 tan tan tan 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C 1 tan tan tan . 2 2 2 3 3 Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều Chứng minh (6) A B B C C A Ta có tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức cơ bản (x y z)2 3(xy yz zx) ta có 2 A A A A B B C C A tan tan tan 3 tan tan tan tan tan tan 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C tan tan tan 3. 2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN
8. SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Chứng minh (7) Ta có cot Acot B cot BcotC cotC cot A 1. Áp dụng bất đẳng thức cơ bản (x y z)2 3(xy yz zx) ta có cot A cot B cotC 3. Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều 2.2 Bài toán [IMO 1961] Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có diện tích là S . Chứng minh rằng: a2 b2 c2 4S 3. Cách 1. Ta thấy vế trái là mối liên hệ 3 cạnh, vì vậy ta sử dụng công thức Hê rông để giải bài toán này. Ta có 3 p a p b p c 4S 3 4 3 p( p a)( p b)( p c) 4 3p 3 2 4 p2 a b c = a2 b2 c2. 3 3 Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều Cách 2. Sử dụng công thức Hê rông kết hợp bất đẳng thức Côsi. Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức quen thuộc 8( p a)( p b)( p c) abc. Ta có 8( p a)( p b)( p c) 8 ( p a)( p b) ( p b)( p c) ( p c)( p a) (2 p a b)(2 p b c)(2 p c a) abc. Áp dụng bất đẳng thức trên ta có 48S 2 48p( p a)( p b)( p c) 48pabc=3(a b c)abc 2 4 2 2 2 (a b c) 3(a b c ) 2 a2 b2 c2 . 9 9 Lấy căn bậc hai hai vế ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều Cách 3. Theo công thức diện tích Hê rông ta có 16S 2 2(a2b2 b2c2 c2a2 ) (a4 b4 c4 ). Với mọi số thực x, y, z ta có x2 y2 z2 xy yz zx. Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN
9. SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 a b c 3 2 a b b c c a a b c 2 a2 b2 c2 48S 2 a2 b2 c2 4S 3. Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều Cách 4. Theo định lý cosin c2 a2 b2 2abcosC và công thức diện tích 1 S absinC , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 2 2 2 2 a ab(cosC 3sinC) b 0 a 2absin C b 0. 6 2 2 Xét f (a) a 2absin C b , ta xem f (a) là tam thức bậc hai ẩn a với 6 2 2 2 hệ số bậc hai bằng 1, mà ' b sin C b 0 6 Do đó hiển nhiên f (a) 0. Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng. Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều Cách 5. Biến đổi tương đương. Ta có a2 b2 c2 4S 3 a2 b2 (a2 b2 2abcosC) 2 3absinC 2 2(a b) 4ab 1 cos C 0, từ đó ta có điều phải chứng minh. 3 Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều Cách 6. Theo định lý cosin trong tam giác ta có a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 4S cot A, b2 c2 a2 2cacos B c2 a2 4S cot B, c2 a2 b2 2abcosC a2 b2 4cotC. Suy ra a2 b2 c2 4S(cot A cot B cotC) 4S 3. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN