SKKN Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong ôn thi THPTQG

Nội dung text: SKKN Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong ôn thi THPTQG

1. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong ôn thi THPTQG Lĩnh vực sáng kiến: Phương pháp dạy toán Tác giả: Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Nơi công tác: Trường THPT Điện thoại liên hệ: 0349 468423 Địa chỉ thư điện tử: Đề nghị công nhận sáng kiến cấp : sở Năm 2020 - 2021 Ngày tháng năm
2. I – MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn sáng kiến Qua thực tế dạy học nội dung ứng dụng của tích phân tính diện tích của các hình phẳng và thể tích của các vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12, học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Năng lực tính toán và vận dụng các công thức tính còn hạn chế, khả năng vẽ hình và đọc đồ thị của hàm số còn yếu. Các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, tư duy thực tế và trực quan nên bị nhầm lẫn. Trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo viết rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục những sai lầm khi giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích mặt tròn xoay. Bài tập về tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong chương trình Giải tích 12 là một trong những dạng toán cơ bản. Tuy nhiên các em học sinh thường chưa có sự phân tích và tư duy thực tế dẫn tới mắc sai lầm và đưa ra những lời giải sai, chưa chính xác. Việc hệ thống hoá các phương pháp giải, chỉ ra một số sai lầm khi giải toán sẽ cho phép nhìn nhận các bài toán theo một hệ thống nhất quán từ đó giúp các em học sinh có thể thấy được thuật toán chung cũng như tránh được những sai lầm khi giải các bài toán về tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay. Xuất phát từ thực tế giảng dạy nội dung “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ” và dạy học giải toán liên quan đến ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay cho học sinh lớp 12. Để giúp cho học sinh 12 khắc phục những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán thực tế tính diện tích hình phẳng và thể tích của vật thể tròn xoay, giúp cho quá trình giải toán được dễ dàng, thuận lợi và đạt hiệu quả cao. Đồng thời phát triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập môn toán. Đó là lí do tôi chọn đề tài “Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong ôn thi THPTQG” 2. Mục tiêu của sáng kiến Giải pháp mới được xây dựng dựa trên cơ sở thực tiễn của quá trình dạy học, các bài toán ứng dụng của tích phân liên quan đến thực tế như tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể tròn xoay. Giải pháp đưa ra làm rõ cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số, tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra 2
3. khi quay một hình phẳng quanh trục hoành hoặc trục tung. Qua đó khắc phục những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như tính thể tích của vật thể tròn xoay. Với dạng toán này học sinh thường gặp những khó khăn, sai lầm sau: + Không hình dung được hình phẳng, vật thể tròn xoay (nếu không có hình vẽ). + Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít, chưa đủ để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan. Sáng kiến hệ thống kiến thức lý thuyết liên quan đến nguyên hàm, tích phân đặc biệt là các kiến thức ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay mà học sinh đã được học. Đưa ra ví dụ minh họa (có hình vẽ minh họa cho từng ví dụ cụ thể) có phân tích, kèm hướng dẫn giải chi tiết và trình bày theo cách khác nhau, rèn luyện cho học sinh sự vận dụng linh hoạt trong quy trình giải toán, phát huy tính sáng tạo của học sinh. Bằng kinh nghiệm của bản thân, tôi đưa ra các giải pháp sau: Giải pháp 1: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số và trục hoành. Giải pháp 2: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số. Giải pháp 3: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính thể tích vật thể tròn xoay Các bước thực hiện giải pháp Bước 1: Trình bày kiến thức cơ bản liên quan đến vấn đề nghiên cứu (Các kiến thức liên quan đến nội dung nguyên hàm, tích phân và đặc biệt chú ý tới các công thức sử dụng tích phân để tính diện tích, thể tích) Bước 2: Trình bày ví dụ minh hoạ, phân tích, hướng dẫn giải, đồ thị minh hoạ của các ví dụ. (Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không có hình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới khó). Bước 3: Phân tích, nhận xét, hướng dẫn giải (tìm cách giải mới nếu có). (Hướng dẫn giải, rèn luyện kỹ năng khử dấu giá trị tuyệt đối, phương pháp đổi biến số, tích phân từng phần một cách linh hoạt tùy thuộc vào từng bài tập cụ thể) Bước 4: Một số bài toán ứng dụng thực tế của tích phân. (Các bài tập vận dụng ứng dụng của tích phân giải các bài toán thực tế trong đời sống thường ngày). 3. Phạm vi của sáng kiến 3
4. Sáng kiến có thể áp dụng cho học sinh các lớp 12 THPT Hoàng Văn Thụ nói riêng và học sinh các trường THPT nói chung. II – CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN 1. Cơ sở lý luận Thực hiện Nghị quyết số 29NQ/TW ngày 04/11/2013 của Ban Chấp Hành Trung ương Đảng, Nghị quyết số 44NQ/CP ngày 09/06/2014 về Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục, đào tạo và Chỉ thị số 16/CT/TTg ngày 18/6/2018 của Thủ tướng Chính phủ về đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học, phương pháp thi, kiểm tra theo hướng hiện đại, nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục lý tưởng, lối sống, năng lực sáng tạo, tác phong công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội. Qua thực tế giảng dạy tại trường THPT Hoàng Văn Thụ bản thân tôi nhận thấy HS rất cần được tiếp cận các giải pháp để rèn luyện các năng lực vận dụng toán học vào ứng dụng thực tiễn. Chương III “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ” lớp 12 là một chương vô cùng quan trọng và có nhiều bài toán có ứng dụng thực tế hay mà học sinh còn lúng túng trong việc tìm hướng giải. Vì vậy sáng kiến được thực hiện nhằm rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân trong hình học. Sáng kiến được thực hiện trên cơ sở dựa trên các văn bản chỉ đạo của Sở giáo dục và đào tạo Lạng Sơn về việc dạy học theo hướng phát huy khả năng tư duy sáng tạo và năng lực của học sinh. Thông qua các kiến thức liên quan về “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ”. Đề tài đưa ra những giải pháp cụ thể để rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay. Sáng kiến được viết vào thời gian từ 20/9/2017 đến 25/03/2018 và tiến hành dạy thử nghiệm lần đầu vào ngày 20/2/2018 thời điểm giữa học kỳ II của năm học 2017 - 2018 tại lớp thử nghiệm 12A8 và lớp đối chứng 12A9 trường THPT Hoàng Văn Thụ Thành phố Lạng Sơn. Dạy thử nghiệm và dạy đối chứng được tiến hành trong cùng một nhà trường. Sau giáo án thử nghiệm chúng tôi tiến hành cho HS làm bài kiểm tra 45 phút có phân tích, đánh giá kết quả bài kiểm tra. Lớp dạy thử nghiệm và lớp dạy đối chứng có sỹ số và kết quả học tương đương nhau thuộc Trường THPT Hoàng Văn Thụ. 2. Cơ sở thực tiễn 4
5. Chủ đề ứng dụng của tích phân trong hình học là một trong những nội dung kiến thức có nhiều ứng dụng trong thực tế và thuộc nội dung chương “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng” - chương trình Toán giải tích lớp 12. Đã từng có rất nhiều sáng kiến làm về ứng dụng của tích phân trong hình học, nhưng các sáng kiến ấy chỉ đơn thuần là nêu ra kiến thức chung, sau đó lấy ví dụ minh hoạ mà chưa đưa được các giải pháp cụ thể nào để khắc phục những khó khăn, hạn chế của học sinh. Hoặc có sáng kiến cũng đã đề cập đến rèn luyện kỹ năng giải toán nguyên hàm và tích phân nhưng cũng chỉ đưa ra hai phương pháp tính tích phân cơ bản đó là phương pháp đổi biến số và phương pháp tính tích phân từng phần. Khi vận dụng ứng dụng của tích phân vào giải các bài toán thực tế trong hình học, đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi) thường gặp những khó khăn và có những sai lầm nhất định chẳng hạn: Nếu không có hình vẽ thì học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay) dẫn đến không tính được diện tích hình phẳng hoặc thể tích vật thể. Vì thế học sinh có cảm giác “xa lạ” so với khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây (diện tích đa giác, thể tích các khối đa diện). Ngoài ra hình vẽ minh họa ở sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “chưa đủ” để giúp học sinh trực quan. Các em thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng ở các lớp dưới với các hình quen thuộc như: diện tích tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác Các công thức tính thể tích các khối như: khối chóp, khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng trụ đã được học trong chương 1 hình học 12.; Vì vậy việc học nội dung ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay làm học sinh gặp khó khăn, không phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là khả năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính, kỹ năng cộng, trừ diện tích, cộng, trừ thể tích. Học sinh thường gặp khó khăn và bị mắc sai lầm trong việc xây dựng công thức tính từ giả thiết của bài toán và tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối. b b Chẳng hạn, thường áp dụng sai công thức I f (x)dx f (x)dx a a Học sinh không biết rằng công thức trên chỉ đúng trong trường hợp biểu thức f (x) không đổi dấu trong khoảng a;b 5
6. Trên cơ sở của lý thuyết của nguyên hàm tích phân, tôi đề xuất một số giải pháp rèn kỹ năng tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay có ứng dụng của tích phân. III – NỘI DUNG SÁNG KIẾN 1. Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay 1.1 Giải pháp 1: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số và trục hoành 1.1.1 Rèn kỹ năng tính diện tích phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành a. Năng lực tổng hợp các công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x) trục hoành và hai đường thẳng x a, x b . Bài toán : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x) liên tục trên b đoạn a;b , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được xác định: S f (x) dx a y y f (x) y f (x) b y 0 S f (x) dx (H) x a a c O a 1 c c3 b x 2 x b Để tính diện tích S ta phải tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối, muốn vậy ta phải “ khử ” dấu giá trị tuyệt đối . b b • Nếu f (x) 0 , x a ; b thì S f (x) dx f (x)dx a a b b • Nếu f (x) 0 , x a ; b thì S f (x) dx f (x) dx a a Muốn “ khử ” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x). Thường có hai cách làm như sau : Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bậc nhất”, định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f (x) , đôi khi phải giải các bất phương trình f (x) 0, f (x) 0 trên đoạn a ; b 6