SKKN Khai thác kiến thức cơ bản và bài tập trong sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh khá giỏi

Nội dung text: SKKN Khai thác kiến thức cơ bản và bài tập trong sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh khá giỏi

1. A - mở đầu I - lý do chọn đề tài Trong lịch sử phát triển của toán học thì toán học là một trong bộ môn khoa học được ra đời từ rất sớm. Xuất phát từ những đòi hỏi thực tế cuộc sống đã làm nảy sinh các kiến thức toán học. Toán học không những góp phần không nhỏ trong sự phát triển của các bộ môn khoa học khác. Có thể nói toán học là cơ sở của nhiều môn khoa học khác. Chính vì vậy trong nhà trường phổ thông, môn toán là một trong những bộ môn cơ bản và việc nâng cao kiến thức toán cho học sinh đương nhiên là cần thiết. Trong các kỳ thi, nhất là kỳ thi học sinh giỏi các cấp thì môn toán có thể nói rất khó khăn, đòi hỏi học sinh phải nắm được lượng kiến thức khá rộng và có kỹ năng vận dụng nó một cách linh hoạt sáng tạo. Kiến thức toán học rất rộng, hệ thống bài tập nhiều vì vậy không phải kiến thức bài tập nào giáo viên cũng có thể khai thác và mở rộng ra được. Giáo viên chỉ mở rộng cho những kiến thức chính, những dạng bài tập quan trọng, cách mở rộng cũng nhiều hướng khác nhau. Khái quát hoá để mở rộng thành những bài toán tổng quát khó hơn. Tương tự hoá để giới thiệu thêm những bài toán có cùng phương pháp giải. Đặc biệt hoá để đưa bài toán về dạng đặc biệt hơn dễ nhớ hơn, có khi chỉ đơn giản là phân tích thêm những kiến thức có liên quan để hướng dẫn học sinh giải theo nhiều cách khác nhau hoặc đặt thêm yêu cầu mới cho bài toán. Điều đó thôi thúc tôi chọn và nghiên cứu đề tài. “ Khai thác kiến thức cơ bản và bài tập trong sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh khá giỏi”. II - Nhiệm vụ nghiên cứu: Học sinh khá, giỏi hiện nay phần lớn chỉ đầu tư vào việc giải hết bài toán khó này đến bài toán khó khác mà chưa nâng cao được nhiều năng lực toán học. Mà theo quan niệm của tôi cho rằng: Việc ôn tập bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán cần phải: + Hình thành ở học sinh năng lực toán học bắt đầu từ: - Các bài toán được nghiên cứu không quá phức tạp, đã có lời giải, các thao tác tư duy dạng sơ cấp. - Năng lực học toán phải tiến hành thương xuyên liên tục trước hết thông qua các tiết luyện tập. Lớp Toán - ĐHSP - Khoá 7 1
2. - Cần xác định những năng lực toán học nào cần bồi dưỡng cho học sinh, hệ thống bài tập cho phù hợp. B - Nội dung Một trong các chức năng của dạy học sáng tạo qua các bài toán ở trường trung học là hình thành ở học sinh năng lực sáng tạo bài toán mới. Xuất pháp từ bản chất tri thức toán học lôgíc ẩn láu dưới “ vỏ ngôn ngữ ”, có thể sử dụng các biện pháp sau để hìmh thành năng lực sáng tạo bài toán mới cho học sinh. Biện pháp 1: Hướng dẫn học sinh “ nhìn thấy ” cấu trúc lôgíc của bài toán đặc biệt là nhìn thấy sự “ tương đương ” của các mệnh đề toán học. Biện pháp 2: Tổ chức cho học sinh hoạt động ngôn ngữ thông qua sử dụng các hệ thống khái niệm khác nhau. Hướng dẫn cho học sinh “ nhận ra ” sự thống nhất về cấu trúc lôgíc của các bài toán có các biểu tượng trực quan hình học ứng với các hệ thống khái niệm sau đó. Sau đây là một số ví dụ: I - Phần số học Ví dụ 1: Khai thác từ một bài toán lớp 6, chúng ta bắt đầu từ bài toán sau: Bài toán 1: Tổng sau có chia hết cho 3 không? A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 +28 + 29 + 210 (Bài 210 trang 27 SBT Toán 6 tập 1) Lời giải: Ta có: A = (2 + 22 )+ (23 + 24 )+ (25 + 26 )+ (27 +28 )+ (29 + 210 ) = 2.(1 + 2) + 23. (1 + 2) + 25. (1 + 2) + 27. (1 + 2) + 29. (1 + 2) = 2.3 + 23. 3 + 25. 3 + 27. 3 + 29. 3 Vậy A chia hết cho 3. Từ bài toán này ta giải được một số bài toán sau: Bài toán 1.1: Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + +257 + 258 + 259 +260. Chứng minh rằng A chia hết cho 3. Lời giải: Tương tự như Bài toán 1. Lớp Toán - ĐHSP - Khoá 7 2
3. Bài toán 1.2: Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + +257 + 258 + 259 +260. Chứng minh rằng A chia hết cho 105. Lời giải: Ta có: 105 = 7.15 và (7, 15) = 1. Thật vậy: A = 2 + 22 + 23 + 24 + +257 + 258 + 259 +260. = (2 + 22 + 23 ) + (24 + 25 + 26) + + (258 + 259 +260) = 2.(1 + 2 + 22 ) + 24.(1 + 2 + 22) + + 258.(1 + 2 + 22) = 2.7 + 24.7 + + 258.7 => A chia hết cho 7. (1) A = 2 + 22 + 23 + 24 + + 257 + 258 + 259 +260. = (2 + 22 + 23 + 24 ) + + (257 + 258 + 259 +260). = 2. (1 + 2 + 22 + 23 ) + + 257. (1 + 2 + 22 + 23 ). = 2.15 + + 257.15 => A chia hết cho 15. (2) Vì (7, 15) = 1 nên kết hợp (1) và (2) suy ra A chia hết cho 105. Nhận xét: Với A = 2 + 22 + + 2n a) Các Bài toán 1 và Bài toán 1.1 đúng khi số các số hạng n là số chẵn. b) Bài toán 1.2 đúng khi số các số hạng n chia hết cho 3 và 4. Từ đó suy ra n chia hết cho 12 Bài toán 1.3: Chứng minh rằng: 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + +25n - 3 + 25n - 2 + 25n - 1 chia hết cho 31 nếu n là số nguyên dương bất kỳ. Lời giải: Nhóm 5 số hạng rồi đặt thừa số chung của từng nhóm: 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + +25n - 3 + 25n - 2 + 25n - 1 = (1 + 2 + 22 + 23 + 24 ) + 25 (1+ 2 + 22 + 23 + 24 ) + 25. 2 (1 + 2 + 22 + 23 + 24 ) + + 25(n - 1) (1 + 2 + 22 + 23 + 24 ) = (1 + 2 + 22 + 23 + 24 )(1 + 25 + 25. 2 + + 25(n - 1) ) = 31.(1 + 25 + 25. 2 + + 25(n - 1) ) chia hết cho 31. Vậy 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + +25n - 3 + 25n - 2 + 25n - 1 chia hết cho 31. Lớp Toán - ĐHSP - Khoá 7 3
4. Bài toán 1.4: 1 2 3 n a) Tính tổng Sn = 1 + a + a + a + + a b) áp dụng tính các tổng sau: S = 1 - 21 + 22 - 23 + 24 - +2100 T = 3 - 32 + 33 - 34 + +31999 - 32000 Lời giải: 1 2 3 n a) Xét tổng Sn = 1 + a + a + a + + a Khi a = 1 ta có ngay: Sn = n + 1. 2 n n + 1 Khi a ≠ 1 ta có: a.Sn = a + a + + a + a n + 1 Suy ra: a.Sn - Sn = a - 1 n + 1 Sn = (a - 1) / (a - 1) b) 1 2 3 100 101 + 1 S100 = 1 + a + a + a + + a = (a - 1) / (a - 1) Với a = -2, ta được: S = 1 - 2 + 22 - 23 + 24 - +2100 = [(- 2)101 - 1] / [-2 - 1] = (- 2101 - 1)/ -3 = ( 2101 + 1)/ 3. T = 3 - 32 + 33 - 34 + +31999 - 32000 = 3. (1 - 3 + 32 - 33 + +31998 - 31999 ) = 3. [(- 3)2000 - 1] / [-3 - 1] = 3. ( 32000 - 1)/ - 4 Bài toán 1.5: a) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với: A = 4 + 22 + 23 + 24 + +220 b) Chứng minh rằng 2.A + 3 là một luỹ thừa của 3 với: A = 3 + 32 + 33 + 34 + +3100 Bài toán 1.6: Cho số tự nhiên A = 7 + 72 + 73 + 74 + 75 + 76 + 77 + 78. a) Số A là chẵn hay lẻ. b) Số A có chia hết cho 5 không? Bài toán 1.7: Cho S = 2 + 22 + 23 + +22000 . Hỏi S có chia hết cho 6 không? Bài toán 1.8: Chứng minh rằng tổng: P = 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 chia hết cho 13. Lớp Toán - ĐHSP - Khoá 7 4
5. II. Phần đại số: Trong chương trình Đại số 8, ở học kỳ I, học sinh được học về các hằng đẳng thức đáng nhớ, trong đó: A2 + 2AB + B2 = ( A + B )2 A2 - 2AB + B2 = ( A - B )2 và có nhận xét: ( A + B )2 ≥ 0 với mọi A, B. ( A - B )2 ≥ 0 với mọi A, B. dấu “ = ’’ xảy ra khi A + B = 0 hay A = - B và A - B = 0 hay A = B từ kiến thức này ta mở rộng và xây dựng nên nhiều bài toán khác. Sau đây là một số ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức: x2 + 2( x + 1)2 + 3( x + 2)2 + 4( x + 3)2 Lời giải: x2 + 2( x + 1)2 + 3( x + 2)2 + 4( x + 3)2 = 10x2 + 40x + 50 = (x2 + 10x + 5 ) + ( 9x2 + 30x + 25 ) = ( x + 5)2 + ( 3x + 5)2 Bài 2: Hãy viết biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương. ( a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 Hướng dẫn: ( a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = ( a + b)2 + ( b + c)2 +( a + c)2 Bài 3: Tìm x, y biết: 4x2 - 16x + y2 + 4y + 20 = 0 Hướng dẫn: 4x2 - 16x + 16 + y2 + 4y + 4 = 0 2x 4 0 x 2 ⇔ ( 2x - 4)2 + ( y + 2)2 = 0 ⇔ y 2 0 y 2 Bài 4: Tìm x biết : x2 + 2( x + 1)2 + 3( x + 2)2 + 4( x + 3)2 = 0 Hướng dẫn: Lớp Toán - ĐHSP - Khoá 7 5
6. Từ kết quả của Bài 1 ta có phương trình tương đương: x 5 0 x 5 ( x + 5)2 + ( 3x + 5)2 = 0 5 ⇔ 3x 5 0 x 3 Vậy không có giá trị nào của x để vế trái bằng 0. Bài 5: Tìm x, y biết: 4x2 - 16x + y2 + 4y + 24 = 0 Hướng dẫn: 4x2 - 16x + 16 + y2 + 4y + 4 + 4 = 0 ⇔ ( 2x - 4)2 + ( y + 2)2 + 4 = 0 VT ≥ 4 với mọi giá trị của x, y. => Không có giá trị nào của x, y thoả mãn bài tán. Với cách làm như trên, học sinh dễ dàng làm bài tập sau: Bài 6: Tìm a, b, c để ( a - b)2 + ( b - c)2 +( a - c)2 = 0 Hướng dẫn: ( a - b)2 + ( b - c)2 +( a - c)2 = 0 a b 0 b c 0 a = b = c c a 0 Học sinh có thể phân tích đề bài: phá ngoặc chuyển vế ta được: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca ta suy ra được bài toán mới Bài 7: Chứng minh rằng nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c. Dựa vào kết quả bài 6, học sinh tự giải Với hướng dẫn như bài tập 7 ta có thể đưa ra một loạt bài tập có phương pháp làm tương tự. Bài 8: Chứng minh rằng nếu (a + b)2 = 2.(a2+ b2 ) thì a = b. Bài 9: Cho a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c), chứng minh rằng a = b = c = 1. Bài 10: Cho (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca), chứng minh rằng a = b = c . Bài 11: Cho (a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2 = (a + b - 2c)2 + (b + c - 2a)2 + (a +c - 2b)2 chứng minh rằng a = b = c . Bài 12: Cho x + y + z = 0, xy + yz + zx = 0, chứng minh rằng x = y = z. Từ bài tập 7, ta đưa ra bài toán tổng quát hơn Lớp Toán - ĐHSP - Khoá 7 6
7. Bài 13: Chứng minh rằng với 3 số a, b, c bất kỳ, ta có: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca Hướng dẫn: Cách 1: Nhân 2 vế với 2, làm tương tự bài 7 (biến đổi tương đương). 1 Cách 2: (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) =  a b 2 b c 2 c a 2  0 => 2 ≥ đpcm Cách 3: Phương pháp phản chứng. Cách 4: Sử dụng bất đẳng thức đã biết, ta có: a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 ab, bc, ca 2 2 2 Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca. Từ bài 13, ta đề xuất thêm một số bài toán mới: + Xét trường hợp đặc biệt hơn: cho c = 1 ta có a2 + b2 + 1 ≥ ab + b + a + Kết hợp với hằng đẳng thức: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca) ta có a2 + b2 + c2 ≥ 3(ab + bc + ca). b) a b c 2 a 2 b 2 c 2 ta có ab bc ca 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c 2 2(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) Ta có thể khai thác những bài toán dạng này theo hướng khác là dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Bài 14: (Suy ra từ bài 5) Tìm giá trị bé nhất của A = 4x2 - 16x + y2 + 4y + 24 Hướng dẫn: Lớp Toán - ĐHSP - Khoá 7 7